Os divisores de um número nas atividades de dois agricultores

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Qual o interesse que do aluno tem em aprender como achar a quantidade de divisores de um número se o professor não mostra aos alunos a utilidade que eles têm na vida real de cada um?

Qual o interesse que o aluno tem em aprender como achar a quantidade de divisores de um número se o professor não mostra aos alunos a utilidade que eles têm na vida real de cada um?

O autor dessa postagem descobriu duas propriedades interessantes nos divisores de um número, a qual pode ser usada em situações da vida real do aluno.

Propriedade 1

Seja $a \neq b \neq c \neq d$ os divisores, com um algarismo, de um dado número natural. Com os divisores de um algarismo formemos os números com dois algarismos $ab$ e $cd$, onde $a$ e $c$ são as dezenas dos números $ab$ e $cd$; e $b$ e $d$ são as unidades. Se  $a \cdot c$ for igual a $b \cdot d$, então, $ab \cdot cd = ba \cdot dc$.

Vejamos um  exemplo:

Os divisores de $24$ são; $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12$ e $24$.   

Com os divisores $1, 6, 2$ e $3$ formemos os números: $13$ e  $26$. As dezenas de $13$ e $62$ são $1$ e $6$ e as unidades são $3$ e $2$. Como $1 \cdot 6= 3 \cdot 2$, logo, $13 \cdot 62 = 31 \cdot 26$, ou seja, $806 = 806$.

Com os divisores $2, 1, 4$ e $8$ formemos os números: $21$ e $48$. As dezenas de $21$ e $48$ são $2$ e $4$ e as unidades são $1$ e $8$. Como $2 \cdot 4= 1 \cdot 8$, logo, $21 \cdot 48 = 12 \cdot 84$, ou seja, $1008 = 1008$.

Com os divisores $3, 2, 4$ e $6$ formemos os números: $32$ e $46$. As dezenas de $32$ e $46$ são $3$ e $4$ e as unidades são $2$ e $6$. Como $3 \cdot 4= 6 \cdot 2$, logo, $32 \cdot 46 = 64 \cdot 23$, ou seja, $1472= 1472$.

Com os divisores $3, 4, 6$ e $8$ formemos os números: $36$ e $84$. As dezenas de $36$ e $84$ são $3$ e $8$ e as unidades são $6$ e $4$. Como $3 \cdot 8= 6 \cdot 4$, logo, $36 \cdot 84 = 48 \cdot 63$, ou seja, $3024 = 3024$.

Os divisores de um número nas atividades de dois agricultores

Propriedade 2

Seja $ab \neq cd$ os divisores, com dois algarismos, de um dado número natural, sendo  $a$ e $c$ as dezenas dos números $ab$ e $cd$; e $b$ e $d$, as unidades. Se  $a \cdot c$ for igual a $b \cdot d$, então, $ab \cdot cd = ba \cdot dc$. 

Vejamos um exemplo:

Os divisores de $36$ com a propriedade 2 são os números $12$ e $36$, haja vista que os algarismos da unidades são $1$ e $6$; e os da dezenas são $2$ e $3$. Como $1 \cdot 6 = 2 \cdot 3$, logo, $12 \cdot 63 = 21 \cdot 36$, ou seja, $756 = 756$.

Você pode estar perguntando a si mesmo: em que situação da vida real o aluno vai precisar usar as propriedades acima? É o que veremos a seguir:    

Flagrante da vida real

O pai de João e José deixou como herança, dois terrenos retangulares cada um com área igual a $1148 m^{2}$. João cercou o seu terreno com sete lances de arame farpado e deixou dois metros para colocar uma cancela.

Cada lance de cerca tinha $190 m$ ($192m – 2m$) de comprimento; José disse a João que também cercou o seu terreno com sete lances de arame farpado e deixou dois metros para colocar uma cancela. Só que cada lance de cerca tinha $136m$ ($138m – 2m$) de comprimento.

José está dizendo a verdade ou ele está mentindo?  

Resolução:

Os divisores de $1148$, área dos terrenos, são: $1, 2, 4, 7, 14, 28, 41, 82, 164$ e $287$, $574$ e $1148$. Pelas duas propriedades os divisores $164, 287, 524$ e $1148$ não servem, haja vista que cada um deles tem mais de dois algarismos.

Os divisores, de um só algarismo, $1, 2, 4, 7$ também não servem, haja vista que eles não estão de acordo com a propriedade 1.

Os divisores $14, 28, 41 e 82$, estão de acordo com a propriedade 2, haja vista que o produto das dezenas de $14$ e $28$ é igual ao produto das unidades de $14$ e $28$, ou seja, $4 \cdot 2 = 1 \cdot 8$. Logo: $41 \cdot 28 = 82 \cdot 14 = 1148$.

Terreno de José
  • Área: $41 \cdot 28 = 1148m^{2}$
  • Perímetro: $2 \cdot 41 + 2 \cdot 28 = 138 m$


Terreno de João
  • Área: $14 \cdot 82 = 1148m^{2}$
  • Perímetro: $2 \cdot 14 + 2 \cdot 82 = 192 m$


Conclusão

José está dizendo a verdade e, além disso, como em cada lance de cerca João gastou $190$ metros de arame ($192 – 2$), logo, em sete lances gastou: $7 \cdot 190 = 1330$ metros. Como em cada lance de cerca José gastou $136$ metros de arame ($138 – 2$), logo, em sete lances gastou $7 \cdot 136 = 952$ metros.

Com a aplicação dos divisores de um número, José economizou $378$ metros de arame, ou seja, $1330m – 952m$.

Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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