A irracionalidade de $\sqrt {3}$

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Neste post erá analisada por meio da prova por contradição a irracionalidade da raiz quadrada de 3

Diz a lenda que quando um dos discípulos de Pitágoras questionou sobre a veracidade da existência do número $\sqrt{2}$, discutindo hipoteticamente se os lados dos dois catetos fossem o número 1, mandaram matá-lo por afogamento.

Mais tarde veio Euclides, acabando com a polêmica pitagórica de que a natureza era regida apenas por números inteiros naturais. Certamente a demonstração não tinha a rigorosidade que se é necessária hoje em dia.

Para que uma determinada proposição seja aceita como verdadeira é preciso que ela passe por uma demonstração matemática rígida, que obedeça aos princípios matemáticos (axiomas). Uma prova matemática pode ter vários caminhos: prova por indução, por contradição, etc.

Neste post erá analisada por meio da prova por contradição a irracionalidade do número $\sqrt{3}$.

Uma demonstração por contradição implica em, como o nome já diz, contrariar uma determinada proposição.

Assim:

Mostrar que um número é racional, implica em escrevê-lo como uma fração (razão) de dois números inteiros, com o denominador não nulo. Então se não for possível mostrar tal fato, implica que o número é irracional.

A demonstração consistirá em provar que $\sqrt{3}$ é um número irracional, isto é, pode ser escrito como a razão de dois números inteiros quaisquer.

Por contradição temos que:

$\sqrt{3}$ é um número racional, assim podemos escrevê-lo como:

$\sqrt{3}=\cfrac{a}{b}$
Equação 1

Devemos mostrar que não há dois inteiros quaisquer.

Quadrando os dois membros na Equação 1 obtemos:

Objetivo: Fazer desaparecer a radiciação, pois $(\sqrt{3})^{2}=\sqrt{3} \times \sqrt{3}=\sqrt{9}=3$.

$3=\left ( \frac{a}{b} \right )^{2}$
Equação 2

ou

$3b^{2}=a^{2}$
Equação 2.1


Se $b$ é ímpar, então $b^{2}$ é ímpar, neste caso, $a$ e $a^{2}$ também são ímpares. Da mesma forma, se $a$ e $b$ forem pares. Uma vez que qualquer escolha de valores para $a$ e $b$ levam à relação $\frac{a}{b}$ que pode ser reduzida por cancelamento de um fator comum de dois, então devemos supor que $a$ e $b$ são ímpares e que a relação $\frac{a}{b}$ já está reduzida as menores condições possíveis. Como $a$ e $b$ representam dois números ímpares, podemos escrever:

$a=2m+1$
Equação 3

e

$b=2n+1$
Equação 4

Considere $m$ e $n$ inteiros, para assegurar os valores inteiros de $a$ e $b$.

Substituindo as equações 3 e 4 na equação 2.1 temos que:

$3(2n+1)^{2}=(2m+1)^{2}$
$3[(2n)^{2}+2.2n.1+1^{2}]=(2m)^{2}+2m.1+1^{2}$
$3(4n^{2}+4n+1)=4m^{2}+4m+1$
$12n^{2}+12n+3-1=4m^{2}+4m$
$12n^{2}+12n+2=4m^{2}+4m$
$\cfrac{n^{2}+12n+2}{2}=\cfrac{4m^{2}+4m}{2}$
$6n^{2}+6n+1=2m^{2}+2m$

Após algumas operações algébricas elementares, temos que:

$6n^{2}+6n+1=2(m^{2}+m)$
Equação 5

Note que o primeiro membro da Equação 5 é um número inteiro ímpar. No segundo membro da mesma equação, por outro lado, é um inteiro par. Não há soluções para Equação 5. Portanto, os valores inteiros de $a$ e $b$ que satisfazem a relação $\sqrt{3}=\cfrac{a}{b}$ não podem ser encontrados.

Conclusão: $\sqrt{3}$ é irracional.

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A irracionalidade de $\sqrt {3}$
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