13 junho 2010

Função quadrática - Aplicações


Nesse artigo mostrarei algumas situações de como aplicar funções quadráticas ou de 2º grau para solucionar problemas do cotidiano. O trabalho com funções é desafiador para alunos e professores. São necessárias operações variadas, produção e análise de gráficos e também o estudo de suas aplicações. O objetivo será criar condições para que o aluno trabalhe com a função quadrática e atinja um nível de entendimento adequado. Para isso usarei um objeto de aprendizagem que apresenta uma aplicação prática e mostrarei como podem ser criados gráficos dessa importante função.

Definição matemática de uma Função Quadrática

Uma função quadrática ou do 2º grau é aquela cujo o gráfico é uma parábola. Essa função é representada por f(x)= ax² + bx + c, sendo a, b e c números reais.

Alguns exemplos de função quadrática:   f(x) = x²- 2x + 1       f(x) = x²

É importante lembrar os alunos de alguns conceitos de potenciação, especialmente no que diz respeito ao quadrado de um número. Um bom começo para envolver os alunos no trabalho com a função quadrática é usando a função f(x) = x² . Pode-se construir um gráfico dessa função com os alunos, abordando sobre o quadrado de alguns números positivos e negativos e marcando pontos em um plano cartesiano para formar uma parábola, como a apresentada abaixo. Essa atividade cria boas condições para que ocorra um melhor entendimento do conteúdo.

Veja como construir um plano cartesiano através dessa animação, clique aqui. (É necessário ter o plugin flash instalado no seu navegador).
Função quadrática - Aplicações

É importante criar uma tabela com alguns valores de x e determinar os valores de y com os alunos, marcando os pontos no plano.
X          Y
-4          16
-2            4
0             0
2             4
4           16


Aplicações da Função Quadrática

Existem objetos de aprendizagem que contribuem muito para que os alunos aprendam a relacionar variáveis (as letras) em uma função, realizar experimentos, alterar valores e verificar relações de causa e efeito. Eis o objeto recomendado para a atividade usando computadores na escola:


Clique no link para abrir o simulador: projectile-motion.

No simulador, os alunos podem modificar a massa e diâmetro dos projéteis, sua velocidade inicial, o ângulo de lançamento e até mesmo o efeito da resistência do ar. Além disso, é possível brincar de atingir o alvo marcado no chão. Para tirar o máximo de proveito dessa atividade o professor deve realizar perguntas aos alunos no que diz respeito às alterações nas variáveis, como por exemplo pedir que eles variem apenas a massa do projétil e que observem o que acontece com o tempo e a distância. É importante estimular os alunos a estabelecerem e anotarem as relações percebidas e por fim, desafiá-los com relação a função quadrática que relaciona a distância do lançamento com o quadrado da variável tempo.

Produzindo Gráficos com uma Planilha Eletrônica (Microsoft Office ou BrOffice)

Acesse o post Estudo de funções matemáticas usando o Excel [Função Quadrática]  e aprenda de forma fácil e rápida como construir gráficos de funções do 2º grau e outros tipos de funções. Neste link a versão para o LibreOffice.

O alunos podem trabalhar no seu próprio gráfico da função quadrática utilizando uma planilha eletrônica como o software livre BrOffice: http://www.broffice.org/
O primeiro passo é criar uma pequena tabela de valores de x e y. Na coluna dos valores de x, basta digitar alguns valores que formarão os pontos do gráfico e permitirão a construção da curva.

Na coluna de valores de y, digitamos uma função quadrática na célula correspondente ao menor valor de x. Como exemplo, usaremos a função y = x² - 8x + 12. Observe a imagem abaixo.



Observe que a função y = x² - 8x + 12 é escrita na célula A2 da seguinte forma: =POTÊNCIA(A2;2)-8*A2+12 . A2 corresponde ao valor de x e, entre parênteses é acompanhado do número 2, indicando que o valor do x é elevado ao quadrado. POTÊNCIA é uma função matemática disponível no programa. Clicando no ponto preto em B2 e arrastando até a célula B6, os cálculos são feitos automaticamente.



Para gerar o gráfico, basta selecionar as colunas e clicar no ícone de construção de gráficos (semelhante ao gráfico tipo pizza) e selecionar as opções apresentadas na imagem acima. Feito isso, o gráfico deve aparecer após clicar no botão Concluir.

Eu sugiro deixar os alunos experimentarem outros valores, além de alterarem formatos e caracterísiticas do gráficos, de forma a que eles possam relacionar a variáveis envolvidas, permitindo que a experimentação contribua para a aprendizagem dos conceitos. Essa é uma boa oportunidade para apresentar aos alunos as raízes da função ( ou zeros de uma função), valores de x que resultam em y = 0. Também pode-se solicitar aos alunos para tornarem negativo o valor de x ao quadrado na função e verificarem o que acontece com o vértice da parábola.

Nas atividades de sala de aula, seria importante trabalhar a construção do gráfico da função utilizando calculadoras e papel quadriculado (milimetrado) e  após recriar os mesmos gráficos usando os computadores da escola.

Uma atividade interessante que pode envolver os alunos na produção da avaliação é pedir que eles criem funções quadráticas como desafios e troquem com os colegas para a produção no computador. Os pares ou pequenos grupos poderiam apresentar e discutir seus resultados em conjunto e isso permitiria a avaliação do aproveitamento dos alunos, além dos esclarecimentos necessários às dificuldades encontradas.


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SOBRE O AUTOR

Edigley Alexandre é graduado em Matemática pela UERN em 2007, leciona Geometria, Matemática e Física. Seu interesse é compartilhar conhecimento matemático interligado à Tecnologia da Informação e Comunicação. Já foram publicados artigos no blog.

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8 comentários:

  1. poderia me ajuda com essas funções e o grafico?
    y=x²-8x+12

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  2. Carol, dada a função acima pode-se extrair algumas situações antes de
    construir o gráfico dessa função. Vejamos:

    1º) Estudar a concavidade da párabola (gráfico da função do 2º grau).
    Quem indica isso, é o coeficiente de a.


    Quando o valor de a é maior do que zero (a>0)
    Concavidade voltada para cima


    Quando o valor de a é menor do que zero (a<0)
    Concavidade voltada para baixo

    2º) Onde o gráfico corta o eixo Y


    Quem indica essa situação é o coeficiente de b da função. 
    No  caso b=12. 

    Então cortará o eixo Y no ponto (0;12)

    3º) Calcular o vértice da parábola (V)

    Assim:

    Vx - Vértice de  x

    Vy - Vértice de  y

    Vx=-b/2a (onde tem / entende-se por traço da fração, ou seja, divisão)

    Vy=-∆/4a (∆=b²-4.a.c)

    V(Vx;Vy)

    4º) Calcular as raízes ou zeros da função y=x²-8x+12


    Para isso basta igualar a função a zero e calcular as raízes pelo
    método de Bháskara ou fatorando.

    Mostrarei fatorando assim: (x - 2).(x - 6) = 0. Portanto as raízes são:


    x - 2 = 0 ou x - 6 = 0


    x=2 ou x=6

    5º) Construir gráfico

    Localize no plano cartesiano:

    - O ponto que corresponde ao vértice da parábola V(Vx;Vy);

    - As raízes da função;

    -  O ponto onde  gráfico intercepta o eixo Y, no caso, b=12



    Veja a imagem ilustrando o gráfico.


    http://i679.photobucket.com/albums/vv153/edigleyg3/grfico-parbola.png

    ResponderExcluir
  3. pode me ajudar com essas funçoes determinar o vertice

    y=x²-9
    e
    y=-x²-8x

    marcillyane

    ResponderExcluir
  4. Olá Marcillyane, obrigado pela visita!

    Para determinar o vértice de uma parábola (gráfico de uma equação do 2º grau), utilize os algorítmos a seguir.

    VERTICE DE x
    Vx=-b/2.a
    Vx=0/2.1
    Vx=0

    VERTICE DE y
    Vy=-∆/4.a ; ∆=b²-4.a.c => ∆=36
    Vy=-36/4.1
    Vy=-36/4
    Vy=-9

    Portando o Vértice da parábola y=x²-9 é V(0;-9)

    Veja no link abaixo como se comporta o gráfico dessa função.

    http://m.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%C2%B2-9&x=0&y=0

    Nota: Entenda o símbolo (/) como uma divisão.

    Para a função y=x²-8x proceda de forma análoga.

    Abraço!

    ResponderExcluir
  5. Olá Prof Edigley Alexandre,
    Parabéns pela simplicidade nas explicações dos exercícios, assim fica mais fácil entender a matemática.
    Gostaria de saber:
    - se é o valor de "b" ou o valor de "c" que define o valor no eixo "y"?
    Abraço
    Airton

    2º) Onde o gráfico corta o eixo Y
    Quem indica essa situação é o coeficiente de b da função.
    No caso b=12.
    Então cortará o eixo Y no ponto (0;12)
    [Artigo original escrito por Edigley Alexandre | Twitter: @prof_edigley | Não copie este artigo integralmente!]: http://www.prof-edigleyalexandre.com/2010/06/funcao-quadratica-aplicacao-no-futebol.html#ixzz2hzDIRIUS

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá, Airton!

      Obrigado pelos elogios e sua presença aqui.

      O coeficiente que define onde o gráfico da equação do 2º grau "cortará" no eixo Oy, é c.

      Me perdoe pela troca da letra no comentário acima. Neste caso, o gráfico interceptará no ponto (0;12). c=12.

      Abraço e bons estudos!

      Excluir
  6. Boa noite professor, gostaria se pudesse me ajuda a resolver essa questão:Sejam a e b dois números reais positivos.As retas r e s de interceptam no ponto (a,b).Se (a/2,0) pertence(E) r e (0,b/2) pertence(E) s, então determine uma equação para a reta t, que passa por (0,0) e tem a tangente do ângulo formado entre r e s como coeficiente angular.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá!

      Infelizmente não poderei te ajudar. Espero que entenda o meu motivo. O blog em si não tem a função de ajudar ou resolver problemas matemáticos, dúvidas, etc., o foco dele outro.

      Recebo dezenas de emails e alguns comentários em artigos pedino ajuda. Se for responder a todos ocorrerá que não terei tempo para dar conta de todas as dúvidas.

      Por favor, me entenda.

      Um abraço! Sucesso!

      Excluir

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