Por que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero?

Essa pergunta já foi feita por muitos dos meus alunos. Às vezes eles nem perguntam, eu que pergunto mesmo para incentivar a curiosidade. É que essa resposta não é encontrada diretamente nos currículos/conteúdos dos livros didáticos no Ensino Fundamental II e no Ensino Médio.

Essa pergunta já foi feita por muitos dos meus alunos. Às vezes eles nem perguntam, eu que pergunto mesmo para incentivar a curiosidade. É que essa resposta não é encontrada diretamente nos currículos/conteúdos dos livros didáticos no Ensino Fundamental 2 e no Ensino Médio. 

Em símbolos: $\forall a\in \mathbb{R};a.0=0$

E não é uma coisa tão difícil de entender. Para início precisamos de alguns conceitos matemáticos básicos, os chamados axiomas da matemática. Nesse caso, utilizarei alguns deles.

Dados $x$, $y$ e $z$ representando números reais, temos:

P1) Distributividade

$x.(y+z) = x.y + x.z$

P2) Elemento oposto ou simétrico

$x + (-x) = 0$

P3) Elemento neutro

$x + 0 = x$

Com essas propriedades podemos provar a existência de que $\forall a\in \mathbb{R};a.0=0$ é verdade.

Como provar? Na matemática uma proposição só é aceita quando ela é demonstrada. Uma demonstração matemática é baseada numa hipótese e numa tese, onde essas são rigorosamente analisadas. 

Teremos que partir da hipótese para provar a tese.

Assim:

Demonstração:

Partindo de que, $a.0 =a.(0 + 0)$ $\rightarrow$ Observe que a igualdade é verdadeira. Foi aplicada apenas P3.

$a.0 = a.0 + a.0$ $\rightarrow$ Foi aplicada a propriedade P1.

$a.0 + [-(a.0)] = a.0 + a.0 + [-(a.0)]$ $\rightarrow$ Adicionando o oposto de $(a.0)$ em ambos os membros da igualdade.

$0 = a.0 + 0$ $\rightarrow$ Aplicando a propriedade P2.

$0 = a.0$ $\rightarrow$ Aplicando a propriedade P3.

Comutando os membros, temos: $a.0 = 0$ ■ 

Portanto, $\forall a\in \mathbb{R};a.0=0$.