O sonho imaginário de Sebá com Fermat

Na noite de 21 de agosto de 2016, Sebá sonhou com Fermat e foi desenrolada uma conversa entre os dois que a seguir será descrita.

Na noite de 21 de agosto de 2016, Sebá sonhou com Fermat e foi desenrolada uma conversa entre os dois que a seguir será descrita.

Sebá – Fermat, não sei se você está sabendo que em 1995 a comunidade matemática aceitou a prova dada por Andrew Wiles para a sua famosa conjectura. Após a prova dada por Wiles, surgiu uma certa dúvida por todos os que compõem a comunidade matemática em saber se você tinha realmente uma demonstração.

Fermat – Mas qual é a dúvida?

Sebá – Sua “grande proposição” por você escrita (tal como toda uma série de teoremas concernentes à teoria dos números), sob forma de anotação, nas margens de uma obra de Diofanto, está escrita com as seguintes palavras: “Encontrei uma demonstração verdadeiramente maravilhosa, para esta proposição, mas aqui há pouco espaço para desenvolvê-la.” Então, a dúvida, da comunidade matemática, é saber se você tinha realmente uma demonstração. Com altíssima probabilidade, diz a comunidade matemática: a resposta é não.

Fermat – Ora, só porque a demonstração que encontrei não cabia no espaço que eu dispunha, então, vem agora a comunidade matemática afirmar categoricamente: “com altíssima probabilidade que eu não tinha a demonstração?” E em que argumento a comunidade matemática se baseia, para dizer tal afirmação?

Sebá – Baseia-se no seguinte: se a demonstração de Wiles utilizou teorias que você certamente não conhecia e ocupou mais de 200 páginas que nenhuma margem de livro, por maior que fosse, seria capaz de conter, então, o mais provável, segundo a comunidade matemática, é que você tenha cometido um erro semelhante aos que cometeram milhares de amadores e profissionais que tentaram demonstrar depois de você.

Fermat – A validade de minha proposição levou tanto tempo para ser demonstrada em virtude de a comunidade matemática tentar demonstrá-la usando teorias sofisticadas e deixando de procurar algo de sutil e profundo que está escondido nela. Ao perceber esse algo de sutil e profundo que está por trás da minha proposição, demonstrei-a com a matemática acessível a qualquer estudante de formação mediana. 

Sebá – E qual é esse algo de sutil e profundo que está escondido na sua proposição?

Fermat – Pegue lápis e papel e escreva o que vou ditar. Qualquer dúvida, pare e peça-me esclarecimento. Daqui para frente tudo que eu disser vá escrevendo.

A equação $a^{n}+b^{n}=c^{m}$ tem infinitas soluções para $a$, $b$, $c$ $\in \mathbb{N}$ e $n$, $m$ primos entre si.

Demonstração

Multiplicando ambos os membros de $a^{n}+b^{n}=c^{m}$ por $(a^{n}+b^{n})^{m}$, obtêm-se:

$(a^{n}+b^{n}).(a^{n}+b^{n})^{m}=(a^{n}+b^{n})^{m}.c^{m}$     $(1)$

Como $c^{m}=a^{n}+b^{n}$, logo, substituindo o valor de $c^{m}$ na $(1)$, obtêm-se:

$(a^{n}+b^{n}).(a^{n}+b^{n})^{m}=(a^{n}+b^{n})^{m+1}$

ou

$a^{n}.(a^{n}+b^{n})^{m}+b^{n}.(a^{n}+b^{n})^{m}=(a^{n}+b^{n})^{m+1}$     $(2)$

Se escolhermos valores para $a$ e $b$ tal que $a\leqslant b$ ou $a\geqslant  b$, e substituirmos na $(2)$, obtém-se valores inteiros positivos para $a$, $b$ e $c$ (F.A.D.).

Método de resolução da equação $a^{n}+b^{n}=c^{m}$

Seja, por exemplo, dividir um quadrado em dois cubos de várias maneiras diferentes:

$a^{3}+b^{3}=c^{2}$

Como o expoente de $a$ e $b$ é $3$, logo, substituindo na $(2)$ $n$ por $3$, obtém-se:

$a^{3}.(a^{3}+b^{3})^{m}+b^{3}.(a^{3}+b^{3})^{m}=(a^{3}+b^{3})^{m+1}$     $(3)$

Como na equação $a^{3}+b^{3}=c^{2}$, o membro da direita tem expoente $3$ e o da esquerda, expoente $2$, logo, temos que encontrar dois números $m$ e $m+1$ que seja possível decompor $m$ em potência de $3$ e $m+1$ em potência de $2$. Isso só será possível se $m$ e $m+1$ forem, respectivamente, múltiplo de $3$ e $2$. Logo, $m=6k-3$ e $m+1=6k-2$.

Substituindo os valores de $m$ e $m+1$ na $(3)$, vem:

$a^{3}.(a^{3}+b^{3})^{6k-3}+b^{3}.(a^{3}+b^{3})^{6k-3}=(a^{3}+b^{3})^{6k-2}$     $(4)$

Seja $k=1$ e $a=b=1$. Substituindo os valores de $k$, $a$ e $b$ na $(4)$, vem:

$2^{3}+2^{3}=(2^{2})^{2}$

Solução: $a=b=2$ e $c=4$.

Se escolhermos, por exemplo, $k=2$ e $a=b=1$, e substituirmos na $(4)$, obtém-se:

$(2^{5})^{3}+(2^{5})^{3}=(2^{8})^{2}$

Solução: $a=b=32$ e $c=256$.

E assim por diante.

Seja, por exemplo, dividir uma biquadrada em dois cubos, de várias maneiras diferentes:

$a^{3}+b^{3}=c^{4}$

Como na equação $a^{3}+b^{3}=c^{4}$, o membro da direita tem expoente $3$ e o da esquerda, expoente $4$, logo, temos que encontrar dois números $m$ e $m+1$ que seja possível decompor $m$ em potência de $3$ e $m+1$ em potência de $4$. Isso só será possível se $m$ e $m+1$ forem, respectivamente, múltiplo de $3$ e $4$. Nesse caso, $m=12k-9$ e $m+1=12k-8$.

Substituindo os valores de $m$ e $m+1$ na $(3)$, vem:

$a^{3}.(a^{3}+b^{3})^{12k-9}+b^{3}.(a^{3}+b^{3})^{12k-9}=(a^{3}+b^{3})^{12k-8}$     $(5)$

Seja $k=1$ e $a=b=1$. Substituindo os valores de $k$, $a$ e $b$ na $(5)$, vem:

$2^{3}+2^{3}=2^{4}$

Solução: $a=b=c=2$.

Se escolhermos, por exemplo, $k=1$ e $a=b=2$, e substituirmos na $(5)$, obtém-se:

$2^{3}.(16^{3})+(2^{3}).(16^{3})=16^{4}$

Solução: $a=b=32$ e $c=16$.

E assim por diante.

Fermat –  Continue escrevendo.

A minha equação $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ não tem solução em inteiros positivos para $n>2$, mas a equação $a^{n}+b^{n}=c^{n-1}$ para $n\in \mathbb{N}$ tem infinitas soluções, haja vista que $n$ e $n-1$ são primos entre si. A equação $a^{n}+b^{n}=c^{n+1}$ para $n\in \mathbb{N}$ também tem infinitas soluções, haja vista que $n$ e $n+1$ são primos entre si.

Vimos que a equação $a^{3}+b^{3}=c^{2}$ tem infinitas soluções. Note que essa equação é o resultado da minha equação, $a^{3}+b^{3}=c^{3}$, quando se subtrai a unidade do expoente do segundo membro.

Vimos também que a equação $a^{3}+b^{3}=c^{4}$ tem infinitas soluções. Essa equação é o resultado da minha equação, $a^{3}+b^{3}=c^{3}$ , quando se soma a unidade ao expoente do segundo membro. 

A minha equação fica oscilando entre as duas equações, ou seja:

$a^{3}+b^{3}=c^{2}$

$a^{3}+b^{3}\neq c^{3}$

$a^{3}+b^{3}=c^{4}$

Portanto, para $x$, $y$, $z$ (inteiros positivos não nulos) a equação $z^{n}=x^{n}+y^{n}$, $n>2$, não tem solução. 

Tudo o que ficou dito acima, Sebá escreveu após o sonho. Agora ele quer consultar a comunidade matemática para saber se as idéias de Fermat estão corretas. Em caso negativo, Sebá quer saber onde está o erro cometido por Fermat.

Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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