A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade, em que vive o aluno, em fórmulas matemáticas cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual.
Os sistemas educacionais, principalmente os de Matemática, têm sido, nos últimos duzentos anos, dominados pelo que se pode chamar uma fascinação pelo teórico e abstrato. Teorias e técnicas são muitas vezes apresentadas e desenvolvidas sem relacionamento com fatos reais e, mesmo quando são ilustradas com exemplos, apresentam-se de maneira artificial.

Matemática do Ensino Fundamental versus Modelagem Matemática

Fica-se no teórico e abstrato, mencionando que “essas teorias e técnicas servem para isso ou aquilo”, ilustrando com exemplos artificiais, manipulados e descontextualizados. Isso é particularmente notado no ensino dos cursos universitários de cálculo, assim como nos ensinos Fundamental e Médio da Matemática. 

A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade, em que vive o aluno, em fórmulas matemáticas cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual.

A modelagem nos ensinos Fundamental e Médio é apenas uma estratégia de aprendizagem, onde o mais importante é caminhar seguindo etapas onde o conteúdo matemático vai sendo sistematizado e aplicado. Com a modelagem o processo de ensino-aprendizagem não mais se dá no sentido único do professor para o aluno, mas como resultado da interação do aluno como seu ambiente natural. 

Não é intenção do autor fazer apologia da modelagem matemática como instrumento de evolução de outras ciências. Simplesmente mostrar, por meio de exemplos representativos, como este método pode ser aplicado em várias situações de ensino-aprendizagem, com a intenção de estimular alunos e professores de Matemática dos ensinos Fundamental e Médio, a desenvolverem suas próprias habilidades como modeladores.

E, nessa compreensão, podemos dizer que a inserção da modelagem nos ensinos Fundamental e Médio deve ser compreendida como um meio de evitar que os alunos adquiram a visão e as crenças de ser a Matemática algo necessário somente para o futuro escolar, sem relação alguma com a sociedade e com os seus problemas cotidianos. Com isso, o que se pretende não é apenas ensinar Matemática, mas oferecer subsídios para que atuem e compreendam a sociedade e, ao mesmo tempo, desenvolvam habilidades matemáticas e saibam argumentar e interpretar modelos matemáticos, num sentido amplo.

A Matemática está presente na vida das pessoas, no trabalho e em várias ações diárias. Porém, percebe-se no âmbito escolar, dos ensino Fundamental e Médio, que a Matemática é conceituada como uma disciplina de difícil compreensão e que não desperta o gosto dos alunos. Esse problema pode ser entendido pela falta de ações pedagógicas que atendam ao interesse dos alunos e que as façam estabelecer relações entre a Matemática aprendida em sala de aula e seus usos no cotidiano.

Em outras palavras, pode-se dizer que o ensino da Matemática nos ensinos Fundamental e Médio, hoje, é pouco motivador, pois se apresenta associado às práticas de reprodução de procedimentos matemáticos, o que não é atraente aos alunos. Considerando esses aspectos, percebe-se que há necessidade de inovação em relação às metodologias de ensino da Matemática nos ensinos Fundamental e Médio.

A modelagem matemática pode ser uma metodologia que corresponda aos interesses dos alunos, pois possibilita um aprendizado além do uso de apostilas e livros didáticos, podendo oferecer aos alunos uma forma mais dinâmica e lúdica de aprender os conhecimentos matemáticos. Assim, a modelagem matemática é uma maneira, no mínimo relevante, a ser considerada em âmbito escolar para a construção e elaboração de conceitos matemáticos no ensino fundamental. 

Há vários assuntos no programa de matemática dos ensinos Fundamental e Médio que podem ser modelados. Outros não podem ser modelados, mas tem aplicação no cotidiano do aluno, são: o mínimo múltiplo comum, o máximo divisor comum e os divisores de um número.

Exemplo de modelagem matemática

Logo abaixo um exemplo de modelagem matemática com a matemática vista no ensino Fundamental. Em outra oportunidade veremos um exemplo de modelagem matemática com a matemática vista no ensino Médio.

Um teatro, com capacidade para 100 pessoas, fechou um contrato com uma escola para exibição de um espetáculo. De acordo com o contrato, os termos principais foram:

– O valor de 20 U.M.  por aluno se todos os lugares forem vendidos; 
– Se não forem vendidos todos os lugares, o preço por aluno deve aumentar 2 U.M.

O dono do teatro quer saber: quantos lugares devem ser vendidos para que ele obtenha receita máxima?

Resolução

a) Sem usar a modelagem matemática;
b) Usando a modelagem matemática.

a) Sem usar a modelagem matemática

Sejam: $p$, $q$ e $R$, respectivamente, preço por aluno, quantidade de pessoas e receita (o mesmo que arrecadação). Como $R=p \times q$, logo:

$p$ $q$ $R$
20 100 2000 U.M.
22 99 2178 U.M.
24 98 2352 U.M.
26 97 2522 U.M.
28 96 2688 U.M.
30 95 2850 U.M.
. . .
. . .
. . .
100 60 6000 U.M.
102 59 6018 U.M.
104 58 6032 U.M.
108 56 6048 U.M.
110 55 6050 U.M.
112 54 6048 U.M.


Note que: entre os preços de 108 U.M. e 112 U.M. a receita atinge o máximo, ou seja, o dono do teatro deve vender 55 lugares para obter a maior receita a qual é de 6050 U.M.

Encontramos a quantidade de lugares que o dono do teatro deve vender para obter a máxima receita, após encontrar uma lista de várias receitas. Veremos a seguir como a modelagem matemática é uma ferramenta muito útil para se encontrar o valor máximo.

b) Usando a modelagem matemática

Quando você, caro leitor (ou aluno), estudou a equação do 1º grau, viu que dois pontos determinam uma reta. Na coluna de $p$ e $q$ vamos escolher os seguintes pontos:

$q$   $p$ $q$   $p$
$(100,$ $20)$ e $(99,$ $22)$
$x_{0}$   $y_{0}$ $x_{1}$   $y_{1}$
A fórmula dá a equação do 1º grau:
$\cfrac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}=\cfrac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}$

Pode-se escolher $p$ em função de $q$ ou $q$ em função de $p$. Como o dono do teatro quer saber quantos lugares devem ser vendidos para que ele obtenha receita máxima, logo, vamos encontrar o preço ($p$) em função da quantidade ($q$). A fórmula da equação do 1º grau fica:
$\cfrac{p-p_{0}}{p_{1}-p_{0}}=\cfrac{q-q_{0}}{q_{1}-q_{0}}$$(1)$

Substituindo os valores de cada ponto na $(1)$, obtém-se:

$\cfrac{p-20}{22-20}=\cfrac{q-100}{99-100}$
$(p-20).(99-100)=(22-20).(q-100)$
$(p-20).(-1)=(2).(q-100)$
$20-p=2q-200$
$p=-2q+220$$(2)$

Como a receita ($R$) é igual ao preço ($p$) vezes quantidade ($q$), ou seja, $R=p.q$, logo multiplicando ambos os membros da $(2)$ por $q$, obtém-se:

$p.q= – 2q.q + 220.q$
$R=-2q^{2}+220.q$$(3)$

A equação (3) é o modelo matemático para o problema em questão.

Já que a equação $(3)$ é do 2º grau, logo, seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente de $q^{2}$ é negativo, então, a receita total atinge o máximo no vértice da parábola. Como o vértice da parábola é dado por:

$V_{q}=\cfrac{-b}{2.a}$, e com $a=-2$ e $b=220$, logo:
$V_{q}=\cfrac{-220}{2.(-2)}$
$V_{q}=55$

Portanto, $q=55$.

Substituindo $q=55$ na $(3)$, obtêm-se:

$R(55)=-2.(55)^{2}+220.(55)=-2.(3025)+220.(55)=-6050+12100=6050$ U.M.

Portanto, o dono do teatro deve vender $55$ lugares para obter a maior receita; a qual é de $6050$ U.M.  

Resultado que bate com o que foi encontrado sem usar a modelagem matemática. Só que o resultado obtido com a modelagem matemática, em termo de ensino-aprendizagem, é muito mais importante, haja vista que usando a modelagem matemática o aluno aplica o que aprendeu sobre a equação do 1º grau.

Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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2 comentários:

  1. Isso tudo depende da concepção de modelagem adotada. Para outros autores, o que foi apresentado como exemplo, não é de modelagem. Isso não minimiza a qualidade da proposta, apenas não entende como sendo modelagem.

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  2. Prezado Unknown
    Antes de responder ao seu comentário, desejaria que você me explicasse qual a diferença entre: modelo matemático e modelagem matemática.

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