Resolvendo problemas de Matemática Financeira usando uma maquinazinha de "feirante"

Aprenda a resolver problemas de Matemática Financeira usando uma calculadora padrão simples.

Há momentos em que você está resolvendo exercícios de Matemática Financeira, na calculadora científica (virtual) do seu computador e de repente falta energia; na calculadora científica (real) e em dado momento as pilhas descarregam-se ou na calculadora financeira e de repente as baterias descarregam-se.

Imagem: Freepik.com.

É nesse momento que você vai precisar do método de Sebá para continuar resolvendo os exercícios, usando uma maquinazinha de “feirante”, enquanto o problema, de uma das calculadoras, seja sanado.

Método de Sebá para calcular o valor de $(1+i)^{n}, n\in \mathbb{N^{*}}$

Os símbolos entre colchetes $[\quad]$ significam teclas da calculadora.

Para $n$ par $(2n)$.

$1)$ Calcule $(1,04)^{2}$.

Usando uma calculadora científica:

$(1,04)^{2}=1,0816$

Usando uma maquinazinha:

$(1,04)^{2}=1,04$ $[X][=]$ (Aparece no visor: $1,0816$)

Inicialmente a tecla $[X]$ foi pressionada uma vez e a tecla $[=]$ também uma vez, logo, $1 + 1 = 2$ (expoente de $1,04$).

$2)$ Calcule $(1,04)^{4}$

Usando uma calculadora científica:

$(1,04)^{4} = 1,1698585$

  

Usando uma maquinazinha:

     

Vamos resolver o exemplo pelo método de Sebá usando a potenciação, quando o expoente é par:

$(1 + i)^{2n} = (1 + i)^{n} \times (1 + i)^{n}$

Como $(1,04)^{4} = (1,04)^{2} \times (1,04)^{2}$, logo: $1,04$ $[X][=][X][=]$ (Aparece no visor $1,1698585$).

Inicialmente a tecla $[X]$ foi pressionada uma vez e a tecla $[=]$ também uma vez, logo, $1 + 1 = 2$ (expoente de $1,04$ no segundo membro). Sempre que alcançar o expoente  do segundo membro, pare; em seguida basta  pressionar as teclas $[X]$ e $[=]$.

Para n ímpar $(2n + 1)$

$(1 + i)^{2n+1} = (1 + i)^{2n} \times (1 + i) = (1 + i)^{n} \times (1 + i)^{n} \times (1 + i)$

Como já vimos o cálculo de $(1 + i)^{2n}$, logo, basta multiplicar  o resultado de $(1 + i)^{2n}$ por $(1 + i)$.

Exemplos:

$1)$ Calcule $(1,04)^{3}$

Com uma calculadora científica: 

$(1,04)^{3} = 1,124864$

Com uma maquinazinha:

$(1,04)^{3} = (1,04)^{2} \times (1,04) = 1,04$ $[X][=][X]$ $1,04$ $[=]$ (Aparece no visor: $1,124864$)

                                                    

$2)$ Calcule $(1,04)^{5}$

Com uma calculadora científica: 

$(1,04)^{5} = 1,2166528$

Com uma maquinazinha:

$(1,04)^{5} = (1,04)^{4} \times (1,04) = 1,04$ $[X] [=] [X] [=] [X]$ $1,04$ $[=]$ (Aparece no visor: $1,2166528$)

A calculadora científica tem a tecla $\left[ \cfrac{1}{X} \right]$. Se quisermos o valor de $\cfrac{1}{10}$, basta  digitar $[10]$ e pressionar a tecla $\left[ \cfrac{1}{X} \right]$   (Aparece no visor 0,1).

Para obter, numa maquinazinha, o valor de $\cfrac{1}{10}$, basta usar a tecla dividir e fazer: $[10]$ $[\div] [=]$ (Aparece no visor $0,1$).

Já que $(1+i)^{-n}=\cfrac{1}{(1+i)^{n}}$, logo, basta calcular o valor de $(1 + i)^{n}$ do denominador, $n$ par ou ímpar, seguindo as regras já explicadas anteriormente, e em seguida pressionar: $[\div] [=]$.

Exemplos

Para $n$ par $(2n)$

$1)$ Calcule $(1,04)^{-6}$.

Com uma calculadora científica:

$(1,04)^{-6} = 0,7903145$

Com uma maquinazinha:

$(1,04)^{-6}=\cfrac{1}{(1,04)^{6}}$.

$(1,04)^{6} = (1,04)^{3} \times (1,04)^{3} =$  $[X] [=] [=] [X] [=]$  (Aparece no visor $1,265319$).

Então, $\cfrac{1}{(1,04)^{6}}=\cfrac{1}{(1,265319}$. Continuando com o valor $1,265319$ no visor, em seguida basta pressionar as teclas: $[\div] [=]$ (Aparece no visor $0,7903145$).

Resumindo: basta, simplesmente, fazer: $(1,04)^{–6} = 1,04$ $[X][=][=][X][=][\div][=]$ (Aparece no visor: $0,7903145$)

Note que: após você encontrar o valor para $(1,04)^{6}$, em seguida basta pressionar as teclas:$[\div][=]$.

$2)$ Calcule $(1,04)^{–4}$

Com uma calculadora científica:

$(1,04)^{–4} = 0,8548042$

Com uma maquinazinha:

$(1,04)^{–4} = 1,04$ $[X][=][X][=][\div][=]$ $(0,8548042)$
                                                                                                           
Para $n$ ímpar $(2n + 1)$

$2)$ Calcule $(1,04)^{–5}$

Com uma calculadora científica:

$(1,04)^{–5} = 0,8219271$

Com uma maquinazinha:

$(1,04)^{–5} =  1,04$ $[X][=][X][=][X] 1,04 [=][\div][=]$  (Aparece no visor  $0,8219271$)

Note que: após você encontrar o valor para $(1,04)^{5}$, em seguida basta pressionar as teclas: $[\div][=]$

Problemas resolvidos

Problema 01) Uma pessoa aplicou $R\$ 125.555,00$ à taxa de $3\%$ a.m.; qual foi o montante obtido no fim de $4$ meses? 

Dados: 

$P = R\$ 125.555,00$ 

$i = 3\%$ a.m. $= 0,03$

$n = 4$ meses

$S =$ ? (Montante)

Solução: $S = P \times (1 + i)^{n}$

Usando uma calculadora científica:

$S = 125555 \times (1 + 0,03)^{4} = 141313,25$

Resposta: O montante obtido no fim de $4$ meses foi $R\$ 141.313,25$

Usando uma maquinazinha:

          

$(1 + 0,03)^{4} = 1,03$ $[X][=][X][=]$ (Aparece no visor: $1,1255088$)

$S = 125555 \times (1 + 0,03)^{4} = 125555 \times 1,1255088 = R\$ 141.313,25$

Resultado que bate com o encontrado com a calculadora científica.

Problema 02) Uma pessoa aplicou um certo capital à taxa de $3\%$ a.m. e obteve $R\$ 141.313,00$ no fim de $4$ meses, pergunta-se: qual foi o capital aplicado?

Dados: 

$i = 3\%$ a.m. $= 0,03$

$S = R\$141.313,00$

$n  = 4$ meses

$P =$ ? (Capital aplicado)

Se $S = P \times (1 + i)^{n}$, então, $P= S \times (1 + i)^{-n}=\cfrac{S}{(1 + i)^{n}}$

Usando uma calculadora científica:

$P=\cfrac{S}{(1+i)^{n}}=\cfrac{141313}{(1+0,03)^{4}}=R\$ 25.555,25$

Usando uma maquinazinha:

$(1,03)^{4} = (1,03)^{2} \times (1,03)^{2} = 1,03$ $[X][=][X][=]$  (Aparece no visor $1,1255088$). 

$P=\cfrac{S}{(1+i)^{n}}=\cfrac{141313}{(1+0,03)^{4}}=\cfrac{141313}{1,1255088}=R\$ 25.555,25$

Resultado que bate com o encontrado com a calculadora científica.

Problema 03) Uma pessoa aplicou $R\$ 125.555,00$ à taxa de $3\%$ a.m. e obteve $R\$ 141.313,00$, pergunta-se: por quanto tempo o capital ficou aplicado?

Dados: 

$P = R\$ 125.555,00$ 

$i = 3\%$ a.m. $= 0,03$

$S = R\$ 141.313,00$

$n  =$ ? (Inteiro)

Solução: $S = P \times (1 + i)^{n}$

$141313 = 125555 \times (1 + 0,03)^{n}$

$\cfrac{141313}{125555}=(1,03)^{n}$

$1,125507=(1,03)^{n}$

Aplicando logaritmo a ambos os membros, obtém-se:

$\log 1,125507 = n \times \log 1,03$

$n=\cfrac{\log 1,125507}{\log 1,03}=\cfrac{0,051348}{0,012837}=4$

Resposta: Como a taxa está em mês, logo, o capital passou 4 meses aplicado. 

Agora vamos resolver o problema com uma maquinazinha de “feirante”.

Digite $(1,03)$, pressione a tecla $[X]$ e em seguida pressione a tecla $[=]$ até aparecer no visor $1,125507$, e em seguida contar quantas vezes foram pressionadas as teclas $[X]$ e $[=]$.

$(1,03)^{n} = (1,03)$ $[X] [=] [=] [=]$ (aparece no visor: $1,125507$)

Como a tecla $[X]$ foi pressionada uma vez e a tecla $[=]$ três vezes, logo, $1 + 3 = 4$. Portanto, $n = 4$.

Problema 04) Quantos depósitos mensais de $R\$ 1.987,14$ serão necessários para que, se a taxa for $3\%$ a.m., se obtenha um montante de $R\$ 10.550,00$.

Dados: 

$R = R\$ 1.987,14$

$i = 3\%$ a.m. $= 0,03$

$S = R\$ 10.550,00$

$n =$ ? (Inteiro)

$S=R \times \left[ \cfrac{(1+i)^{n}-1}{i} \right]$

$10550=1987,14 \times \left[ \cfrac{(1+0,03)^{n}-1}{0,03} \right]$

$\cfrac{10550}{1987,14}=\cfrac{(1+0,03)^{n}-1}{0,03}$

$5,309138=\cfrac{(1+0,03)^{n}-1}{0,03}$

$0,159274=(1+0,03)^{n}-1$

$(1,03)^{n}=1,159274$

Aplicando logaritmo a ambos os membros, obtém-se:

$n \times \log 1,03 = \log 1,159274$

$n=\cfrac{\log 1,159274}{\log 1,03}=\cfrac{0,064186}{0,012837}=5$

Resposta: Serão necessários $5$ depósitos mensais de $R\$ 1.987,14$.

Agora vamos resolver o problema com uma maquinazinha.

Digite $(1,03)$, pressione a tecla $[X]$, vá pressionando a tecla $[=]$ até aparecer no visor $1,159274$ e em seguida conte quantas vezes foram pressionadas as teclas $[X]$ e $[=]$. $(1,03)^{n} = (1,03)$ $[X] [=] [=] [=] [=] [=]$  (aparece no visor: $1,159274$) 

Como a tecla $[X]$ foi pressionada uma vez e a tecla $[=]$ quatro vezes, logo, $1 + 4 = 5$. Portanto, $n = 5$.

Problema 05) Um produto é vendido por $R\$ 1.500,00$ à vista ou em n prestações iguais e mensais de $R\$ 276,90$. Sabendo-se que a taxa de juros considerada é de $3\%$ a.m., qual é o número de prestações?

Dados: 

$P = R\$ 1.500,00$

$R = R\$ 276,90,00$

$i  = 3\%$ a.m. $= 0,03$

$n =$ ? (Inteiro)

$P=R \times \left[ \cfrac{1-(1+i)^{-n}}{i} \right]$

$1500=276,90 \times \left[ \cfrac{1-(1+0,03)^{-n}}{0,03} \right]$

$\cfrac{1500}{276,90}=\cfrac{1-(1,03)^{-n}}{0,03}$

$5,417118=\cfrac{1-(1,03)^{-n}}{0,03}$

$0,1625135=1-(1,03)^{-n}$

$(1,03)^{-n}=0,837484$

Aplicando logaritmo a ambos os membros, obtém-se:

$–n \times \log 1,03 = \log 0,837484$

$n=\cfrac{\log 0,837484}{- \log 1,03}=\cfrac{-0,077022}{-0,012837}=6$

Resposta: O número de prestações é $6$.

Agora vamos resolver o problema com uma maquinazinha.

Como o expoente de $1,03$ é negativo, digite $(1,03)$, pressione a tecla $[\div]$ e em seguida vá pressionando a tecla $[=]$ até aparecer no visor $0,837484$; depois conte quantas vezes foi pressionada a tecla $[=]$.

$1,03$ $[\div] [=] [=] [=] [=] [=] [=]$ (no visor aparece $0,8374839$ ou $0,837484$)

Como foi pressionada a tecla $[=]$ seis vezes, logo, $n = 6$. Resultado que bate com o que foi encontrado por meio de logaritmo.

Problema 06) Se a taxa de juros, de uma aplicação financeira, foi $6,14\%$ em $4$ meses, qual foi a taxa equivalente mensal?

Resolução:

Os problemas de equivalência de taxas são resolvidos por uma das duas fórmulas:

$i=(1+i_{p})^{p}-1$ ou $i_{p}=\sqrt [p]{1+i} -1$

Onde: 

$i =$ taxa de juros correspondente ao maior período da taxa

$i_{p} =$ taxa de juros correspondente ao menor período da taxa

$p =$ número de vezes em que o menor período da taxa está  contido no maior período da taxa 

• O maior período da taxa é $4$ meses, logo,  $i = 6,14\%$ em $4$ meses.
• O menor período da taxa é mês, logo, a taxa procurada é $i_{p}$.
• O menor período está contido $4$ vezes no maior, logo, $p = 4$.

Dados: 

$i = 6,14\%  = 0,0614$

$p = 4$

$i_{p} =$ ? 

Usando uma calculadora científica:

Solução: $i_{p}=\sqrt [4]{1+0,0614} -1$ ou $100 \times 0,015 = 1,5\%$ a.m.

Resposta: A taxa equivalente mensal foi $1,5\%$ a.m.

Usando a maquinazinha de “feirante”:

$i=\sqrt [2^{n}]{1+i}-1=(1+i)^{\frac{1}{2^{n}}}-1$ (O índice da raíz é $2^{n}$)

Para $n=1$:

$i_{n}=(1+i)^{\frac{1}{2^{n}}}-1=(1+i)^{\frac{1}{2}}-1=\sqrt {1+i}-1$

Para $n=2$:

$i_{n}=(1+i)^{\frac{1}{2^{n}}}-1=(1+i)^{\frac{1}{4}}-1=\left ( (1+i)^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{2}}=\sqrt { \sqrt { 1+i}  }-1$

Para $n=3$:

$i_{n}=(1+i)^{\frac{1}{2^{n}}}-1=(1+i)^{\frac{1}{8}}-1=\left ( \left ( (1+i)^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{2}}=\sqrt { \sqrt { \sqrt { 1+i }  }  } -1$

Para $n=4$:

$i_{n}=(1+i)^{\frac{1}{2^{n}}}-1=(1+i)^{\frac{1}{16}}-1=\left ( \left ( \left ( (1+i)^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{2}}=\sqrt { \sqrt { \sqrt { \sqrt { 1+i }  }  }  } -1$

E assim por diante.

Note que o número de radical é igual ao número de parênteses elevado a $\cfrac{1}{2}$. Como no exemplo $n$ é igual a quatro períodos, logo:

$i=\sqrt { \sqrt {1,0614}  }-1=0,015$ ou $0,015 \times 100=1.5\%$ a.m.

Resultado que bate com o encontrado com a calculadora científica.

Este guest post (artigo convidado) foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.