O número de espectadores em uma peça teatral e a função do 2º grau

Como calcular o número de espectadores e sua receita máxima em uma peça teatral, usando a função do segundo grau?

Visto os problemas que já foram tratados sobre a equação do 2º grau nesse blog, como por exemplo o artigo A equação do segundo grau por trás da receita máxima de uma empresa assinado pelo professor Sebastião Vieira, trago também a minha pequena contribuição para o blog, com um problema que relaciona função do 2º grau (ou função quadrática) e o número de espectadores em uma peça teatral.

Segue o enunciado do problema:

Quando o preço de entrada para uma peça teatral é de R$\$$ 20,00, a frequência é de 300 espectadores. O gerente do teatro constata que, para cada redução no preço de R$\$$ 1,00, o número de espectadores aumenta em 50.

Pergunta 1: Qual deve ser o preço da entrada para se obter a receita máxima?

Pergunta 2: Qual é essa receita?

Pergunta 3: Quantos serão os espectadores?

Solução:

Preço	20	19	18	17	...
Número de espectadores	300	350	400	450	...
Receita	6000	6650	7200	7650	...

A sequência de receitas é tal que:

Receita	6000	6650	7200	7650	...
1ª diferenças	650	550	450	350	...
2ª diferenças	-100	-100	-100	-100	...

As receitas têm as segundas diferenças constantes, logo, a receita $R(x)$ é um trinômio do 2º grau do preço.

$R(x)=ax^{2}+bx+c$

$x=20 \Rightarrow 400a+20b+c=6000$    (I)

$x=19 \Rightarrow 361a+19b+c=6650$    (II)

$x=18 \Rightarrow 324a+18b+c=7200$    (III)

Resolvendo o sistema, temos que:

Fazendo (I)-(II) e (II)-(III), temos:

$\left\{\begin{matrix} 39a+b=-650\\ 37a+b=-550 \end{matrix}\right.$

A função da determina a receita será: $R(x)=-50x^{2}+1300x$.

Resposta 1) O máximo se dará para $x=-\cfrac{b}{2a}=-\cfrac{1300}{-100}=13 \quad reais$

Resposta 2) A receita máxima será $R(x)=-\cfrac{\Delta}{4a}=-\cfrac{1690000}{-200}=8450$

Resposta 3) O número de espectadores será $\cfrac{R(x)}{x}=650$

Essa questão pode ser resolvida da seguinte maneira:

Suponhamos $n$ reduções de R$\$$ 1,00. Se para cada redução de R$\$$ 1,00, aumentam 50 espectadores, para $n$ reduções haverá um aumento de $50 \cdot n$ espectadores, logo, a receita será o produto de preço $(20-n)$ pela quantidade de espectadores $(300+50 \cdot n)$.

Temos, então, a função receita:

$R(n)=(20-n).(300+50 \cdot n)$
$R(n)=-50n^{2}+700 \cdot n+6000$

Que terá um máximo para:

$n=-\cfrac{b}{2a}=-\cfrac{700}{-100}=7$ reduções.

$R(7)=-50 \cdot 49+700 \cdot 7+6000=8450$

Como o preço inicial era de R$\$$ 20,00 e houve 7 reduções de R$\$$ 1,00, o preço do ingresso será, portanto, $20-7=13$ reais.

O número de espectadores será $\cfrac{8450}{13}=650$.

Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Ricardo Feitosa. Professor de Matemática no estado do Rio Grande do Sul e assinante do blog.

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