Como somar e subtrair frações sem usar o M.M.C.?

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Conhecer a justificativa para um processo sistemático é importante, pois trabalhará o seu raciocínio lógico e dedutivo para outros conteúdos matemáticos.

Tenho os meus defeitos como professor de Matemática e tento ao máximo corrigi-los. Nem sempre tenho a resposta para todas as perguntas que meus alunos fazem. Se não souber digo que naquele momento não sei e no dia seguinte trago a resposta. É melhor do que tentar enganá-los, acreditando que eles não perceberão.

Estar preparado para essas perguntas é o ideal. Do ponto de vista matemático, o professor deve dominar o que ensina para não cair em alguma cilada durante as aulas, mas temos que levar em consideração as perguntas mais simples feitas pelos nossos alunos mais curiosos.

Existem professores que não gostam desse tipo de aluno. O que pergunta muito, o que diz responder de forma diferente ou que, às vezes, diz estar certo e o professor errado. Particularmente são desses que me apego mais. Curiosidade é o que move os pensamentos e inspirações de um jovem.

Ontem um aluno do ensino médio me perguntou: como somar e subtrair frações sem usar o M.M.C.? Não é uma pergunta difícil de responder. É uma resposta difícil de ser entendida por aqueles que preferem um jeito mais rápido (decorar).

A resposta para essa pergunta é o conteúdo que trago nessa postagem. Vale lembrar que esses processos são aplicados em frações com denominadores diferentes.

Como somar e subtrair frações sem usar o M.M.C.?

Professor, tem um jeito mais fácil para somar e subtrair frações sem usar o M.M.C.?

O que é fácil para mim, pode ser difícil para você. O que é difícil para você, pode ser fácil para mim. O fácil e o difícil são situações que não devem ser levadas como relevantes quando se estuda Matemática. Por que? Porque tira a sua predisposição em querer aprender balanceando ser fácil ou difícil. Ah, se for difícil nem vou tentar.

Por exemplo, estou tentando calcular a solução real da equação $3x^2-7x+6=0$ durante 30 minutos e não consigo. Você passa a questão para um amigo ao lado e em 20 segundos ele já respondeu (duvida?). A questão era fácil ou difícil? Nenhuma das opções. Tempo também não pode ser medidor de nível de uma questão matemática.

Tudo depende se dominamos ou não a propriedade correta para o problema correto, conceito, definição, teorema, etc., que mostre a resposta de maneira confiável e sem espaço para dúvidas.

Por que utilizar o M.M.C. (Mínimo Múltiplo Comum)?

O cálculo do M.M.C. é útil em diversos momentos independentemente do problema matemático em questão. É um processo matemático que garante com precisão encontrarmos o menor número múltiplo de dois ou mais números inteiros.

Exemplo usando conjuntos: o M.M.C. de 2; 4 e 6 é 12.

M(2)={2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24; 26; ...}
M(4)={4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; ...}
M(6)={6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; ...}

De todos os múltiplos comuns de 2, 4 e 6, 12 é o menor deles (exceto zero). Note que 24 é múltiplo de 2, 4 e 6, porém não é o menor. Esse processo com números maiores demorará um pouco até chegar ao M.M.C. Sendo assim o esquema convencional mostrado na imagem 1 cabe bem.

Na maioria das vezes é ensinado apenas o processo decorativo e a propriedade por trás desse processo é esquecida. E se não lembrarmos? Quando aprendemos os porquês de alguns processos matemáticos, duas coisas acontecem: fica mais difícil de esquecer algum macete e o outro é que o macete matemático faz mais sentido quando aprendemos a propriedade matemática por trás dele.

Portanto, essa postagem não pretende incentivar o desuso de utilizar o cálculo do Mínimo Múltiplo Comum.

Como somar e subtrair frações sem usar o M.M.C.?

Sem usar o M.M.C. é impossível. Calma! (risos). Leia tudo e entenderá.

Exemplo com adição: $\cfrac{2}{3}+\cfrac{4}{5}=?$

Esquema convencional comumente usado na escola e em muitas vídeo aulas no Youtube. Se assim for ensinado unicamente dessa forma, o aluno decora o processo e sempre somará frações sem problemas. Sempre acertará. Ótimo!

O esquema abaixo se resume em: calcula o M.M.C. dos denominadores, em seguida divide o M.M.C. por cada denominador das frações e os quocientes dessas divisões são multiplicados pelos numeradores de cada fração. Daí escrevemos a primeira nova fração. Repete novamente para a segunda fração. Ao final, somamos as frações.

Esquema convencional comumente usado na escola e em muitas vídeo aulas no Youtube.
Imagem 1.

Agora abaixo, calculando a soma utilizando frações equivalentes com o mesmo denominador.


Calculando a soma utilizando frações equivalentes com o mesmo denominador.
Imagem 2.
Por que não é a mesma coisa, professor? Se comparadas do ponto de vista de um esquema sistemático são semelhantes, mas, do ponto de vista matemático, não são. O que a imagem 1 mostra é o processo matemático decorado. Já a imagem 2 mostra a justificativa do processo decorado.

Calcula o M.M.C. dos denominadores, em seguida divide o M.M.C. por cada denominador das frações e os quocientes dessas divisões são multiplicados pelos numeradores de cada fração. Daí escrevemos a primeira nova fração. Repete novamente para a segunda fração. Ao final, somamos as frações.[decorou?]

Aplicar frações equivalentes com o mesmo denominador para somar ou subtrair frações garante a certeza do processo matemático correto, antes de começar a usar o esquema convencional.

Por exemplo:

Para calcular $\cfrac{2}{3}+\cfrac{4}{5}$, em vez de multiplicar a primeira fração por $5$ e a segunda por $3$ (imagem 2), podemos multiplicar a primeira fração por $10$ e a segunda por $6$, pois dessa forma teremos o denominador $30$ nas duas frações e assim podemos somá-las.

Assim: $\cfrac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10}+\cfrac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6}=\cfrac{20}{30}+\cfrac{24}{30}=\cfrac{44}{30}=\cfrac{44 \div 2}{30 \div 2}=\cfrac{22}{15}$.

Em vez de multiplicar a primeira fração por $10$ e a segunda por $6$, podemos multiplicar a primeira fração por $15$ e a segunda por $9$, pois dessa forma teremos o denominador $45$ nas duas frações e assim podemos somá-las.

Assim: $\cfrac{2 \cdot 15}{3 \cdot 15}+\cfrac{4 \cdot 9}{5 \cdot 9}=\cfrac{30}{45}+\cfrac{36}{45}=\cfrac{66}{45}=\cfrac{66 \div 3}{45 \div 3}=\cfrac{22}{15}$.

Em vez de multiplicar a primeira fração por $15$ e a segunda por $9$, podemos multiplicar a primeira fração por $20$ e a segunda por $12$, pois dessa forma teremos o denominador $60$ nas duas frações e assim podemos somá-las.

Assim: $\cfrac{2 \cdot 20}{3 \cdot 20}+\cfrac{4 \cdot 12}{5 \cdot 12}=\cfrac{40}{60}+\cfrac{48}{60}=\cfrac{88}{60}=\cfrac{88 \div 4}{60 \div 4}=\cfrac{22}{15}$.

Perceba que podemos multiplicar por qualquer número desde que geremos um denominador comum. Se continuarmos assim geraremos números cada vez maiores. É arbitrário. Você escolhe por quando vai multiplicar ou dividir, caso tenhamos frações com numerador e denominador mais altos.

E é aí que entra o M.M.C.

Pra que pensarmos em números altos se $15$ é o menor número múltiplo de $3$ e $5$ ao mesmo tempo? Sendo assim basta escrevemos frações equivalentes que tenham o denominador $15$. É o que foi mostrado na imagem 2.

Para subtrair frações seguimos da mesma forma como na adição.

Exemplo com subtração: $\cfrac{11}{6}-\cfrac{3}{2}=?$.

Pensando em frações equivalentes, podemos:
  1. Multiplicar o numerador e o denominador da segunda fração por $3$, pois a primeira fração já tem denominador $6$. Assim: $\cfrac{11}{6}-\cfrac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}=\cfrac{11}{6}-\cfrac{9}{6}=\cfrac{2}{6}=\cfrac{2 \div 2}{6 \div 2}=\cfrac{1}{3}$.
  2. Multiplicar o numerador e o denominador da primeira fração por $2$ e multiplicar o numerador e o denominador da segunda fração por $6$, pois teremos o denominador comum $12$. Assim: $\cfrac{11 \cdot 2}{6 \cdot 2}-\cfrac{3 \cdot 6}{2 \cdot 6}=\cfrac{22}{12}-\cfrac{18}{12}=\cfrac{4}{12}=\cfrac{4 \div 4}{12 \div 4}=\cfrac{1}{3}$.
  3. Multiplicar o numerador e o denominador da primeira fração por $5$ e multiplicar o numerador e o denominador da segunda fração por $15$, pois teremos o denominador comum $30$. Assim: $\cfrac{11 \cdot 5}{6 \cdot 5}-\cfrac{3 \cdot 15}{2 \cdot 15}=\cfrac{55}{30}-\cfrac{45}{30}=\cfrac{10}{30}=\cfrac{10 \div 10}{30 \div 10}=\cfrac{1}{3}$.

Pra que ficar pensando nesses números se $6$ é o menor número múltiplo de $2$ e $6$ ao mesmo tempo? Usar o processo convencional ou usar a solução do caso 1 da lista acima? Ambas chegarão na mesma resposta.

Concluindo

Ambas as formas são válidas. Conhecer a justificativa para um processo sistemático é importante, pois trabalhará o seu raciocínio lógico e dedutivo para outros conteúdos matemáticos, como por exemplo, alguns tipos de equações fracionárias.

Qual a melhor opção para encontrar a solução da equação fracionária de 1º grau $\cfrac{2}{x-1}-1=\cfrac{3}{x+1}$? Usando frações equivalentes ou diretamente M.M.C.?

Quer entender sobre como dividir frações da forma correta? Acesse o artigo Repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda fração. Qual a razão para essa ordem?

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