Função quadrática - Aplicações

Nesse post mostrarei algumas situações de como aplicar funções quadráticas ou de 2º grau para solucionar problemas do cotidiano.

O trabalho com funções é desafiador para alunos e professores. São necessárias operações variadas, produção e análise de gráficos e também o estudo de suas aplicações. O objetivo dessa post (aula) é criar condições para que o aluno trabalhe com a função quadrática e atinja um nível de entendimento adequado. Para isso usarei um objeto de aprendizagem que apresenta uma aplicação prática e mostrarei como podem ser criados gráficos dessa importante função.

Definição matemática de uma Função Quadrática

Uma função quadrática ou do 2º grau é aquela cujo o gráfico é uma parábola. Essa função é representada por f(x)= ax² + bx + c, sendo a, b e c números reais.

Alguns exemplos de função quadrática:   f(x) = x²- 2x + 1       f(x) = x²

É importante lembrar os alunos de alguns conceitos de potenciação, especialmente no que diz respeito ao quadrado de um número. Um bom começo para envolver os alunos no trabalho com a função quadrática é usando a função f(x) = x² . Pode-se construir um gráfico dessa função com os alunos, abordando sobre o quadrado de alguns números positivos e negativos e marcando pontos em um plano cartesiano para formar uma parábola, como a apresentada abaixo. Essa atividade cria boas condições para que ocorra um melhor entendimento do conteúdo.

Veja como construir um plano cartesiano através dessa animação, clique aqui. (É necessário ter o plugin flash instalado no seu navegador).

Fig. 2 - Gráfico da função f(x) = x².

É importante criar uma tabela com alguns valores de x e determinar os valores de y com os alunos, marcando os pontos no plano.

X          Y
-4          16
-2            4
0             0
2             4
4           16

Aplicações da Função Quadrática

Existem objetos de aprendizagem que contribuem muito para que os alunos aprendam a relacionar variáveis (as letras) em uma função, realizar experimentos, alterar valores e verificar relações de causa e efeito. Eis o objeto recomendado para a atividade usando computadores na escola:

Fig. 3 - Tela do simulador Movimento de Projétil

Clique no link para baixar o simulador: projectile-motion

No simulador, os alunos podem modificar a massa e diâmetro dos projéteis, sua velocidade inicial, o ângulo de lançamento e até mesmo o efeito da resistência do ar. Além disso, é possível brincar de atingir o alvo marcado no chão. Para tirar o máximo de proveito dessa atividade o professor deve realizar perguntas aos alunos no que diz respeito às alterações nas variáveis, como por exemplo pedir que eles variem apenas a massa do projétil e que observem o que acontece com o tempo e a distância. É importante estimular os alunos a estabelecerem e anotarem as relações percebidas e por fim, desafiá-los com relação a função quadrática que relaciona a distância do lançamento com o quadrado da variável tempo.

Produzindo Gráficos com uma Planilha Eletrônica (Microsoft Office ou BrOffice)

Acesse o post Estudo de funções matemáticas usando o Excel [Função Quadrática]  e aprenda de forma fácil e rápida como construir gráficos de funções do 2º grau e outros tipos de funções. Neste link a versão para o LibreOffice.

O alunos podem trabalhar no seu próprio gráfico da função quadrática utilizando uma planilha eletrônica como o software livre BrOffice: http://www.broffice.org/

O primeiro passo é criar uma pequena tabela de valores de x e y. Na coluna dos valores de x, basta digitar alguns valores que formarão os pontos do gráfico e permitirão a construção da curva.

Na coluna de valores de y, digitamos uma função quadrática na célula correspondente ao menor valor de x. Como exemplo, usaremos a função y = x² - 8x + 12. Observe a imagem abaixo.

Fig. 4 - Tabela com dados da função quadrática.

Observe que a função y = x² - 8x + 12 é escrita na célula A2 da seguinte forma: =POTÊNCIA(A2;2)-8*A2+12 . A2 corresponde ao valor de x e, entre parênteses é acompanhado do número 2, indicando que o valor do x é elevado ao quadrado. POTÊNCIA é uma função matemática disponível no programa. Clicando no ponto preto em B2 e arrastando até a célula B6, os cálculos são feitos automaticamente.

Fig. 5 - Construção do gráfico de uma função quadrática

Para gerar o gráfico, basta selecionar as colunas e clicar no ícone de construção de gráficos (semelhante ao gráfico tipo pizza) e selecionar as opções apresentadas na imagem acima. Feito isso, o gráfico deve aparecer após clicar no botão Concluir.

Eu sugiro deixar os alunos experimentarem outros valores, além de alterarem formatos e caracterísiticas do gráficos, de forma a que eles possam relacionar a variáveis envolvidas, permitindo que a experimentação contribua para a aprendizagem dos conceitos. Essa é uma boa oportunidade para apresentar aos alunos as raízes da função ( ou zeros de uma função), valores de x que resultam em y = 0. Também pode-se solicitar aos alunos para tornarem negativo o valor de x ao quadrado na função e verificarem o que acontece com o vértice da parábola.

Nas atividades de sala de aula, seria importante trabalhar a construção do gráfico da função utilizando calculadoras e papel quadriculado (milimetrado) e  após recriar os mesmos gráficos usando os computadores da escola.

Uma atividade interessante que pode envolver os alunos na produção da avaliação é pedir que eles criem funções quadráticas como desafios e troquem com os colegas para a produção no computador. Os pares ou pequenos grupos poderiam apresentar e discutir seus resultados em conjunto e isso permitiria a avaliação do aproveitamento dos alunos, além dos esclarecimentos necessários às dificuldades encontradas.

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