O número 6174

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O número 6174 é conhecido como constante de Kaprekar.

O número $6174$ é conhecido como constante de Kaprekar. Este número é notável para a seguinte propriedade:

O número 6174

  • Pegue qualquer número de quatro dígitos, usando pelo menos dois dígitos diferentes. (Zeros à esquerda são permitidos.)
  • Organizar os dígitos em ordem crescente e depois em ordem decrescente de obter dois números de quatro dígitos, acrescentando zeros à esquerda, se necessário.
  • Subtrair o número menor do maior número.
  • Volte ao passo 2.

O processo acima, conhecida como rotina Kaprekar é, será sempre atingir o seu ponto fixo, $6174$, em no máximo $7$ iterações. Uma vez que $6174$ é atingido, o processo continuará rendendo $7641-1467 = 6174$. Por exemplo, escolha $3524$: 

$5432 - 2345 = 3087$
$8730 - 0378 = 8352$
$8532 - 2358 = 6174$

A apenas quatro dígitos para o qual rotina Kaprekar não atinge $6174$ são repdigits tais como $1111$, que dão o resultado $0$ depois de uma única iteração. Todos os outros quatro dígitos, eventualmente, atingir $6174$ se zeros à esquerda são usados ​​para manter o número de dígitos menos $4$:

$2111 - 1112 = 0999$
$9990 - 0999 = 8991$ (em vez de $999-999 = 0$)
$9981 - 1899 = 8082$
$8820 - 0288 = 8532$
$8532 - 2358 = 6174$
$9831$ chega a $6.174$ após $7$ iterações:

$9831 - 1389 = 8442$
$8442 - 2448 = 5994$
$9954 - 4599 = 5355$
$5553 - 3555 = 1998$
$9981 - 1899 = 8082$
$8820 - 0288 = 8532$ (em vez de $882-288 = 594$)
$8532 - 2358 = 6174$

$8774, 8477, 8747, 7748, 7487, 7847, 7784, 4877, 4787, 4778$ e chegar a $6174$ após $4$ iterações:

$8774 - 4778 = 3996$
$9963 - 3699 = 6264$
$6642 - 2466 = 4176$
$7641 - 1467 = 6174$

Note-se que em cada iteração da rotina Kaprekar, os dois números que estão sendo subtraído um do outro têm a mesma soma de dígitos e, portanto, o restante mesmo modulo $9$.

Portanto, o resultado de cada iteração da rotina Kaprekar é um múltiplo de $9$.

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O número 6174
O número 6174 é conhecido como constante de Kaprekar.
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