Já experimentou perguntar ao seu professor: por que? É claro que essa é a forma mais usual e rápida de dividir frações. No entanto é importante mostrar ao aluno (principalmente de 6º ano) que esse processo tem a sua justificativa.
É a sua primeira aula sobre divisão de frações e o professor larga essa no quadro:
Repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda fração. Pronto! Agora resolva essas divisões sempre dessa forma e nunca errará.
É verdade, talvez nunca errará. Mas já experimentou perguntar ao seu professor: por que? É claro que essa é a forma mais usual e rápida de dividir frações. No entanto é importante mostrar ao aluno (principalmente de 6º ano) que esse processo tem a sua justificativa. Se você nunca ouviu ela antes, recomendo que leia a postagem que mostra o passo a passo dessa justificativa.
Acredito que quando o processo matemático é mostrado da forma correta e rigorosa, alguns macetes fazem sentido e se tornam mais fáceis de absorvê-los.
Antes de justificar a divisão de duas frações para a frase citada aqui, precisamos voltar para as aulas sobre frações equivalentes e frações inversas. Lembra? Você não pode estudar divisão de frações antes.
Exemplo 1: encontrar uma fração equivalente a $\cfrac{5}{6}$.
Multiplicando o numerador e o denominador por $3$, temos: $\cfrac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3}=\cfrac{15}{18}$. Portanto $\cfrac{15}{18}$ é equivalente a $\cfrac{5}{6}$.
Se a fração apresenta numerador e denominador um pouco mais altos você pode também escrever frações equivalentes para ela, dividindo o numerador e denominador pelo mesmo número (simplificação de fração).
Exemplo 2: encontrar uma fração equivalente a $\cfrac{25}{125}$.
Dividindo o numerador e o denominador por $5$, temos: $\cfrac{25 \div 5}{125 \div 5}=\cfrac{5}{25}$. Portanto $\cfrac{5}{25}$ é equivalente a $\cfrac{25}{125}$.
Exemplo: A fração inversa de $\cfrac{5}{6}$ é $\cfrac{6}{5}$, pois $\cfrac{5}{6} \cdot \cfrac{6}{5}=\cfrac{30}{30}=1$. A fração inversa de $\cfrac{4}{3}$ é $\cfrac{6}{8}$, pois $\cfrac{4}{3} \cdot \cfrac{6}{8}=\cfrac{24}{24}=1$.
Assim: $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$. Agora aplique o que aprendeu sobre fração equivalente e fração inversa da seguinte forma.
Portanto, multiplicando o numerador e o denominador da fração $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ por $\cfrac{2}{3}$, temos: $\cfrac {\quad \cfrac { 7 }{ 5 } \cdot \frac { 2 }{ 3 } \quad}{\quad \cfrac { 3 }{ 2 } \cdot \frac { 2 }{ 3 } \quad} =\cfrac {\quad \cfrac { 14 }{ 15 } \quad}{\quad \cfrac { 6 }{ 6 } \quad} =\cfrac {\quad \cfrac { 14 }{ 15 } \quad}{1} =\cfrac { 14 }{ 15 }$.
Perceba o que acontece com o denominador da fração $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ quando foi multiplicado por $\cfrac{2}{3}$. Resultou em $1$. Sobrando apenas o numerador de $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ vezes o inverso de $\cfrac{2}{3}$.
E como toda divisão por $1$ resulta no próprio número, o resultado da divisão de $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ se resume em multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração, já que o denominador de $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ é $1$, quando aplicada a propriedade de fração equivalente e inversa.
Particularmente prefiro essa justificativa do que essa na imagem abaixo.
Sugestão: esse processo pode ser mais facilmente compreendido, quando explicado em seu passo a passo em sala de aula. Produza um vídeo explicando esses fatos. Tenho a certeza que ele terá muitos acessos.
Acredito que quando o processo matemático é mostrado da forma correta e rigorosa, alguns macetes fazem sentido e se tornam mais fáceis de absorvê-los.
Antes de justificar a divisão de duas frações para a frase citada aqui, precisamos voltar para as aulas sobre frações equivalentes e frações inversas. Lembra? Você não pode estudar divisão de frações antes.
Fração equivalente
São frações que representam a mesma parte do todo. Para encontrar frações equivalentes basta multiplicar o numerador e denominador pelo mesmo número natural (6º ano), desde que o número seja diferente de zero.Exemplo 1: encontrar uma fração equivalente a $\cfrac{5}{6}$.
Multiplicando o numerador e o denominador por $3$, temos: $\cfrac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3}=\cfrac{15}{18}$. Portanto $\cfrac{15}{18}$ é equivalente a $\cfrac{5}{6}$.
Se a fração apresenta numerador e denominador um pouco mais altos você pode também escrever frações equivalentes para ela, dividindo o numerador e denominador pelo mesmo número (simplificação de fração).
Exemplo 2: encontrar uma fração equivalente a $\cfrac{25}{125}$.
Dividindo o numerador e o denominador por $5$, temos: $\cfrac{25 \div 5}{125 \div 5}=\cfrac{5}{25}$. Portanto $\cfrac{5}{25}$ é equivalente a $\cfrac{25}{125}$.
Fração inversa
Sendo bem direto, são as frações cujo produto é igual a $1$.Exemplo: A fração inversa de $\cfrac{5}{6}$ é $\cfrac{6}{5}$, pois $\cfrac{5}{6} \cdot \cfrac{6}{5}=\cfrac{30}{30}=1$. A fração inversa de $\cfrac{4}{3}$ é $\cfrac{6}{8}$, pois $\cfrac{4}{3} \cdot \cfrac{6}{8}=\cfrac{24}{24}=1$.
Repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda fração. Por que?
Para exemplo tomamos a divisão $\cfrac{7}{5} \div \cfrac{3}{2}$. Para melhor entendimento essa divisão será escrita como fração, onde $\cfrac{7}{5}$ é o numerador e $\cfrac{3}{2}$ é o denominador.Assim: $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$. Agora aplique o que aprendeu sobre fração equivalente e fração inversa da seguinte forma.
1º) Fração equivalente:
Multiplique o numerador e o denominador da fração $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ por outra fração, desde que o denominador resulte em $1$ após a multiplicação.2º) Fração inversa:
A única forma de isso acontecer é quando multiplicamos o denominador da fração $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ pelo seu inverso, ou seja, o inverso de $\cfrac{3}{2}$ é $\cfrac{2}{3}$.Portanto, multiplicando o numerador e o denominador da fração $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ por $\cfrac{2}{3}$, temos: $\cfrac {\quad \cfrac { 7 }{ 5 } \cdot \frac { 2 }{ 3 } \quad}{\quad \cfrac { 3 }{ 2 } \cdot \frac { 2 }{ 3 } \quad} =\cfrac {\quad \cfrac { 14 }{ 15 } \quad}{\quad \cfrac { 6 }{ 6 } \quad} =\cfrac {\quad \cfrac { 14 }{ 15 } \quad}{1} =\cfrac { 14 }{ 15 }$.
Perceba o que acontece com o denominador da fração $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ quando foi multiplicado por $\cfrac{2}{3}$. Resultou em $1$. Sobrando apenas o numerador de $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ vezes o inverso de $\cfrac{2}{3}$.
E como toda divisão por $1$ resulta no próprio número, o resultado da divisão de $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ se resume em multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração, já que o denominador de $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ é $1$, quando aplicada a propriedade de fração equivalente e inversa.
Particularmente prefiro essa justificativa do que essa na imagem abaixo.
Sugestão: esse processo pode ser mais facilmente compreendido, quando explicado em seu passo a passo em sala de aula. Produza um vídeo explicando esses fatos. Tenho a certeza que ele terá muitos acessos.
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| Pergunta feita em um canal no Youtube |
Sinceramente não achei nada facil explicar tudo isso ao um aluno de 6 ano!!consigo imaginar as caras!!
ResponderExcluirOlá, Márcia!
ExcluirSei que não é fácil. Depende muito do esforço do professor em trabalhar esse conteúdo. O que essa postagem trata é da justificativa para uma frase decorada comumente usada.
Essa mesma explicação sendo em sala de aula ou em uma vídeo aula seria mais fácil de compreender.
Abraço!
Olá Edigley! Muito boa essa postagem. Em parte até concordo com a Márcia, mas se faz necessário mostrar-lhes o por que do que mostramos a eles em sala de aula, seja na lousa, através de vídeos ou mesmo com slides, para que eles aprendam de verdade e possam gostar de estudar matemática. Nesse caso acredito que na forma de slides daria para desenvolver bem o conteúdo e fazer com que eles compreendessem tal justificativa. Valeu!!!
ExcluirOlá, Luiz! Entendo.
ExcluirVale lembrar que a postagem não dedicada exclusivamente para alunos. Não é uma aula. Ela serve para professores. Pesquisei diversos vídeos no youtube e todos que assisti não vi essa justificativa, o que vi foi apenas uma frase para decorar e sem justificativa.
Abraço!
Opa, Edigley! O material do Estado de SP também ensina desse jeito. Só uma tenho outra visão e gostaria que você avaliasse.
ResponderExcluirPosso dizer:
Vamos transformar essa divisão em uma multiplicação. Para isso, como invertemos a operação, multiplicamos o numerador pelo denominador invertido.
Seria um macete? Passei a explicar desse jeito, já que não ensino mais o 6º ano.
Obrigado pelas postagens!
Olá, Rafa!
ExcluirA frase que citei no início da postagem é um macete sim. Não é errado usar macetes, alguns até ajudam muito. No entanto o meu alerta é sobre a importância de mostrar a justificativa matemática correta e não apenas dizer que é assim e pronto.
Abraço!
Professor, não sou professor mas buscava essa resposta há anos. Muito obrigado, muito obrigado. Agora a minha busca será entender o que é realmente a divisão de fração por outra fração.
ResponderExcluirQue ótimo!
ExcluirPretendo escrever sobre isso.
Abraço!
Obrigado pelo artigo! Seria possível fazer algo em relação a multiplicação de frações? A multiplicação de numeros inteiros por frações acho intuitivo, já a multiplicação entre frações creio que precisaria de uma demonstração... obrigado
ResponderExcluirOlá, Arthur!
ExcluirObrigado pelo comentário.
Quando a multiplicação, a ideia intuitiva vem da adição. Em breve posso fazer um artigo. Neste momento de pandemia e aulas remotas, tem sugado muito do meu tempo.
Um abraço!
Olá tudo bem? Sou aluna,obrigada pela explicação não se encontra tão facilmente o porquê por trás das contas na matemática obrigada pelo seu conteúdo. Fiquei com duas dúvidas:
ResponderExcluir1:Por que se deve multiplicar a fração do numerador pelo inverso da fração do denominador ao invés de se multiplicar somente o denominador pelo inverso dele mesmo?
2: Deve-se multiplicar o denominador e o numerador pelo seu inverso e assim o a fração no denominador se torna 1 mas por que ela deve se tornar 1?
Olá, Raquel! Tudo na paz por aqui. Espero que por ai também.
ExcluirPrimeiro reconheço que explicar esse fato em texto, mesmo com Latex, nao é fácil em termos de entendimento para o estudante. Abordei neste artigo, principalmente pelo fato de alguns professores ensinarem de forma errada ou ensinam logo com macetes sem primeiro mostrar a forma correta matemática e rigorosa.
Respondendo agora... mas resposta em vídeo seria melhor. Eu vou criar coragem para começar a gravar vídeos hahaha
A resposta abaixo responde as duas perguntas que fez.
Porque ao aplicar a propriedade inversa e tendo entendido sobre fração equivalente, teremos a divisão de um numerador por 1, que é o elemento neutro da multiplicação. E qualquer numerador dividido por 1, dá o mesmo numerador. É isso que justifica, matematicamente, o lance do cortar e do macete (título deste post).
Esqueci de enfatizar mais sobre isso, pois essa parte é um processo mais trivial. Pelo visto mais uma vez, julguei errado.
Tente comparar e calcular pelo macete que mostrei no print deste post. E depois pelo método matemático correto e conseguirá enxergar essa trivialidade.
Um abraço!
Olá, achei interessante sua explicação. Relacionei com um artigo que li, sobre igualar os denominadores para realizar a divisão por frações. Quando os igualamos, podemos dividir numerador por numerador e denominador por denominador, temos o trabalho de encontrar a fração equivalente, mas não precisamos fazer a inversão da segunda fração. Lendo seu artigo, percebi que o principio é o mesmo, são apenas maneira diferentes de realizar o cálculo.
ResponderExcluirOlá, Karla!
ExcluirÉ a explicação que encontramos em "livros didáticos" com um pouco mais de atenção por parte do autor e não dá enfase na parte que exige memorização para fazer essa divisão.
Um abraço!