Por que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero?

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Essa pergunta já foi feita por muitos dos meus alunos. Às vezes eles nem perguntam, eu que pergunto mesmo para incentivar a curiosidade. É que essa resposta não é encontrada diretamente nos currículos/conteúdos dos livros didáticos no Ensino Fundamental II e no Ensino Médio.

Essa pergunta já foi feita por muitos dos meus alunos. Às vezes eles nem perguntam, eu que pergunto mesmo para incentivar a curiosidade. É que essa resposta não é encontrada diretamente nos currículos/conteúdos dos livros didáticos no Ensino Fundamental 2 e no Ensino Médio. 

Em símbolos: $\forall a\in \mathbb{R};a.0=0$

E não é uma coisa tão difícil de entender. Para início precisamos de alguns conceitos matemáticos básicos, os chamados axiomas da matemática. Nesse caso, utilizarei alguns deles.

Por que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero?

Dados $x$, $y$ e $z$ representando números reais, temos:

P1) Distributividade

$x.(y+z) = x.y + x.z$

P2) Elemento oposto ou simétrico

$x + (-x) = 0$

P3) Elemento neutro

$x + 0 = x$

Com essas propriedades podemos provar a existência de que $\forall a\in \mathbb{R};a.0=0$ é verdade.

Como provar? Na matemática uma proposição só é aceita quando ela é demonstrada. Uma demonstração matemática é baseada numa hipótese e numa tese, onde essas são rigorosamente analisadas. 

Teremos que partir da hipótese para provar a tese.

Assim:

Demonstração:

Partindo de que, $a.0 =a.(0 + 0)$ $\rightarrow$ Observe que a igualdade é verdadeira. Foi aplicada apenas P3.

$a.0 = a.0 + a.0$ $\rightarrow$ Foi aplicada a propriedade P1.

$a.0 + [-(a.0)] = a.0 + a.0 + [-(a.0)]$ $\rightarrow$ Adicionando o oposto de $(a.0)$ em ambos os membros da igualdade.

$0 = a.0 + 0$ $\rightarrow$ Aplicando a propriedade P2.

$0 = a.0$ $\rightarrow$ Aplicando a propriedade P3.

Comutando os membros, temos: $a.0 = 0$ ■ 

Portanto, $\forall a\in \mathbb{R};a.0=0$.

COMENTÁRIOS

BLOGGER: 8
  1. legallllllllllllllllllllllllllllllllllllllll!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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  2. MUITO MANEIRO!!!!! ME ENSINE MAIS SOBRE ISSO MESTRE!!!

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    1. Leia o livro sobre Análise Matemática de Elon Lages Lima.

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  3. Coisa de louco totalmente, como eu tendo 12 balas e multiplicando por zero seria zero. Na lógica as 12 balas permaneceriam. E não zero balas. Essas fórmulas existe só para confundir e eliminar a lógica.

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    1. Olá, Francisco!

      "Ninguém te pede para acreditar em axiomas. Aliás, acreditar neles ou duvidar deles é inútil, pois de modo nenhum correspondem à realidade." [Ian Stewart, matemático inglês, no livro Concepts of Modern Mathematics (1995)]

      Não são fórmulas, são axiomas. Nem sempre a lógica que faz sentido para você, fará para mim. Por exemplo, o ato de multiplicar 12 balas por zero.

      Leia o livro Análise Matemática de Elon Lages Lima para se aprofundar no assunto.

      Abraço!

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  4. Olá Edigley, foi ótimo blog, eu não havia entendido este conteúdo, sendo explicado por outra pessoa, pela sua forma de montagem entendi bem rápido, valeu, muito obrigado , um abraço. ótima a sua informação. Parabéns pela excelente explicação.04/06/2017 09:46 h Domingo.

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    1. Olá, Lindonjonshon!

      Obrigado por você estar aqui. Fico feliz em ter ajudado.

      Um abraço!

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Prof. Edigley Alexandre - O blog para professores e estudantes de Matemática: Por que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero?
Por que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero?
Essa pergunta já foi feita por muitos dos meus alunos. Às vezes eles nem perguntam, eu que pergunto mesmo para incentivar a curiosidade. É que essa resposta não é encontrada diretamente nos currículos/conteúdos dos livros didáticos no Ensino Fundamental II e no Ensino Médio.
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