Brincadeira também tem Limites

Uma simples brincadeirinha do ponto de vista matemático.

Lembro-me de uma brincadeira de quando era criança (ainda brinco com meus alunos), que consistia em pedir que um colega digitasse um número de telefone na calculadora e depois o multiplicasse por um número inteiro qualquer (sem deixar ninguém ver), em seguida tomava a calculadora e apertava várias vezes no botão de raiz quadrada (√) até obter no visor da calculadora o número 1. Quando aparece o número “um”, basta clicar no botão igual e é mostrado o número do telefone digitado no início.

Isso é mágica! Como é possível? Mágica com uma calculadora? Isso acontece porque quando chegamos a “1” e apertamos o botão igual a máquina faz a operação anterior novamente (no caso, a multiplicação), ou seja, o número que foi digitado antes é revelado pois foi multiplicado pela unidade. Podemos observar isso ao fazermos a potenciação na calculadora só com os botões x e =, por exemplo, obter 2^4.

Quando fazemos 2 x 2 = 4, em seguida ao digitar a tecla igual o resultado é multiplicado por 2 novamente, pois a última operação anterior é 2 x, então o processo acima obtém o resultado 2 x 2 x 2 x 2 = 2⁴ = 16.

Vejamos como se dá o processo:

1. Digitamos um número real positivo x;
2. Multiplicamos por outro número k (qualquer número real positivo);
3. Pressionando o botão igual obtemos um número real positivo k.x;
4. Extraímos “n” vezes a raiz quadrada de k.x até igualarmos a 1;
5. Quando visualizarmos o número 1 no visor, pressionamos a tecla igual, então é revelado o número x que era desconhecido.

Só encontramos o valor do número x porque a calculadora guarda em sua memória o número antecessor à última operação realizada e ao extrairmos várias vezes a raiz quadrada de um número real positivo obtemos sempre o número 1 (quanto maior for a precisão da calculadora mais demorado fica de obter 1). Na verdade, a extração de raízes quadradas ou cúbicas sucessivas de um número real positivo tem como “limite” o valor 1.

Acompanhe a Álgebra por trás dessa inocente brincadeirinha.

Matematicamente podemos mostrar que a extração da raiz quadrada sucessivas vezes tem um “valor limite” igual a um.

Assim:

Aplicando log (logaritmo) em ambos os membros, temos:

Note que quando (lê-se: “n” tende a infinito), ou seja, um número natural muito grande, assim   também se torna extremamente grande, enquanto seu inverso,  se aproxima de zero ou    .

Então:

Um exemplo: 

Suponhamos que seu número de telefone seja 2009 2009, multiplique-o por 9 (mas pode escolher outro número se preferir), obtendo 180828081. Usando uma calculadora cientifica com 10 dígitos encontramos . Ou seja, extraindo a raiz quadrada 37 vezes sucessivamente obtemos o “valor limite” 1, em calculadoras com menos dígitos chegamos ao valor limite com um processo mais curto. Depois disso, aperte o botão igual que é revelado o número “secreto”, 2009 2009. 

Faça essa brincadeira com os seus amigos!

Registro todos os créditos aos cálculos algébricos de meu amigo Prof. Patrício Souza (colega de formatura em 2007)