Como calcular as dimensões de uma TV, em números inteiros, dada a medida da diagonal?

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Para achar as medidas dos catetos de um triângulo pitagórico (triângulo retângulo cujas medidas dos lados são expressas por número inteiros)...

Para achar as medidas dos catetos de um triângulo pitagórico (triângulo retângulo cujas medidas dos lados são expressas por número inteiros) dada a medida da hipotenusa um natural $\mathbb{(N)}$, $N\geqslant5$, é necessário saber como se escreve qualquer natural como soma de dois quadrados.

Neste artigo é mostrado uma aplicação, dos ternos pitagóricos, na vida real, tal como: dada a medida da diagonal de uma TV em polegadas, encontrar a largura e o comprimento dessa TV em números inteiros.

Diante do exposto, objetivo é aprofundar o trabalho em A Matemática por Trás dos Tamanhos das TVs, publicado aqui no blog.

Como calcular as dimensões de uma TV, em números inteiros, dada a medida da diagonal?

Encontrar regras para escrever um natural $N$ composto como soma de dois quadrados $N= x^{2}+y^{2}$ não é difícil, difícil é encontrar regras para escrever um primo $(p)$ como soma de dois quadrados:  $p=x^{2}+y^{2}$. Haja vista que um número composto tem dois ou mais fatores primos, enquanto um número primo só tem um fator primo que é ele mesmo.

Sejam $a$, $b$ e $c$ naturais $\mathbb{(N)}$, respectivamente, cateto menor, cateto maior e hipotenusa; como as medidas dos lados de um triângulo pitagórico  são dadas por: $c^{2}=x^{2}+y^{2}$, logo, dada a medida da hipotenusa um natural composto ou primo, temos que encontrar um terno pitagórico ($a$, $b$ e $c$ naturais) pelas fórmulas de Euclides, as quais são:

$a=x^{2} – y^{2}$
$b=2.x.y$
$c^{2}=x^{2}+y^{2}$

Propriedades das formulas de Euclides:

1) Só geram ternos pitagóricos primitivos, ou seja, $mdc(x,y) = 1$; 
2) $x>y$ e de paridades opostas, ou seja, um par e outro ímpar;
4) $x^{2}+y^{2}$; $(x,y>0)$ é sempre da forma $4.x+1$;
5) $a$ e $c$ são sempre ímpar;
6) $b$ é sempre par.

Portanto, para achar as medidas dos catetos de um triângulo pitagórico dada a medida da hipotenusa um número composto ou primo, é necessário escrever a medida da hipotenusa como soma de dois quadrados.

Condições de solução

  • Um número natural da forma $4.x+3$ não pode ser escrito como soma de dois quadrados;
  • Se ao fatorar um natural $N$ composto, e na sua fatoração houver fatores primos da forma $4.x+3$ em quantidade ímpar, $N$ não pode ser escrito como soma de dois quadrados.

Conjecturas de Sebá

1) Se um natural $N$ for da forma $2^{k}$, $k$ (par), então: $N=0^{k}+2^{k}$.

Exemplos:

$N=4$, então, $4 = 2^{2} = 0^{2} + 2^{2}$
$N=16$, então, $16 = 2^{4} = 0^{4} + 2^{4}$
$N=64$, então, $64 = 2^{6} = 0^{6} + 2^{6}$

2) Se um natural $N$ composto for da forma $2^{k}$, $k$ (ímpar $>1$), então, $N=2^{k-1}+2^{k-1}$.

Exemplos:

$N = 8$, então,  $8 = 2^{3} = 2^{3-1} + 2^{3-1} = 2^{2} + 2^{2}$
$N = 32$, então, $32 = 2^{5} = 2^{5-1} + 2^{5-1} = 4^{2} + 4^{2}$
$N = 128$, então, $128 = 2^{7} = 2^{7-1} + 2^{7-1} = 8^{2} + 8^{2}$

Regra para escrever um natural composto como soma de dois quadrados

1º passo: verifique se o natural composto dado é um quadrado perfeito ou da forma $2^{k}$.  Caso seja, use as conjecturas de Sebá. Caso contrário, verifique se ele é da forma $4.x + 3$; se não for, vá para o 2º passo.

2º passo: fatore o número; após fatorá-lo, verifique se a quantidade de fator(es) primo(s) da forma $4x + 3$ é par ou ímpar; caso essa quantidade seja ímpar, o número dado não pode ser escrito como soma de dois quadrados. 

Exemplos:

Escreva os naturais $9, 15, 32,128, 512, 27$ e $833$ como soma de dois quadrados.

Resolução:
Fatorando $9$, obtém-se os seguintes fatores primos: $3$ e $3$. Como na fatoração de $N$ há dois primos da forma $4.x + 3$ (quantidade par), e nenhum primo da forma $4.x + 1$, logo, pela conjectura de Sebá, $9 = 0 ^{2} + 3 ^{2}$.

Fatorando $15$, obtém-se os seguintes fatores primos: $3$ e $5$. Como $3$ é da forma $4.x +3$ e, além disso, em quantidade ímpar, logo, $15$ não pode ser escrito como soma de dois quadrados. Já que $32 = 2^{5}$, logo, pela conjectura de Sebá: $32 = 2^{4} + 2^{4} = 4^{2} + 4^{2}$.

Como $128 = 2^{7}$, logo, pela conjectura de Sebá: $128=2^{6} + 2^{6} = 8^{2} + 8^{2}$. Já que $512 = 2^{9}$, logo, pela conjectura de Sebá: $512 = 2^{8} + 2^{8} = 16^{2} + 16^{2}$.

Como os fatores primos de $27$ são: $3, 3, 3$, em quantidade ímpar, logo, $27$ não pode ser escrito como soma de dois quadrados. Já que os fatores primos de $833$ são: $7, 7$ e $17$, e $7$ é da forma $4.x + 3$ e em quantidade par e, além disso, $17$ é da forma $4.x + 1$, logo, $833$ pode ser escrito como soma de dois quadrados. E como escrever $833$ como soma de dois quadrados? É o que veremos a seguir.

Diz-se que um número primo $(p)$ é da forma $4.x + 1$,  se $p$ dividido por $4$ deixar resto $1$, ou seja, se $x=\cfrac{p-1}{4}$ for um inteiro. Exemplo:$x=\cfrac{17-1}{4}=4$.

Fermat provou que: todo primo da forma 4x + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados de maneira única; mas não explicou como achar x e y.

Os números $5, 13, 17, 29, 37$ e $41$ são da forma $4.x + 1$, logo:

$5 = 1^{2} + 2^{2}$
$13 = 2^{2} + 3^{2}$
$17 = 1^{2} + 4^{2}$
$29 = 2^{2} + 5^{2}$
$37 = 1^{2} + 6^{2}$
$41 = 4^{2} + 5^{2}$

Fermat também provou, que um primo da forma $4.x + 3$ não pode ser escrito como a soma de dois quadrados. Um primo $(p)$ é da forma $4.x + 3$, se $p$ dividido por $4$ deixar resto $3$, ou seja, se $x=\cfrac{p-3}{4}$  for um inteiro.

Nota-se, que em todos os primos da forma $4.x + 1$, $p = x^{2} + y^{2}$, $x$ e $y$ são primos entre si e de paridades opostas, ou seja, um par e outro ímpar. Será que essa propriedade é sempre verdadeira?

Euclides provou, que a fórmula $x^{2} + y^{2} = c$ ($c$ a hipotenusa), se $c$ for um primo, $c$ é da forma $4.x + 1$ e, além disso, $x$ e $y$  são sempre primos entre si e de paridades opostas, um par e outro ímpar.

Para nossas atividades práticas do dia a dia, escrever um primo com um, dois ou três dígitos como soma de dois quadrados, já é satisfatório. Procurar método para escrever um primo com mais de três dígitos como soma de dois quadrados sem usar um programa computacional, isso é tarefa para os teóricos dos números.

Baseado na demonstração de Euclides, deduzimos uma fórmula para encontrar $x$ e $y$ para primos pequenos; para primos grandes é aconselhável usar o Wolfram Alpha.

Dedução da fórmula:

Como $p = x^{2} + y^{2}$, então,  $y=\sqrt{p-x^{2}}$.  Já que $p-x^{2}$ não pode ser negativo, logo, $x \leqslant \sqrt {p}$.

Regra:

1º  passo: verifique se o primo $(p)$ dado é da forma $4.x + 1$; se não for, então, $p$ não pode ser escrito somo soma de dois quadrados. Se $p$ for da forma $4.x + 1$, extraia a raiz quadrada de $p$ e considere apenas a parte inteira (PI). O valor de $x$ estará no intervalo: $2\leq x\leq$PI. Como $997$ é da forma $4.x + 1$,  temos:  . (PI = 31). O intervalo a ser testado seria: $1\leq x\leq 31$. Teríamos que testar: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30$ e $31$.

Já que se $x$ for ímpar, $y$ é par ou se $x$ for par, $y$ é ímpar, vamos supor que $x$ seja par.

Como o último algarismo de um número primo pode ser $1, 3, 7$ ou $9$, logo:

a) Se o último algarismo de um primo for $1$, testar $x$ terminado em zero, $4$ ou $6$; 
b) Se o último algarismo de um primo for $3$, testar $x$ terminado em $2$ ou $8$;
c) Se o último algarismo de um primo for $7$, testar $x$ terminado em $4$ ou $6$; 
d) Se o último algarismo de um primo for $9$, testar $x$ terminado em zero, $2$ ou $8$.      

Já que $p = 997$ termina em $7$, logo, basta testar $x = 4, 6, 14, 16, 24$ e $26$. Portanto, em vez de testar $31$ números, agora basta testar $6$.    
     
2º passo: Vá subtraindo $x^{2}$ de $p$; quando $p-x^{2}$ for um quadrado perfeito, pare. Esse quadrado perfeito é o valor de $y^{2}$. Como $997$ é primo, logo, $997$ só pode ser escrito de maneira única como soma de dois quadrados.

$p-x^{2} = 997 – 4^{2} = 981$ (Não é quadrado perfeito ou NQP)
$p-x^{2} = 997 – 6^{2} = 961$ (Quadrado perfeito QP)
   
$997 = 31^{2} +  6^{2}$

Exemplos:

1) Escreva o número composto $833$ como soma de dois quadrados. Vimos que os fatores primos de $833$ são: $7, 7$ e $17$; já que $7$ é da forma $4.x + 3$ com expoente par, logo, $833$ pode ser escrito como soma de dois quadrados. Como $17$ é um primo da forma $4.x + 1$, logo, para escrever $833$ como soma de dois quadrados temos que escrever $17$ como soma de dois quadrados. Seguindo o 1º passo da regra, temos:

$\sqrt{17}=4,12$ (PI$=4$)

Como $x$ está no intervalo, $1\leq x\leq$PI, logo, $1\leq x\leq 4$. Como $p$ termina em $7$, logo, $x$ termina em $4$ ou $6$, logo, $x = 4$. Como $17$ é da forma $4.x +1$, logo, $17$ só pode ser escrito de maneira única como soma de dois quadrados.

$p – x^{2} = 17 – 4^{2} = 1$ (QP)

Portanto, $x = 4$ e $y = 1$. E $17 = 4^{2} + 1^{2}$.
     
Como $833 = 7 \times 7 \times 17 = 49 \times 17 = (0^{2} + 7^{2})\times(1^{2} + 4^{2})$. Já que queremos achar $x$ e $y$ tal que $833 = x^{2} + y^{2}$, logo, considere os números complexos $z_{1}$ e $z_{2}$ formados pelas parcelas dos números $49$ e $17$.

$z_{1} = 0 +7i$  e  $z_{2} = 1 + 4i$  
$z_{1} \times z_{2} = (0 + 7i)\times(1 + 4i) =  7i + 28i^{2}$  

Como $i^{2} =  – 1$, logo:  $7i + (–28)  =  – 28 + 7i$.
      
Já que $x = 28$  e  $y = 7$, logo, $833 = 28^{2} + 7^{2}$.    

Trocando o sinal de $7i$:
$(0 – 7i)\times(1 + 4i) = 28-7i$   
$x = 28$ e $y = 7$. 

A mesma solução anterior.

Conjectura de Sebá

Sempre que no produto $z_{1} \times z_{2}$ houver $a + bi$ com $a = 0$ ou $a + bi = 1 + i$, o número dado só pode ser escrito de uma única maneira como soma de dois quadrados. 

2) Escrever o número $261$ como soma de dois quadrados.

Resolução:

Fatorando $261$, obtém-se os seguintes fatores primos: $3$, $3$ e $29$. Como $3$ é da forma $4.x + 3$, mas a quantidade é par, e já que $29$ é da forma $4.x + 1$, logo, $261$ pode ser escrito como soma de dois quadrados.

A raiz quadrada de $29$ é $5,38$ (PI$= 5$). Como $x$ está no intervalo, $1 \leq x \leq$PI, logo, $1 \leq x \leq5$. Como $p$ termina em $9$, logo, $x$ termina em zero, $2$ ou $8$. Então, $x = 2$, $8$ ou $10$. Pelo intervalo, $x = 2$.

$p – x^{2} = 29 – 2^{2} = 25$ (QP)
$29 = 5^{2} + 2^{2}$
$261 = 9 \times 29 = (0^{2} + 3^{2})\times(2^{2} + 5^{2})$       
$z_{1} = 0 +3i$  e  $z_{2} = 2 + 5i$  
$z_{1} \times z_{2} = (0 + 3i)\times(2 + 5i) =  6i + 15i^{2}$  
Como $i^{2} =  – 1$, logo:  $6i + (–15)  =  – 15 + 6i$.
      
Já que $x = 6$ e $y = 15$, logo, $261 = 6^{2} + 15^{2}$.  

Pela conjectura de Sebá, como no produto $z_{1} \times z_{2}$ existe $0 + 3i$, logo, $261$ só pode ser escrito como soma de dois quadrados, de uma única maneira. 

Conjectura de Sebá

Se $M$ e $N$ podem ser escritos como soma de dois quadrados, então, $M \times N$ também pode ser escrito como soma de dois quadrados.

Exemplos:

1) Seja $M = 2$ e $N = 5$. Como $2 = 1^{2} + 1^{2}$ e $5 = 2^{2} + 1^{2}$, então, $M \times N = 2 \times 5 = 10 = (1^{2} + 1^{2}) \times ( 1^{2} + 2^{2})$. Considere os números complexos

$z_{1}$ e $z_{2}$ formados pelas parcelas dos números $2$ e $5$.
$z_{1} = 1^{2} + 1^{2} = 1 + i$  e  $z_{2} = 1^{2} + 2^{2} = 1 + 2i$
$z_{1} \times z_{2} = (1^{2} + 1^{2}) \times ( 1^{2} + 2^{2}) = (1 + i) \times (1 + 2i) = 1 + 3i + 2i^{2}$    

Como $i^{2} =  – 1$, logo: $1 +  3i + (–2)  =  – 1 + 3i$.
      
Já que $10 = x^{2} + y^{2}$, então, $x = 3$ e $y = 1$ ou $x = 1$ e $y = 3$, logo, $10 = 3^{2} + 1^{2}$   

Trocando o sinal de $i$:

$(1 – i)\times(1 + 2i) = 1 + i – 2i^{2} = i + 3$  

Como $10 = x^{2} + y^{2}$, então, $x = 3$ e $y = 1$ ou $x = 1$ e $y = 3$. A mesma solução anterior. Logo, $10$ só pode ser escrito de maneira única como soma de dois quadrados de inteiros.

Flagrante da vida real

Atualmente as telas de TVs são fabricadas com o comprimento da diagonal em números inteiros, com a largura e o comprimento não necessariamente em números inteiros. 

Vamos supor que a partir de agora, por uma exigência de mercado, os fabricantes  sejam obrigados a fabricar telas com a largura e o comprimento expressos em números inteiros; pergunta-se: dada a medida da diagonal de uma tela em número inteiro, como determinar, matematicamente, a largura e o comprimento em números inteiros?  A seguir vamos apresentar alguns exemplos.

Exemplos:

1) Se a tela de uma TV vai ser fabricada com a medida da diagonal igual a 40 polegadas, quais as medidas em polegadas da largura e do comprimento em números inteiros? Qual a área da tela? 

Resolução:

Fatorando $40$ encontra-se os seguintes fatores primos: $2, 2, 2, 5$. Como existem os fatores primos $2$ em quantidade ímpar, mas podem ser escritos como soma de dois quadrados, $2 = 1^{2} + 1^{2}$ e somente um fator primo $5$ que é da forma $4.x + 1$, logo, só existe um triângulo pitagórico com hipotenusa igual a $40$. Já que $5 = 2^{2} + 1^{2}$, logo: $40 = 5 \times 8 = (2^{2} + 1^{2}) \times 8$. 

Portanto, pelas fórmulas de Euclides, temos:

$a = (2^{2} + 1^{2}) \times 8 = 24$
$b = (2\times2\times1) \times 8 = 32$
$c = (2^{2} + 1^{2}) \times 8 = 40$

Resposta:

Largura da tela = $24$ polegadas
Comprimento da tela = $32$ polegadas
Área da tela: $a \times b = 24 \times 32 = 768$ $in^{2}$

2) Se a tela de uma TV vai ser fabricada com a medida da diagonal igual a $50$ polegadas, quais as medidas em polegadas da largura e do comprimento em números inteiros?  

Resolução:

Fatorando $50$ encontram-se os seguintes fatores primos: $2, 5, 5$. Como existe o fator  primo $2$ em quantidade ímpar, mas podem ser escritos como soma de dois quadrados, $2 = 1^{2} + 1^{2}$. E como existem dois fatores primos $5$ e $5$ que são da forma $4.x + 1$, logo, existem dois triângulos pitagóricos com hipotenusa igual a $50$. Já que $5 = 2^{2} + 1^{2}, logo, $50 = 5 \times 10 = (2^{2} + 1^{2}) \times 10. Já que $5 \times 5 = 25$, logo, $50 = 25 \times 2 = (4^{2} + 3^{2}) \times 2. 

Usando as fórmulas de Euclides, obtém-se os dois triângulos pitagóricos:

1ª tela:

$a = (2^{2} – 1^{2}) \times 10 = 30$ 
$b = (2\times2\times1) \times 10 = 40$
$c = (2^{2} + 1^{2}) \times 10 = 50$

1ª tela:

Largura = $30$ polegadas
Comprimento = $40$ polegadas
Área da tela: $a \times b = 30 \times 40 = 1200$ $in^{2}$

$a = (4^{2} – 3^{2}) \times 2 = 14$
$b = (2 \times 4 \times 3) \times 2 = 48$
$c = (4^{2} + 3^{2}) \times 2 = 50$

2ª tela: 

Largura da tela = $14$ polegadas
Comprimento da tela = $48$ polegadas
Área da tela: $a\times b = 14 \times 48 = 672$ $in^{2}$

Embora as duas telas tenham cada uma a medida da diagonal igual a 50 polegadas, a área da primeira tela é $78,57\%$ maior do que a área da segunda tela.
                
3) Se as telas de TV vão ser fabricadas com as medidas das diagonais iguais a $32$, $42$ e $46$ polegadas, quais as medidas em polegadas da largura e do comprimento em números  inteiros?  Qual a área de cada tela?

Resolução:

Fatorando $32$ encontram-se os seguintes fatores primos: $2$, $2$, $2$, $2$, e $2$. Como não existe nenhum fator primo da forma $4.x + 1$, logo, não existe nenhum triângulo pitagórico com hipotenusa igual a $32$. 

Fatorando $42$ encontram-se os seguintes fatores primos: $2$, $3$, e $7$. Como não existe nenhum fator primo da forma $4.x + 1$, logo, não existe nenhum triângulo pitagórico com hipotenusa igual a $42$. 

Fatorando $46$ encontram-se os seguintes fatores primos: $2$ e $23$. Como não existe nenhum fator primo da forma $4.x + 1$, logo, não existe nenhum triângulo pitagórico com hipotenusa igual a $46$. Portanto, não se pode fabricar tela de TVs com $32”$, $42”$ e $46”$ com largura e comprimento em números inteiros. 
  
4) Se as telas de TV vão ser fabricadas com as medidas das diagonais iguais  a $57$, $63$, $75$, $85$ ou $87$ polegadas, quais as medidas em polegadas da largura e do comprimento em números inteiros? Qual a área de cada tela?

Resolução:

Fatorando $57$ encontram-se os seguintes fatores primos: $3$ e $19$. Como não existe nenhum fator primo da forma $4.x + 1$, logo, não existe nenhum triângulo pitagórico com hipotenusa igual a $57$. 

Fatorando $63$ encontram-se os seguintes fatores primos: $3$, $3$ e $7$. Como não existe nenhum fator primo da forma $4.x + 1$, logo, não existe nenhum triângulo pitagórico com hipotenusa igual a $63$. 

Fatorando $75$ encontram-se os seguintes fatores primos: $3$, $5$ e $5$. Como existem dois fatores primos $5$ e $5$ que são da forma $4.x + 1$, logo, existem dois triângulos pitagóricos com hipotenusa igual a $75$. Já que $5 = 2^{2} + 1^{2}$, logo, $75 = 5 \times 15 = (2^{2} + 1^{2}) \times 15$. Já que $5 \times 5 = 25$, logo, $75 = 25 \times 3 = (4^{2} + 3^{2}) \times 3$. 

Usando as fórmulas de Euclides, obtém-se os dois triângulos pitagóricos:

$a = (2^{2} – 1^{2})\times15 = 45$ 
$b = (2\times2\times1)\times15 = 60$
$c = (2^{2} + 1^{2})\times15 = 75$

Resposta

1ª tela:
Largura  $= 45$ polegadas
Comprimento  $= 60$ polegadas
Área da tela $= a \times b = 45 \times 60 = 2700$ $in^{2}$

$a = (4^{2} – 3^{2})\times3 = 21$
$b = (2\times4\times3)\times3 = 72$
$c = (4^{2} + 3^{2})\times3 = 75$  

2ª tela:

Largura  $= 21$ polegadas
Comprimento  $= 72$ polegadas
Área da tela $= a \times b = 21 \times 72 = 1512$ $in^{2}$

Embora as duas telas tenham cada uma a medida da diagonal igual a $75$ polegadas, a área da primeira tela é $78,57\%$ maior do que a área da segunda tela.

5) Se as telas de TV vão ser fabricadas com as medidas das diagonais iguais  a $17$, $19$, $29$ e $47$ polegadas, quais as medidas em polegadas da largura e do comprimento em números inteiros?  

Resolução:

Como $17$, $29$, $37$, $47$ são primos, e um número primo só tem um fator primo que é ele mesmo, logo, não podemos usar o método usado para escrever um número composto como soma de dois quadra,dos.

O que devemos primeiro fazer é verificar quais primos são da forma $4.x + 1$ e $4.x + 3$. Primos da forma $4.x + 1$: $17$ e $29$. E primos da forma $4.x + 3$: $19$ e $47$. 

Conclusão: os primos $17$ e $29$ podem ser escritos como soma de dois quadrados. E  os primos $19$ e $47$ não podem ser escritos como soma de dois quadrados.  
Usando a regra

1º passo.
A raiz quadrada de $17$ é $4,12$, logo, PI $= 4$. Portanto, $2 \leq PI \leq 4$. Como $17$ termina em $7$, logo, $x$ termina em $4$ ou $6$. Assim sendo, $x = 4$.

2º passo. 
$17 – 4^{2} = 1$ (QP). Portanto: $17 = 4^{2} + 1^{2}$. Usando as fórmulas de Euclides, obtém-se:
$a = 4^{2} – 1^{2} = 15$
$b = 2\times4\times1 = 8$
$c = 4^{2} + 1^{2} = 17$

Resposta:

Largura da tela $= 8$ polegadas
Comprimento da tela $= 15$ polegadas
Área da tela: $8\times15 = 120$ $in^{2}$

1º passo. 
A raiz quadrada de $29$ é $5,38$, logo, PI $= 5$. Portanto, $2 \leq PI \leq 5$. Como $29$ termina em $9$, logo, $x$ termina em zero, $2$ ou $8$. Assim sendo, $x = 2$.

2º passo. 
$29 – 2^{2} = 25$ (QP). Portanto: $29 = 5^{2} + 2^{2}$. Usando as fórmulas de Euclides, obtém-se:
$a = 5^{2} – 2^{2} = 21$
$b = 2\times5\times2 = 20$
$c = 5^{2} + 2^{2} = 25$

Resposta:

Largura da tela $= 20$ polegadas
Comprimento da tela $= 21$ polegadas
Área da tela: 20\times21 $= 420$ $in^{2}$

Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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Prof. Edigley Alexandre - O blog para professores e estudantes de Matemática: Como calcular as dimensões de uma TV, em números inteiros, dada a medida da diagonal?
Como calcular as dimensões de uma TV, em números inteiros, dada a medida da diagonal?
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