Neste artigo é mostrado uma aplicação, dos ternos pitagóricos, na vida real, tal como: dada a medida da diagonal de uma TV em polegadas, encontrar a largura e o comprimento dessa TV em números inteiros.
Para achar as medidas dos catetos de um triângulo pitagórico (triângulo retângulo cujas medidas dos lados são expressas por número inteiros) dada a medida da hipotenusa um natural $\mathbb{(N)}$, $N\geqslant5$, é necessário saber como se escreve qualquer natural como soma de dois quadrados.

Neste artigo é mostrado uma aplicação, dos ternos pitagóricos, na vida real, tal como: dada a medida da diagonal de uma TV em polegadas, encontrar a largura e o comprimento dessa TV em números inteiros.

Diante do exposto, objetivo é aprofundar o trabalho em A Matemática por Trás dos Tamanhos das TVs, publicado aqui no blog.

Como calcular as dimensões de uma TV, em números inteiros, dada a medida da diagonal?

Encontrar regras para escrever um natural $N$ composto como soma de dois quadrados $N= x^{2}+y^{2}$ não é difícil, difícil é encontrar regras para escrever um primo $(p)$ como soma de dois quadrados:  $p=x^{2}+y^{2}$. Haja vista que um número composto tem dois ou mais fatores primos, enquanto um número primo só tem um fator primo que é ele mesmo.

Sejam $a$, $b$ e $c$ naturais $\mathbb{(N)}$, respectivamente, cateto menor, cateto maior e hipotenusa; como as medidas dos lados de um triângulo pitagórico  são dadas por: $c^{2}=x^{2}+y^{2}$, logo, dada a medida da hipotenusa um natural composto ou primo, temos que encontrar um terno pitagórico ($a$, $b$ e $c$ naturais) pelas fórmulas de Euclides, as quais são:

$a=x^{2} – y^{2}$
$b=2.x.y$
$c^{2}=x^{2}+y^{2}$

Propriedades das formulas de Euclides:

1) Só geram ternos pitagóricos primitivos, ou seja, $mdc(x,y) = 1$; 
2) $x>y$ e de paridades opostas, ou seja, um par e outro ímpar;
4) $x^{2}+y^{2}$; $(x,y>0)$ é sempre da forma $4.x+1$;
5) $a$ e $c$ são sempre ímpar;
6) $b$ é sempre par.

Portanto, para achar as medidas dos catetos de um triângulo pitagórico dada a medida da hipotenusa um número composto ou primo, é necessário escrever a medida da hipotenusa como soma de dois quadrados.

Condições de solução

  • Um número natural da forma $4.x+3$ não pode ser escrito como soma de dois quadrados;
  • Se ao fatorar um natural $N$ composto, e na sua fatoração houver fatores primos da forma $4.x+3$ em quantidade ímpar, $N$ não pode ser escrito como soma de dois quadrados.

Conjecturas de Sebá

1) Se um natural $N$ for da forma $2^{k}$, $k$ (par), então: $N=0^{k}+2^{k}$.

Exemplos:

$N=4$, então, $4 = 2^{2} = 0^{2} + 2^{2}$
$N=16$, então, $16 = 2^{4} = 0^{4} + 2^{4}$
$N=64$, então, $64 = 2^{6} = 0^{6} + 2^{6}$

2) Se um natural $N$ composto for da forma $2^{k}$, $k$ (ímpar $>1$), então, $N=2^{k-1}+2^{k-1}$.

Exemplos:

$N = 8$, então,  $8 = 2^{3} = 2^{3-1} + 2^{3-1} = 2^{2} + 2^{2}$
$N = 32$, então, $32 = 2^{5} = 2^{5-1} + 2^{5-1} = 4^{2} + 4^{2}$
$N = 128$, então, $128 = 2^{7} = 2^{7-1} + 2^{7-1} = 8^{2} + 8^{2}$

Regra para escrever um natural composto como soma de dois quadrados

1º passo: verifique se o natural composto dado é um quadrado perfeito ou da forma $2^{k}$.  Caso seja, use as conjecturas de Sebá. Caso contrário, verifique se ele é da forma $4.x + 3$; se não for, vá para o 2º passo.

2º passo: fatore o número; após fatorá-lo, verifique se a quantidade de fator(es) primo(s) da forma $4x + 3$ é par ou ímpar; caso essa quantidade seja ímpar, o número dado não pode ser escrito como soma de dois quadrados. 

Exemplos:

Escreva os naturais $9, 15, 32,128, 512, 27$ e $833$ como soma de dois quadrados.

Resolução:
Fatorando $9$, obtém-se os seguintes fatores primos: $3$ e $3$. Como na fatoração de $N$ há dois primos da forma $4.x + 3$ (quantidade par), e nenhum primo da forma $4.x + 1$, logo, pela conjectura de Sebá, $9 = 0 ^{2} + 3 ^{2}$.

Fatorando $15$, obtém-se os seguintes fatores primos: $3$ e $5$. Como $3$ é da forma $4.x +3$ e, além disso, em quantidade ímpar, logo, $15$ não pode ser escrito como soma de dois quadrados. Já que $32 = 2^{5}$, logo, pela conjectura de Sebá: $32 = 2^{4} + 2^{4} = 4^{2} + 4^{2}$.

Como $128 = 2^{7}$, logo, pela conjectura de Sebá: $128=2^{6} + 2^{6} = 8^{2} + 8^{2}$. Já que $512 = 2^{9}$, logo, pela conjectura de Sebá: $512 = 2^{8} + 2^{8} = 16^{2} + 16^{2}$.

Como os fatores primos de $27$ são: $3, 3, 3$, em quantidade ímpar, logo, $27$ não pode ser escrito como soma de dois quadrados. Já que os fatores primos de $833$ são: $7, 7$ e $17$, e $7$ é da forma $4.x + 3$ e em quantidade par e, além disso, $17$ é da forma $4.x + 1$, logo, $833$ pode ser escrito como soma de dois quadrados. E como escrever $833$ como soma de dois quadrados? É o que veremos a seguir.

Diz-se que um número primo $(p)$ é da forma $4.x + 1$,  se $p$ dividido por $4$ deixar resto $1$, ou seja, se $x=\cfrac{p-1}{4}$ for um inteiro. Exemplo:$x=\cfrac{17-1}{4}=4$.

Fermat provou que: todo primo da forma 4x + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados de maneira única; mas não explicou como achar x e y.

Os números $5, 13, 17, 29, 37$ e $41$ são da forma $4.x + 1$, logo:

$5 = 1^{2} + 2^{2}$
$13 = 2^{2} + 3^{2}$
$17 = 1^{2} + 4^{2}$
$29 = 2^{2} + 5^{2}$
$37 = 1^{2} + 6^{2}$
$41 = 4^{2} + 5^{2}$

Fermat também provou, que um primo da forma $4.x + 3$ não pode ser escrito como a soma de dois quadrados. Um primo $(p)$ é da forma $4.x + 3$, se $p$ dividido por $4$ deixar resto $3$, ou seja, se $x=\cfrac{p-3}{4}$  for um inteiro.

Nota-se, que em todos os primos da forma $4.x + 1$, $p = x^{2} + y^{2}$, $x$ e $y$ são primos entre si e de paridades opostas, ou seja, um par e outro ímpar. Será que essa propriedade é sempre verdadeira?

Euclides provou, que a fórmula $x^{2} + y^{2} = c$ ($c$ a hipotenusa), se $c$ for um primo, $c$ é da forma $4.x + 1$ e, além disso, $x$ e $y$  são sempre primos entre si e de paridades opostas, um par e outro ímpar.

Para nossas atividades práticas do dia a dia, escrever um primo com um, dois ou três dígitos como soma de dois quadrados, já é satisfatório. Procurar método para escrever um primo com mais de três dígitos como soma de dois quadrados sem usar um programa computacional, isso é tarefa para os teóricos dos números.

Baseado na demonstração de Euclides, deduzimos uma fórmula para encontrar $x$ e $y$ para primos pequenos; para primos grandes é aconselhável usar o Wolfram Alpha.

Dedução da fórmula:

Como $p = x^{2} + y^{2}$, então,  $y=\sqrt{p-x^{2}}$.  Já que $p-x^{2}$ não pode ser negativo, logo, $x \leqslant \sqrt {p}$.

Regra:

1º  passo: verifique se o primo $(p)$ dado é da forma $4.x + 1$; se não for, então, $p$ não pode ser escrito somo soma de dois quadrados. Se $p$ for da forma $4.x + 1$, extraia a raiz quadrada de $p$ e considere apenas a parte inteira (PI). O valor de $x$ estará no intervalo: $2\leq x\leq$PI. Como $997$ é da forma $4.x + 1$,  temos:  . (PI = 31). O intervalo a ser testado seria: $1\leq x\leq 31$. Teríamos que testar: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30$ e $31$.

Já que se $x$ for ímpar, $y$ é par ou se $x$ for par, $y$ é ímpar, vamos supor que $x$ seja par.

Como o último algarismo de um número primo pode ser $1, 3, 7$ ou $9$, logo:

a) Se o último algarismo de um primo for $1$, testar $x$ terminado em zero, $4$ ou $6$; 
b) Se o último algarismo de um primo for $3$, testar $x$ terminado em $2$ ou $8$;
c) Se o último algarismo de um primo for $7$, testar $x$ terminado em $4$ ou $6$; 
d) Se o último algarismo de um primo for $9$, testar $x$ terminado em zero, $2$ ou $8$.      

Já que $p = 997$ termina em $7$, logo, basta testar $x = 4, 6, 14, 16, 24$ e $26$. Portanto, em vez de testar $31$ números, agora basta testar $6$.    
     
2º passo: Vá subtraindo $x^{2}$ de $p$; quando $p-x^{2}$ for um quadrado perfeito, pare. Esse quadrado perfeito é o valor de $y^{2}$. Como $997$ é primo, logo, $997$ só pode ser escrito de maneira única como soma de dois quadrados.

$p-x^{2} = 997 – 4^{2} = 981$ (Não é quadrado perfeito ou NQP)
$p-x^{2} = 997 – 6^{2} = 961$ (Quadrado perfeito QP)
   
$997 = 31^{2} +  6^{2}$

Exemplos:

1) Escreva o número composto $833$ como soma de dois quadrados. Vimos que os fatores primos de $833$ são: $7, 7$ e $17$; já que $7$ é da forma $4.x + 3$ com expoente par, logo, $833$ pode ser escrito como soma de dois quadrados. Como $17$ é um primo da forma $4.x + 1$, logo, para escrever $833$ como soma de dois quadrados temos que escrever $17$ como soma de dois quadrados. Seguindo o 1º passo da regra, temos:

$\sqrt{17}=4,12$ (PI$=4$)

Como $x$ está no intervalo, $1\leq x\leq$PI, logo, $1\leq x\leq 4$. Como $p$ termina em $7$, logo, $x$ termina em $4$ ou $6$, logo, $x = 4$. Como $17$ é da forma $4.x +1$, logo, $17$ só pode ser escrito de maneira única como soma de dois quadrados.

$p – x^{2} = 17 – 4^{2} = 1$ (QP)

Portanto, $x = 4$ e $y = 1$. E $17 = 4^{2} + 1^{2}$.
     
Como $833 = 7 \times 7 \times 17 = 49 \times 17 = (0^{2} + 7^{2})\times(1^{2} + 4^{2})$. Já que queremos achar $x$ e $y$ tal que $833 = x^{2} + y^{2}$, logo, considere os números complexos $z_{1}$ e $z_{2}$ formados pelas parcelas dos números $49$ e $17$.

$z_{1} = 0 +7i$  e  $z_{2} = 1 + 4i$  
$z_{1} \times z_{2} = (0 + 7i)\times(1 + 4i) =  7i + 28i^{2}$  

Como $i^{2} =  – 1$, logo:  $7i + (–28)  =  – 28 + 7i$.
      
Já que $x = 28$  e  $y = 7$, logo, $833 = 28^{2} + 7^{2}$.    

Trocando o sinal de $7i$:
$(0 – 7i)\times(1 + 4i) = 28-7i$   
$x = 28$ e $y = 7$. 

A mesma solução anterior.

Conjectura de Sebá

Sempre que no produto $z_{1} \times z_{2}$ houver $a + bi$ com $a = 0$ ou $a + bi = 1 + i$, o número dado só pode ser escrito de uma única maneira como soma de dois quadrados. 

2) Escrever o número $261$ como soma de dois quadrados.

Resolução:

Fatorando $261$, obtém-se os seguintes fatores primos: $3$, $3$ e $29$. Como $3$ é da forma $4.x + 3$, mas a quantidade é par, e já que $29$ é da forma $4.x + 1$, logo, $261$ pode ser escrito como soma de dois quadrados.

A raiz quadrada de $29$ é $5,38$ (PI$= 5$). Como $x$ está no intervalo, $1 \leq x \leq$PI, logo, $1 \leq x \leq5$. Como $p$ termina em $9$, logo, $x$ termina em zero, $2$ ou $8$. Então, $x = 2$, $8$ ou $10$. Pelo intervalo, $x = 2$.

$p – x^{2} = 29 – 2^{2} = 25$ (QP)
$29 = 5^{2} + 2^{2}$
$261 = 9 \times 29 = (0^{2} + 3^{2})\times(2^{2} + 5^{2})$       
$z_{1} = 0 +3i$  e  $z_{2} = 2 + 5i$  
$z_{1} \times z_{2} = (0 + 3i)\times(2 + 5i) =  6i + 15i^{2}$  
Como $i^{2} =  – 1$, logo:  $6i + (–15)  =  – 15 + 6i$.
      
Já que $x = 6$ e $y = 15$, logo, $261 = 6^{2} + 15^{2}$.  

Pela conjectura de Sebá, como no produto $z_{1} \times z_{2}$ existe $0 + 3i$, logo, $261$ só pode ser escrito como soma de dois quadrados, de uma única maneira. 

Conjectura de Sebá

Se $M$ e $N$ podem ser escritos como soma de dois quadrados, então, $M \times N$ também pode ser escrito como soma de dois quadrados.

Exemplos:

1) Seja $M = 2$ e $N = 5$. Como $2 = 1^{2} + 1^{2}$ e $5 = 2^{2} + 1^{2}$, então, $M \times N = 2 \times 5 = 10 = (1^{2} + 1^{2}) \times ( 1^{2} + 2^{2})$. Considere os números complexos

$z_{1}$ e $z_{2}$ formados pelas parcelas dos números $2$ e $5$.
$z_{1} = 1^{2} + 1^{2} = 1 + i$  e  $z_{2} = 1^{2} + 2^{2} = 1 + 2i$
$z_{1} \times z_{2} = (1^{2} + 1^{2}) \times ( 1^{2} + 2^{2}) = (1 + i) \times (1 + 2i) = 1 + 3i + 2i^{2}$    

Como $i^{2} =  – 1$, logo: $1 +  3i + (–2)  =  – 1 + 3i$.
      
Já que $10 = x^{2} + y^{2}$, então, $x = 3$ e $y = 1$ ou $x = 1$ e $y = 3$, logo, $10 = 3^{2} + 1^{2}$   

Trocando o sinal de $i$:

$(1 – i)\times(1 + 2i) = 1 + i – 2i^{2} = i + 3$  

Como $10 = x^{2} + y^{2}$, então, $x = 3$ e $y = 1$ ou $x = 1$ e $y = 3$. A mesma solução anterior. Logo, $10$ só pode ser escrito de maneira única como soma de dois quadrados de inteiros.

Flagrante da vida real

Atualmente as telas de TVs são fabricadas com o comprimento da diagonal em números inteiros, com a largura e o comprimento não necessariamente em números inteiros. 

Vamos supor que a partir de agora, por uma exigência de mercado, os fabricantes  sejam obrigados a fabricar telas com a largura e o comprimento expressos em números inteiros; pergunta-se: dada a medida da diagonal de uma tela em número inteiro, como determinar, matematicamente, a largura e o comprimento em números inteiros?  A seguir vamos apresentar alguns exemplos.

Exemplos:

1) Se a tela de uma TV vai ser fabricada com a medida da diagonal igual a 40 polegadas, quais as medidas em polegadas da largura e do comprimento em números inteiros? Qual a área da tela? 

Resolução:

Fatorando $40$ encontra-se os seguintes fatores primos: $2, 2, 2, 5$. Como existem os fatores primos $2$ em quantidade ímpar, mas podem ser escritos como soma de dois quadrados, $2 = 1^{2} + 1^{2}$ e somente um fator primo $5$ que é da forma $4.x + 1$, logo, só existe um triângulo pitagórico com hipotenusa igual a $40$. Já que $5 = 2^{2} + 1^{2}$, logo: $40 = 5 \times 8 = (2^{2} + 1^{2}) \times 8$. 

Portanto, pelas fórmulas de Euclides, temos:

$a = (2^{2} + 1^{2}) \times 8 = 24$
$b = (2\times2\times1) \times 8 = 32$
$c = (2^{2} + 1^{2}) \times 8 = 40$

Resposta:

Largura da tela = $24$ polegadas
Comprimento da tela = $32$ polegadas
Área da tela: $a \times b = 24 \times 32 = 768$ $in^{2}$

2) Se a tela de uma TV vai ser fabricada com a medida da diagonal igual a $50$ polegadas, quais as medidas em polegadas da largura e do comprimento em números inteiros?  

Resolução:

Fatorando $50$ encontram-se os seguintes fatores primos: $2, 5, 5$. Como existe o fator  primo $2$ em quantidade ímpar, mas podem ser escritos como soma de dois quadrados, $2 = 1^{2} + 1^{2}$. E como existem dois fatores primos $5$ e $5$ que são da forma $4.x + 1$, logo, existem dois triângulos pitagóricos com hipotenusa igual a $50$. Já que $5 = 2^{2} + 1^{2}, logo, $50 = 5 \times 10 = (2^{2} + 1^{2}) \times 10. Já que $5 \times 5 = 25$, logo, $50 = 25 \times 2 = (4^{2} + 3^{2}) \times 2. 

Usando as fórmulas de Euclides, obtém-se os dois triângulos pitagóricos:

1ª tela:

$a = (2^{2} – 1^{2}) \times 10 = 30$ 
$b = (2\times2\times1) \times 10 = 40$
$c = (2^{2} + 1^{2}) \times 10 = 50$

1ª tela:

Largura = $30$ polegadas
Comprimento = $40$ polegadas
Área da tela: $a \times b = 30 \times 40 = 1200$ $in^{2}$

$a = (4^{2} – 3^{2}) \times 2 = 14$
$b = (2 \times 4 \times 3) \times 2 = 48$
$c = (4^{2} + 3^{2}) \times 2 = 50$

2ª tela: 

Largura da tela = $14$ polegadas
Comprimento da tela = $48$ polegadas
Área da tela: $a\times b = 14 \times 48 = 672$ $in^{2}$

Embora as duas telas tenham cada uma a medida da diagonal igual a 50 polegadas, a área da primeira tela é $78,57\%$ maior do que a área da segunda tela.
                
3) Se as telas de TV vão ser fabricadas com as medidas das diagonais iguais a $32$, $42$ e $46$ polegadas, quais as medidas em polegadas da largura e do comprimento em números  inteiros?  Qual a área de cada tela?

Resolução:

Fatorando $32$ encontram-se os seguintes fatores primos: $2$, $2$, $2$, $2$, e $2$. Como não existe nenhum fator primo da forma $4.x + 1$, logo, não existe nenhum triângulo pitagórico com hipotenusa igual a $32$. 

Fatorando $42$ encontram-se os seguintes fatores primos: $2$, $3$, e $7$. Como não existe nenhum fator primo da forma $4.x + 1$, logo, não existe nenhum triângulo pitagórico com hipotenusa igual a $42$. 

Fatorando $46$ encontram-se os seguintes fatores primos: $2$ e $23$. Como não existe nenhum fator primo da forma $4.x + 1$, logo, não existe nenhum triângulo pitagórico com hipotenusa igual a $46$. Portanto, não se pode fabricar tela de TVs com $32”$, $42”$ e $46”$ com largura e comprimento em números inteiros. 
  
4) Se as telas de TV vão ser fabricadas com as medidas das diagonais iguais  a $57$, $63$, $75$, $85$ ou $87$ polegadas, quais as medidas em polegadas da largura e do comprimento em números inteiros? Qual a área de cada tela?

Resolução:

Fatorando $57$ encontram-se os seguintes fatores primos: $3$ e $19$. Como não existe nenhum fator primo da forma $4.x + 1$, logo, não existe nenhum triângulo pitagórico com hipotenusa igual a $57$. 

Fatorando $63$ encontram-se os seguintes fatores primos: $3$, $3$ e $7$. Como não existe nenhum fator primo da forma $4.x + 1$, logo, não existe nenhum triângulo pitagórico com hipotenusa igual a $63$. 

Fatorando $75$ encontram-se os seguintes fatores primos: $3$, $5$ e $5$. Como existem dois fatores primos $5$ e $5$ que são da forma $4.x + 1$, logo, existem dois triângulos pitagóricos com hipotenusa igual a $75$. Já que $5 = 2^{2} + 1^{2}$, logo, $75 = 5 \times 15 = (2^{2} + 1^{2}) \times 15$. Já que $5 \times 5 = 25$, logo, $75 = 25 \times 3 = (4^{2} + 3^{2}) \times 3$. 

Usando as fórmulas de Euclides, obtém-se os dois triângulos pitagóricos:

$a = (2^{2} – 1^{2})\times15 = 45$ 
$b = (2\times2\times1)\times15 = 60$
$c = (2^{2} + 1^{2})\times15 = 75$

Resposta

1ª tela:
Largura  $= 45$ polegadas
Comprimento  $= 60$ polegadas
Área da tela $= a \times b = 45 \times 60 = 2700$ $in^{2}$

$a = (4^{2} – 3^{2})\times3 = 21$
$b = (2\times4\times3)\times3 = 72$
$c = (4^{2} + 3^{2})\times3 = 75$  

2ª tela:

Largura  $= 21$ polegadas
Comprimento  $= 72$ polegadas
Área da tela $= a \times b = 21 \times 72 = 1512$ $in^{2}$

Embora as duas telas tenham cada uma a medida da diagonal igual a $75$ polegadas, a área da primeira tela é $78,57\%$ maior do que a área da segunda tela.

5) Se as telas de TV vão ser fabricadas com as medidas das diagonais iguais  a $17$, $19$, $29$ e $47$ polegadas, quais as medidas em polegadas da largura e do comprimento em números inteiros?  

Resolução:

Como $17$, $29$, $37$, $47$ são primos, e um número primo só tem um fator primo que é ele mesmo, logo, não podemos usar o método usado para escrever um número composto como soma de dois quadra,dos.

O que devemos primeiro fazer é verificar quais primos são da forma $4.x + 1$ e $4.x + 3$. Primos da forma $4.x + 1$: $17$ e $29$. E primos da forma $4.x + 3$: $19$ e $47$. 

Conclusão: os primos $17$ e $29$ podem ser escritos como soma de dois quadrados. E  os primos $19$ e $47$ não podem ser escritos como soma de dois quadrados.  
Usando a regra

1º passo.
A raiz quadrada de $17$ é $4,12$, logo, PI $= 4$. Portanto, $2 \leq PI \leq 4$. Como $17$ termina em $7$, logo, $x$ termina em $4$ ou $6$. Assim sendo, $x = 4$.

2º passo. 
$17 – 4^{2} = 1$ (QP). Portanto: $17 = 4^{2} + 1^{2}$. Usando as fórmulas de Euclides, obtém-se:
$a = 4^{2} – 1^{2} = 15$
$b = 2\times4\times1 = 8$
$c = 4^{2} + 1^{2} = 17$

Resposta:

Largura da tela $= 8$ polegadas
Comprimento da tela $= 15$ polegadas
Área da tela: $8\times15 = 120$ $in^{2}$

1º passo. 
A raiz quadrada de $29$ é $5,38$, logo, PI $= 5$. Portanto, $2 \leq PI \leq 5$. Como $29$ termina em $9$, logo, $x$ termina em zero, $2$ ou $8$. Assim sendo, $x = 2$.

2º passo. 
$29 – 2^{2} = 25$ (QP). Portanto: $29 = 5^{2} + 2^{2}$. Usando as fórmulas de Euclides, obtém-se:
$a = 5^{2} – 2^{2} = 21$
$b = 2\times5\times2 = 20$
$c = 5^{2} + 2^{2} = 25$

Resposta:

Largura da tela $= 20$ polegadas
Comprimento da tela $= 21$ polegadas
Área da tela: 20\times21 $= 420$ $in^{2}$

Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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