Esse "QUE?!" foi a reação da turma ao ouvir minha citação dessa frase, caso fosse a primeira explicação sobre como calcular uma fração geratriz de uma dízima periódica. Nas aulas sobre dízimas periódicas costumo sempre fugir de regras e frases decoradas para calcular frações que geram dízimas periódicas.
Esse "QUE?!" foi a reação da turma ao ouvir minha citação dessa frase, caso fosse a primeira explicação sobre como calcular uma fração geratriz de uma dízima periódica. Nas aulas sobre dízimas periódicas costumo sempre fugir de regras e frases decoradas para calcular frações que geram dízimas periódicas.

O motivo para isso é que prefiro utilizar os conteúdos já abordados, como equação por exemplo, em vez de ditar regras que mais assustam do que ajudam em uma turma do 7º ou 8º ano do Ensino Fundamental. Para o ensino médio pode soar mais tranquila.

A frase no título dessa postagem faz menção ao "algoritmo" usado para calcular a Fração Geratriz de uma dízima periódica. Por exemplo, para o número $0,57777...$, temos:

$$\cfrac{\mbox{(Antiperiodo com periodo)-(antiperiodo)}}{\mbox{(numero composto de noves e zero)}} = \cfrac{57-5}{90} = \cfrac{52}{90} = \cfrac{26}{45}$$

Não é meu objetivo ditar como será sua aula sobre esse assunto, apenas acredito que pode ser mais vantajoso para o aluno aprender primeiro a forma mais detalhada desse processo, utilizando equações do 1º grau, adição e subtração das expansões decimais.

Depois da imagem acompanhe o processo.

Imagem: freepik.com.
Acompanhe os exemplos abaixo e depois compare com o algoritmo no início da postagem. Creio que fará mais sentido. Os "noves" representam quantos algarismos há no período e os "zeros" representam quantos algarismos há no antiperíodo.



Exemplo 01 Exemplo 02 Exemplo 03 Exemplo 04 Exemplo 05

Calcular a fração geratriz de 0,333...

O primeiro passo para encontrar essa fração é criarmos uma equação. Basta fazer $F=0,333...$ (1). Dessa forma temos uma equação do 1º grau com incógnita em $F$.

Agora aplique o princípio multiplicativo em ambos os membros de $F=0,333...$. Como a dízima periódica tem apenas um algarismo, basta multiplicar ambos os membros da igualdade por $10$.  Por que $10$? Porque o objetivo nesse caso é deixarmos o $3$ na parte inteira da dízima. Você precisa lembrar o que acontece quando multiplicamos ou dividimos um número decimal por 10, 100, 1000, etc.

Temos:

$F=0,333...$ (1)
$10 \cdot F=0,333... \cdot 10$
$10F=3,333...$ (2)

Agora basta fazer a subtração de (2) (1) termo a termo em cada membro.
  • No primeiro membro: $10F-F=9F$.
  • No segundo membro:
    • Parte inteira: $3-0=3$
    • Parte decimal: $333... - 333...=0$
Temos:

$9F=3$
$F=\cfrac{3 \div 3}{9 \div 3}$

Fração geratriz: $F=\cfrac{1}{3}$

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Para efeitos didáticos esse processo pode ser confuso no começo, pois aqui consigo explicar apenas em texto, sem o recurso de apontar e narrar cada processo detalhadamente.

Calcular a fração geratriz de 0,232323...

O primeiro passo para encontrar essa fração é criarmos uma equação. Basta fazer $F=0,232323...$ (1). Dessa forma temos uma equação do 1º grau com incógnita em $F$.

Agora aplique o princípio multiplicativo em ambos os membros de $F=0,232323...$. Como o período tem dois algarismos, basta multiplicar ambos os membros da igualdade por $100$.  Por que $100$? Porque o objetivo nesse caso é deixarmos o $23$ na parte inteira da dízima. Você precisa lembrar o que acontece quando multiplicamos ou dividimos um número decimal por 10, 100, 1000, etc.

Temos:

$F=0,232323...$ (1)
$100 \cdot F=0,232323... \cdot 100$
$100F=23,232323...$ (2)

Agora basta fazer a subtração de (2) (1) termo a termo em cada membro.
  • No primeiro membro: $100F-F=99F$.
  • No segundo membro:
    • Parte inteira: $23-0=23$
    • Parte decimal: $232323... - 232323...=0$
Temos:

$99F=23$
$F=\cfrac{23}{99}$

Fração geratriz: $F=\cfrac{23}{99}$

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Para efeitos didáticos esse processo pode ser confuso no começo, pois aqui consigo explicar apenas em texto, sem o recurso de apontar e narrar cada processo detalhadamente.

Calcular a fração geratriz de 0,5777...

Diferente dos exemplos 1 e 2, essa dízima periódica apresenta um antiperíodo, isto é, um algarismo que aparece antes do período, que é o 5. Nesse caso, apenas multiplicar por 10 ou 100 não ajudará diretamente ao subtrairmos (2) (1). Será necessário uma terceira equação.

O primeiro passo para encontrar essa fração é criarmos uma equação. Basta fazer $F=0,5777...$ (1). Dessa forma temos uma equação do 1º grau com incógnita em $F$.

Agora aplique o princípio multiplicativo em ambos os membros de $F=0,5777...$. Como o período dessa dízima tem um algarismo e um antiperíodo que o antecede, basta multiplicar ambos os membros da igualdade por $10$.  Por que $10$? Porque o objetivo nesse caso é deixarmos o $5$ na parte inteira da dízima. Você precisa lembrar o que acontece quando multiplicamos ou dividimos um número decimal por 10, 100, 1000, etc.

Temos:

$F=0,5777...$ (1)
$10 \cdot F=0,5777... \cdot 10$
$10F=5,777...$ (2)

Perceba que não é possível fazer a subtração de (2) (1) termo a termo em cada membro, pois suas expansões decimais são diferentes.

Para contornar, basta multiplicar a equação (2) por $10$ mais uma vez.

Temos:

$10F=5,777...$ (2)
$10 \cdot 10F=5,777... \cdot 10$
$100F=57,777...$ (3)

Agora basta fazer a subtração de (3) (2) termo a termo em cada membro, pois agora as duas equações tem a mesma expansão decimal.
  • No primeiro membro: $100F-10F=90F$.
  • No segundo membro:
    • Parte inteira: $57-5$
    • Parte decimal: $777... - 777...=0$
Temos:

$90F=52$
$F=\cfrac{52 \div 2}{90 \div 2}$

Fração geratriz: $F=\cfrac{26}{45}$

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Para efeitos didáticos esse processo pode ser confuso no começo, pois aqui consigo explicar apenas em texto, sem o recurso de apontar e narrar cada processo detalhadamente.

Calcular a fração geratriz de 0,12777...

Diferente dos exemplos 1, 2 e 3, essa dízima periódica apresenta dois antiperíodos, isto é, dois algarismos que aparecem antes do período, que é o 1 e 2. Nesse caso, apenas multiplicar por 10, 100 ou 1000 não ajudará diretamente ao subtrairmos (2) (1). Será necessário uma terceira equação.

O primeiro passo para encontrar essa fração é criarmos uma equação. Basta fazer $F=0,12777...$ (1). Dessa forma temos uma equação do 1º grau com incógnita em $F$.

Agora aplique o princípio multiplicativo em ambos os membros de $F=0,12777...$. Como o período da dízima periódica tem um algarismo e dois antiperíodos que o antecedem, basta multiplicar ambos os membros da igualdade por $100$.  Por que $100$? Porque o objetivo nesse caso é deixarmos o $12$ na parte inteira da dízima. Você precisa lembrar o que acontece quando multiplicamos ou dividimos um número decimal por 10, 100, 1000, etc.

Temos:

$F=0,12777...$ (1)
$100 \cdot F=0,12777... \cdot 100$
$100F=12,777...$ (2)

Perceba que não é possível fazer a subtração de (2) (1) termo a termo em cada membro, pois suas expansões decimais são diferentes.

Para contornar, basta multiplicar a equação (2) por $10$.

Temos:

$100F=12,777...$ (2)
$10 \cdot 100F=12,777... \cdot 10$
$1000F=127,777...$ (3)

Agora basta fazer a subtração de (3) (2) termo a termo em cada membro, pois agora as duas equações tem a mesma expansão decimal.
  • No primeiro membro: $1000F-100F=900F$.
  • No segundo membro:
    • Parte inteira: $127-12=115$
    • Parte decimal: $777... - 777...=0$
Temos:

$900F=115$
$F=\cfrac{115}{900}$

Fração geratriz: $F=\cfrac{115}{900}$

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Para efeitos didáticos esse processo pode ser confuso no começo, pois aqui consigo explicar apenas em texto, sem o recurso de apontar e narrar cada processo detalhadamente.

10 argumentos matemáticos de que 0,999... é igual a 1


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GSuite: inicie sua avaliação gratuita aquiMatemática Financeira com HP 12CAprenda a Tabuada de forma fácil

Edigley Alexandre

Edigley Alexandre

Graduado em Matemática pelo DME na UERN em 2007, leciona Geometria, Matemática e Física. Blogueiro Part-Time desde 2007. Membro do Google+ Create em Português. Seu interesse é compartilhar conhecimento matemático interligado à Tecnologia da Informação e Comunicação, assim como artigos de opinião sobre Educação, Matemática e Educação Matemática.

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4 comentários:

  1. Nunca gostei daquekd algoritmo que a gente aprende em saka de aula, essa solução é linda e elegante. A partir de hoje eu irei adotar seu uso para mim e meus pupilos.
    Boa noite

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    Respostas
    1. Olá, Medeiros!

      Esse processo mostrado nesse artigo usando equações, aparecem em livros didáticos de Matemática. É que muitas vezes o professor prefere ir direto ao ponto, mostrando um algoritmo para ser decorado.

      Exercitar um pouquinho o cálculo algébrico não fará mal aos alunos.

      Abraço!

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  2. Sempre utilizo o processo da equação e depois mostro o processo prático.Neste ano, na minha turma de 8º ano trabalhei com a equação e após disse a eles que havia um processo prático para calcular a fração geratriz, mas que eu não iria ensiná-los. Pedi que pesquisassem e trouxessem para a aula. Foi um sucesso, pois eles não só pesquisaram como compartilharam com a sala, foram na lousa para ensinar quem não havia pesquisado. Na avaliação todos os que haviam pesquisado utilizaram o processo prático e apenas um deles errou o cálculo. Adorei.

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    1. Olá, Hilda!

      Que maravilha heim!

      Fiz o mesmo que relatou, menos o lado da pesquisa pelos alunos. Eles ficaram espantados como os dois processos se relacionam.

      Obrigado por compartilhar seu relato.

      Um abraço!

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