A equação de primeiro grau aplicada na atividade de um viajante

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Equação do primeiro grau aplicada na atividade de um viajante que deseja saber qual locadora de carros é mais econômica.

Francisco era professor de matemática do Ensino Fundamental, e ao ensinar aos alunos como resolver equações de primeiro grau e achar o coeficiente angular da reta, vira-se para a turma:

— Alguma pergunta?

Um dos alunos, por nome José, pergunta:

— Professor, já que o senhor nos ensinou a resolver equações de 1º grau, o senhor poderia dar um exemplo de um problema da vida real, que para solucioná-lo seja necessário usar uma equação de 1º grau?

O professor respondeu:

— Há muitos anos que eu leciono matemática, mas nunca vi um só problema da vida real que para solucioná-lo fosse necessário usar a equação de 1º grau.

José ao chegar em casa, sua mãe pergunta:

— Qual o dever de casa, meu filho?

Respondeu José:

— Resolver equações de 1º grau e achar o coeficiente angular da reta.

— O pai de José ao ouvir falar em equação do 1o do primeiro grau, diz:
Na época que estudei o Ensino Fundamental (antigo primário), nunca tive o menor interesse em aprender bobeiras, tais como: mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum e equações de 1º grau, etc.

— Por que papai?

— Ora, porque durante o período que frequentei a escola, em momento algum tive a oportunidade de ver, em sala de aula, uma só aplicação da matemática numa situação prática do dia a dia.

— É uma verdade papai. O professor Francisco disse em sala de aula, que há muito tempo ensina matemática, mas nunca viu uma aplicação da equação do 1º numa situação real.

João que estudava em outra escola do Ensino Fundamental, cujo professor era Sebá, ao chegar em casa, seu pai pergunta:

— Meu filho, a matemática que seu professor está ensinando, ele mostra alguma aplicação na vida real?

O filho responde:

— Sim, papai! Mas por que o senhor pergunta?

— Porque o professor de José ensinou como resolver equação de 1º grau, mas nunca viu, na sua vida como professor de matemática, uma só aplicação da equação de 1º grau numa situação real.

— Pois, papai, o professor Sebá disse que na próxima aula vai apresentar-nos uma aplicação da equação de 1º grau, numa situação real.

O pai ao ouvir falar em aplicação da equação de 1º grau, diz ao filho:

— Meu filho, pergunte ao professor Sebá se é possível ele formular um problema relacionado com a minha atividade de viajante, que na resolução de tal problema seja aplicada a equação de 1º grau?

O problema

A equação do primeiro grau aplicada na atividade de um viajante

Certo dia na aula do professor Sebá, João trouxe o seguinte problema: papai é viajante, e precisa fazer uma viagem. Ele pretende alugar um carro numa das locadoras existentes na cidade. Ele visitou as duas locadoras e anotou o aluguel cobrado por cada uma. Na locadora A, o aluguel de um carro é de R\$140,00 mais R\$15,00 por cada quilômetro rodado; na B, é de R\$200,00 mais R\$14,00 por quilômetro rodado.

Qual locadora papai deverá escolher?

O professor Sebá ao ler o problema para os alunos, dirige-se ao quadro-negro e escreve:

A resolução

Vamos designar por $y_{1}$ a locadora A, e por $y_{2}$ a locadora B. Determinemos a equação para cada locadora, que dá o custo total por quilômetro rodado. Para a locadora A: após rodar um quilômetro, o custo será: $y_{1}=140+15 \cdot (1)$. Após rodar dois 2 quilômetros, o custo será: $y_{1}= 140 + 15 \cdot (2)$. E assim por diante.

Após rodar $x$ quilômetros, o custo será: $y_{1}=140+15 \cdot x$. A equação, $y_{1}=140+15 \cdot x$, dá o custo total para $x$ quilômetros rodados.

Por meio de um raciocínio idêntico, chega-se à conclusão de que a equação da locadora B, que dá o custo total para $x$ quilômetros rodados, será: $y_{2}=200+14 \cdot x$.

Encontrada a equação do custo total para cada locadora, resta saber o seguinte: quantos quilômetros seu pai deverá percorrer a fim de que seja indiferente alugar o carro em qualquer uma das duas locadoras?

Quantos quilômetros seu pai deverá percorrer a fim de que seja melhor escolher a locadora A ou B?

A fim de que seja indiferente alugar o carro na locadora A ou B, é necessário que os custos totais das duas locadoras sejam iguais para determinado número de quilômetros rodados. Ora, os custos das duas locadoras só serão iguais, quando $y_{1}=y_{2}$, ou seja, $140+15 \cdot x=200+14 \cdot x$. Logo, a fim de que $y_{1}=y_{2}$, o valor de $x$ deverá ser igual a $60$.

Para responder a segunda pergunta, teremos que traçar, num só diagrama, os gráficos das equações $y_{1}$ e $y_{2}$. Como $y_{1}=140+15 \cdot x$, logo, se $x=0$, então, $y_{1}=140$. E como $y_{2}=200+14 \cdot x$, logo, se $x=0$, então, $y_{2}=200$. Colocando num mesmo diagrama os valores de $x$, $y_{1}$ e $y_{2}$ , obteremos:

Gerado com o Wolfram Alpha

Podemos observar no gráfico acima, que para $x$ menor que $60$, a reta $y_{2}=200+14 \cdot x$ está acima da reta $y_{1}=140+15 \cdot x$. Isso significa dizer que, para $x$ menor que $60$, o custo total da locadora $y_{2}$ é maior que o da locadora $y_{1}$.

Analisemos, agora, o gráfico para $x$ maior que $60$. Observe que, para $x$ maior que $60$, a reta $y_{1}=140+15 \cdot x$ está acima da reta $y_{2}=200+14 \cdot x$. Isso significa dizer, que para $x$ maior que $60$, o custo total da locadora $y_{1}$ é maior que o da locadora $y_{2}$.

O professor Sebá, ao resolver o problema, vira-se para João, e diz:

— Se seu pai pretende fazer um percurso de $60$ quilômetros, então, é indiferente alugar o carro na locadora A ou B.

Caso ele pretenda viajar menos de $60$ quilômetros, então, é mais econômico alugar o carro na locadora A. Por outro lado, se ele deseja viajar mais de $60$ quilômetros, então, é mais econômico alugar o carro na locadora B.

Uma resolução alternativa

Quantos quilômetros o pai de José deverá percorrer a fim de que seja melhor escolher a locadora A?

Como o custo da locadora A é dado por $140+15 \cdot x$ e o da locadora B é dado por $200+ 14 \cdot x$, logo, o custo da locadora A deve ser menor do que o custo da locadora B, ou seja:

$$140+15 \cdot x<200+14 \cdot x$$ $$15x-14x < 200-140$$
Resolvendo obtém-se: $x < 60$ quilômetros.

Resultado que bate com o encontrado graficamente.

Quantos quilômetros o pai de José deverá percorrer a fim de que seja melhor escolher a locadora B?

Como o custo da locadora A é dado por $140+15 \cdot x$ e o da locadora B é dado por $200+14 \cdot x$, logo, o custo da locadora B deve ser menor do que o custo da locadora A, ou seja:

$$200+14 \cdot x < 140+15 \cdot x$$ $$200-140 < 15x-14x$$
Resolvendo, obtém-se: $x > 60$ quilômetros.

Resultado que bate com o encontrado graficamente.

Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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