Será que Fermat realmente tinha uma prova de seu teorema? (UTF)

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Fermat – Ora, só porque a demonstração que encontrei não cabia no espaço que eu dispunha, então, vem agora a comunidade matemática afirmar categoricamente: “com altíssima probabilidade que eu não tinha a demonstração?” E em que argumento a comunidade matemática se baseia, para dizer tal afirmação?

Na noite de 24 de dezembro de 2018, Sebá sonhou com Fermat e foi desenrolada uma conversa entre os dois que a seguir será descrita.

Sebá – Fermat, não sei se você está sabendo que em 1995 a comunidade matemática aceitou a prova dada por Andrew Wiles para a sua famosa conjectura. Após a prova dada por Wiles, surgiu uma certa dúvida por todos os que compõem a comunidade matemática em saber se você tinha realmente uma demonstração.

Fermat – Mas qual é a dúvida?

Sebá – Sua “grande proposição” por você escrita (tal como toda uma série de teoremas concernentes à teoria dos números), sob forma de anotação, nas margens de uma obra de Diofanto, está escrita com as seguintes palavras: “Encontrei uma demonstração verdadeiramente maravilhosa, para esta proposição, mas aqui há pouco espaço para desenvolvê-la.” Então, a dúvida, da comunidade matemática, é saber se você tinha realmente uma demonstração. Com altíssima probabilidade, diz a comunidade matemática: a resposta é não.

Fermat – Ora, só porque a demonstração que encontrei não cabia no espaço que eu dispunha, então, vem agora a comunidade matemática afirmar categoricamente: “com altíssima probabilidade que eu não tinha a demonstração?” E em que argumento a comunidade matemática se baseia, para dizer tal afirmação?

Sebá – Baseia-se no seguinte: se a demonstração de Wiles utilizou teorias que você certamente não conhecia e ocupou mais de 200 páginas que nenhuma margem de livro, por maior que fosse, seria capaz de conter, então, o mais provável, segundo a comunidade matemática, é que você tenha cometido um erro semelhante aos que cometeram milhares de amadores e profissionais que tentaram demonstrar depois de você.

Fermat – A validade de minha proposição levou tanto tempo para ser demonstrada em virtude de a comunidade matemática tentar demonstrá-la usando teorias sofisticadas e deixando de procurar algo de sutil e profundo que está escondido nela. Ao perceber esse algo de sutil e profundo que está por trás da minha proposição, demonstrei-a com a matemática acessível a qualquer estudante de formação mediana.

Sebá – E qual é esse algo de sutil e profundo que está escondido na sua proposição?

Fermat – Pegue lápis e papel e escreva o que vou ditar. Qualquer dúvida, pare e peça-me esclarecimento. Daqui para frente tudo que eu disser vá escrevendo.

Será que Fermat realmente tinha uma prova de seu teorema? (UTF)

A equação $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ já foi demonstrada, por mim e por outros matemáticos, que não tem solução para $x,y,z \in \mathbb{N}$.

Como $x,y,z \in \mathbb{N}$, logo, a equação $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ pode ser escrita como:

$(x^{k})^{3}+(y^{k})^{3}=(z^{k})^{3}$ ou $x^{3k}+y^{3k}=z^{3k}$, $k \in \mathbb{N}$.

Como $x,y,z \in \mathbb{N}$, logo, a equação $x^{4}+y^{4}=z^{4}$ pode ser escrita como:

$(x^{k})^{4}+(y^{k})^{4}=(z^{k})^{4}$ ou $x^{4k}+y^{4k}=z^{4k}$, $k \in \mathbb{N}$.

Diante do exposto, fica provado que a minha equação não tem solução em inteiros positivos para $n$ pertencente aos naturais compostos. Só resta provar agora, que minha equação não tem solução em inteiros positivos para os expoentes de $x, y$ e $z$ um número primo ímpar $(p)$, ou seja, $x^{p}+y^{p}=z^{p}$.

A seguir vou mostrar que se $p$ for um primo ímpar e $p \neq q$, com $q \in \mathbb{N}$ a equação $x^{p}+y^{p}=z^{q}$ tem infinitas soluções em inteiros se $p$ e $q$ forem primos entre si.

Demonstração:

Multiplicando ambos os membros da equação $x^{p}+y^{p}=z^{q}$ por $(x^{p}+y^{p})^{q}$, obtém-se:

$(x^{p}+y^{p}) \cdot (x^{p}+y^{p})^{q}=(x^{p}+y^{p})^{q} \cdot z^{q}$ $\qquad \textcolor{red}{(1)}$

Como $z^{q}=x^{p}+y^{p}$, logo, substituindo o valor de $z^{q}$ na $\textcolor{red}{(1)}$, obtém-se:

$(x^{p}+y^{p}) \cdot (x^{p}+y^{p})^{q}=(x^{p}+y^{p})^{q} \cdot (x^{p}+y^{p})$

ou

$x^{p} \cdot (x^{p}+y^{p})^{q} + y^{p} \cdot (x^{p}+y^{p})^{q}=(x^{p}+y^{p})^{q+1}$ $\qquad \textcolor{red}{(2)}$

Se escolhermos valores para $x$ e $y$ tal que $x \leq  y$ ou $x \geq y$, e substituirmos na $\textcolor{red}{(2)}$, obtém-se valores inteiros positivos para $x$, $y$ e $z$ (F.A.D.)

Técnica de resolução da equação $x^{p}+y^{p}=z^{q}$

Seja, por exemplo, dividir um quadrado em dois cubos de várias maneiras diferentes.

Resolução:

Como $q=2$ e $p=3$ (primos entre si), logo:

$x^{p}+y^{p}=z^{q}$ e $x^{3}+y^{3}=z^{2}$

Como o expoente de $x$ e $y$ é $3$, logo, substituindo na $\textcolor{red}{(2)}$ $p$ por $3$, obtém-se:

$x^{3} \cdot (x^{3}+y^{3})^{q} + y^{3} \cdot (x^{3}+y^{3})^{q}=(x^{3}+y^{3})^{q+1}$ $\qquad \textcolor{red}{(3)}$

Como na equação $x^{3}+y^{3}=z^{2}$, o membro da esquerda tem expoente $3$ e o da direita, expoente $2$, logo, temos que encontrar dois números $q$ e $q+1$ que seja possível decompor $q$ em potência de $3$ e $q+1$ em potência de $2$. Isso só será possível se $q$ e $q+1$ forem, respectivamente, múltiplo de $3$ e $2$. Logo, $q=6k-3$ e $q+1=6k-2$.

Substituindo os valores de $q$ e $q+1$ na $\textcolor{red}{(3)}$, vem:

$x^{3} \cdot (x^{3}+y^{3})^{6k-3} + y^{3} \cdot (x^{3}+y^{3})^{6k-3}=(x^{3}+y^{3})^{6k-2}$ $\qquad \textcolor{red}{(4)}$

Seja $k=1$ e $x=y=1$. Substituindo os valores de $k, x$ e $y$ na $\textcolor{red}{(4)}$, vem:

$2^{3}+2^{3}=(2^{2})^{2}$

Solução: $x=y=2$ e $z=4$.

Se escolhermos, por exemplo, $k=2$ e $x=y=1$, e substituirmos na $\textcolor{red}{(4)}$, obtém-se:

$(2^{5})^{3}+(2^{5})^{3}=(2^{8})^{2}$

Solução: $x=y= 32$ e $z=256$.

E assim por diante.

Seja, por exemplo, dividir uma biquadrada em dois cubos, de várias maneiras diferentes:

Resolução:

Como $q=4$ e $p=3$ (primos entre si), logo:

$x^{p}+y^{p}=z^{q}$ e $x^{3}+y^{3}=z^{4}$

Como o expoente de $x$ e $y$ é $3$, logo, substituindo na $\textcolor{red}{(2)}$ $p$ por $3$, obtém-se:

$x^{3} \cdot (x^{3}+y^{3})^{q} + y^{3} \cdot (x^{3}+y^{3})^{q}=(x^{3}+y^{3})^{q+1}$ $\qquad \textcolor{red}{(5)}$

Como na equação $x^{3}+y^{3}=z^{4}$, o membro da direita tem expoente $4$ e o da esquerda, expoente $3$, logo, temos que encontrar dois números $q$ e $q+1$ que seja possível decompor $q$ em potência de $3$ e $q+1$ em potência de $4$. Isso só será possível se $q$ e $q+1$ forem, respectivamente, múltiplo de $3$ e $4$. Logo, $q=12k-9$ e $q+1=12k-8$.

Substituindo os valores de $q$ e $q+1$ na $\textcolor{red}{(3)}$, vem:

$x^{3} \cdot (x^{3}+y^{3})^{12k-9} + y^{3} \cdot (x^{3}+y^{3})^{12k-9}=(x^{3}+y^{3})^{12k-8}$ $\qquad \textcolor{red}{(4)}$

Seja $k=1$ e $x=y=1$. Substituindo os valores de $k, x$ e $y$ na $\textcolor{red}{(5)}$, vem:

$2^{3}+2^{3}=2^{4}$

Solução: x=y=z=2.

Se escolhermos, por exemplo, $k=1$ e $x=y=2$, e substituirmos na $\textcolor{red}{(5)}$, obtém-se:

$2^{3} \cdot (16)^{3}+2^{3} \cdot (16)^{3}=16^{4}$

$(2 \cdot 16)^{3}+(2 \cdot 16)^{3}=16^{4}$

Solução: $x=y=32$ e $z=16$.

E assim por diante.

Fermat – Continue escrevendo.

A equação $x^{p}+y^{p}=z^{q-1}$ tem infinitas soluções, haja vista que $p$ e $q-1$ são primos entre si. A equação $x^{p}+y^{p}=z^{q+1}$ também tem infinitas soluções, haja vista que $p$ e $q+1$ são primos entre si.

Vimos que a equação $x^{3}+y^{3}=z^{2}$ tem infinitas soluções. Note que essa equação é o resultado da equação, $x^{3}+y^{3}=z^{3}$, quando se subtrai a unidade do expoente do segundo membro.

Vimos também que a equação $x^{3}+y^{3}=z^{4}$ tem infinitas soluções. Essa equação é o resultado equação, $x^{3}+y^{3}=z^{3}$, quando se soma a unidade ao expoente do segundo membro.

A equação $x^{p}+y^{p}=z^{q}$ fica oscilando entre duas equações, ou seja:

$x^{3}+y^{3}=z^{2}$
$x^{3}+y^{3} \neq z^{3}$
$x^{3}+y^{3}=z^{4}$

Portanto, para $x, y, z$ (inteiros positivos não nulos) as equações $x^{3k}+y^{3k}=z^{3k}$, $x^{4k}+y^{4k}=z^{4k}$ e $z^{p}=x^{p}+y^{p}$, $p>2$, não tem solução e, consequentemente, para $x, y, z$ (inteiros positivos não nulos) a equação $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ também não tem solução.

Tudo o que ficou dito acima, Sebá escreveu após o sonho. Agora ele quer consultar a comunidade matemática para saber se as idéias de Fermat estão corretas. Em caso negativo, Sebá quer saber onde está o erro cometido por Fermat.

Trabalho completo e atualizado

Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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Será que Fermat realmente tinha uma prova de seu teorema? (UTF)
Fermat – Ora, só porque a demonstração que encontrei não cabia no espaço que eu dispunha, então, vem agora a comunidade matemática afirmar categoricamente: “com altíssima probabilidade que eu não tinha a demonstração?” E em que argumento a comunidade matemática se baseia, para dizer tal afirmação?
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