Uma simples brincadeirinha do ponto de vista matemático.
Lembro-me de uma brincadeira de quando era criança (ainda brinco com meus alunos), que consistia em pedir que um colega digitasse um número de telefone na calculadora e depois o multiplicasse por um número inteiro qualquer (sem deixar ninguém ver), em seguida tomava a calculadora e apertava várias vezes no botão de raiz quadrada (√) até obter no visor da calculadora o número 1. Quando aparece o número “um”, basta clicar no botão igual e é mostrado o número do telefone digitado no início.

Brincadeira também tem Limites

Isso é mágica! Como é possível? Mágica com uma calculadora? Isso acontece porque quando chegamos a “1” e apertamos o botão igual a máquina faz a operação anterior novamente (no caso, a multiplicação), ou seja, o número que foi digitado antes é revelado pois foi multiplicado pela unidade. Podemos observar isso ao fazermos a potenciação na calculadora só com os botões x e =, por exemplo, obter 24.

Quando fazemos 2 x 2 = 4, em seguida ao digitar a tecla igual o resultado é multiplicado por 2 novamente, pois a última operação anterior é 2 x, então o processo acima obtém o resultado 2 x 2 x 2 x 2 = 24 = 16.

Vejamos como se dá o processo:

1. Digitamos um número real positivo x;
2. Multiplicamos por outro número k (qualquer número real positivo);
3. Pressionando o botão igual obtemos um número real positivo k.x;
4. Extraímos “n” vezes a raiz quadrada de k.x até igualarmos a 1;
5. Quando visualizarmos o número 1 no visor, pressionamos a tecla igual, então é revelado o número x que era desconhecido.

Só encontramos o valor do número x porque a calculadora guarda em sua memória o número antecessor à última operação realizada e ao extrairmos várias vezes a raiz quadrada de um número real positivo obtemos sempre o número 1 (quanto maior for a precisão da calculadora mais demorado fica de obter 1). Na verdade, a extração de raízes quadradas ou cúbicas sucessivas de um número real positivo tem como “limite” o valor 1.

Acompanhe a Álgebra por trás dessa inocente brincadeirinha.

Matematicamente podemos mostrar que a extração da raiz quadrada sucessivas vezes tem um “valor limite” igual a um.

Assim:



Aplicando log (logaritmo) em ambos os membros, temos:


Note que quando (lê-se: “n” tende a infinito), ou seja, um número natural muito grande, assim   também se torna extremamente grande, enquanto seu inverso,  se aproxima de zero ou    .

Então:



Um exemplo: 

Suponhamos que seu número de telefone seja 2009 2009, multiplique-o por 9 (mas pode escolher outro número se preferir), obtendo 180828081. Usando uma calculadora cientifica com 10 dígitos encontramos . Ou seja, extraindo a raiz quadrada 37 vezes sucessivamente obtemos o “valor limite” 1, em calculadoras com menos dígitos chegamos ao valor limite com um processo mais curto. Depois disso, aperte o botão igual que é revelado o número “secreto”, 2009 2009. 

Faça essa brincadeira com os seus amigos!


Registro todos os créditos aos cálculos algébricos de meu amigo Prof. Patrício Souza (colega de formatura em 2007)
Edigley Alexandre

Edigley Alexandre

Graduado em Matemática pelo DME na UERN em 2007, leciona Geometria, Matemática e Física. Blogueiro Part-Time desde 2007. Membro do Google+ Create em Português. Seu interesse é compartilhar conhecimento matemático interligado à Tecnologia da Informação e Comunicação, assim como artigos de opinião sobre Educação, Matemática e Educação Matemática.

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