Bases numéricas e epidemias [artigo]

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Este trabalho utiliza bases numéricas para modelar a evolução de uma epidemia em que indivíduos com a doença continuam a chegar em uma área já infectada.

Este trabalho utiliza bases numéricas para modelar a evolução de uma epidemia em que indivíduos com a doença continuam a chegar em uma área já infectada.

Supondo que uma doença se propague como uma progressão geométrica de razão $3$ a cada $24$ horas, de modo que tenhamos a seguinte progressão: $\left \{ 1, 3, 9, 27, ... \right \}$.

E que em uma área já afetada pela doença cheguem novos indivíduos contaminados, como então prever a evolução da doença? Imaginemos que em uma ilha indivíduos doentes chegaram em dias diferentes, e que cada um deles iniciou uma nova Progressão Geométrica de doentes. Em nossa história as autoridades conseguem fazer um censo e encontram $9027$ infectados, então levantam as seguintes perguntas:

Bases numéricas e epidemias [artigo]

— Quantos indivíduos doentes chegaram a ilha?
— Quando a epidemia começou?
— Quando chegou o último paciente infectado?

Segundo Santos $\left [ 1 \right ]$, quando somamos potencias de mesma base estamos na verdade escrevendo o número nesta base, suponha $K$ um número natural maior que $1$, quando somamos potências de $K$ temos um número na base $K$, ou seja: $K^{7} +K^{5} +K^{2} = (10100100)_{k}$

Exemplo:

$2^{4} +2^{3} +2^{0} = (11001)_{2}$

Os números Hindu-Arábicos são incríveis por serem posicionais, tornando desnecessário escrever expoentes e facilitando incrivelmente operações de qualquer natureza, mas é possível escrever qualquer número de forma não posicional utilizando os expoentes:

$(341)_{5}=3 \cdot 5^{2}+4 \cdot 5^{2}+1 \cdot 5^{0}$ (base 5)
$(100000) = 2^{6}$ (base 2)
$79,5 = 7 \cdot 10^{2} + 9 \cdot  10^{0} +5 \cdot  10^{-1}$ (base 10)

Para Santos $\left [ 1 \right ]$ $\left [ 2 \right ]$ o sistema posicional Hindu-Arábico esconde um  tesouro: O fato que os números são criados da soma de potências da mesma base, e quando escrevemos um números de forma não posicional que ele denominou forma ED (Escrito pela Definição), é possível enxergar grandes tesouros escondidos pelo sistema posicional. Se temos $K$ um número natural maior que $1$, podemos escrever qualquer número na base $K$ da seguinte forma:

$c_{1}K^{p1} + c_{2}K^{p2} +...+ c_{n}K^{pn} +c$, sendo que $c$,  $c_{1} ,c_{2} ,..c_{n} < K$

Para Hefez $\left [ 3 \right ]$, “O sistema posicional se baseia na divisão euclidiana”, logo para mudarmos um número de base utilizamos o algoritmo da divisão, conforme o exemplo de Santos $\left [ 1 \right ]$:

Divisão euclidiana

Temos então que $235$ na base $5$ é $(1420)_{5}$ ou $5^{3} + 4 \cdot 5^{2} +2 \cdot 5$ quando escrito na forma ED. Note que, pelo algoritmo colocamos o último quociente “$1$” seguido dos restos $4$, $2$ e $0$ em ordem decrescente das operações.

Modelando o problema

Como cada infectado chegou em dias diferentes, eles produziram uma potência de $3$ diferente tal que o número de infectados é:

$9027= 3^{x} + 3^{y} +...+3^{z}$

Para responder as perguntas, vamos colocar o número na base $3$ com a forma ED utilizando o algoritmo da divisão teremos que:

$9027 = 3^{8} +3^{7} +3^{5} +3^{3} +3^{2}$

A soma dos infectados pode ser facilmente vista na forma ED, logo como a maior potência é $8$, o problema começou a $8$ dias, como a menor potência é $2$ o último a chegar a ilha com a doença foi a $2$ dias, e como temos cinco potências distintas, chegaram ao local $5$ infectados.

E se alguns indivíduos chegassem juntos?

Neste caso era possível limitar a número de infectados e de dias, poderíamos afirmar que o primeiro infectado chegou a $8$ dias, ou que $3$ infectados chegaram a $7$, e assim por diante e cruzando outras informações seria possível melhorar as estratégias de vigilância sanitária.

Usando coeficientes

Suponha que o número de infectados seja $9270$, logo teremos: $9270 = 3^{8} +3^{7} +2 \cdot 3^{5} +3^{3} +3^{2}$. Isto indicaria que no quinto dia chegou uma dupla ou número par de indivíduos, talvez $6$ pessoas.

Outras potências

Suponha que a doença se propague como uma Progressão de Base $5$, $7$, ... ou $K$. Neste caso teríamos: $N=c_{1}K^{p1} + c_{2}K^{p2} +...+ c_{n}K^{pn} +c$, sendo que $c$,  $c_{1} ,c_{2} ,..c_{n} < K$.

Mas a interpretação das informações seriam as mesmas.

Conclusão

As bases numéricas podem ajudar a modelar epidemias e com isso facilitar a investigação e medidas de contenção de doenças.

Referência bibliográfica:

$\left [ 1 \right ]$ SANTOS, O.O. Bases Numéricas Equações e Criptografia. São Paulo. All Print Editora, 2016.
$\left [ 2 \right ]$ HEFEZ, M. Elementos de Aritmética. Rio de Janeiro, SBM,2011, p. 43-52.
$\left [ 3 \right ]$ Santos, O.O. Proving the Collatz Conjecture with Binary Numbers. International Journal of Pure and Applied Mathematics. Volume 7, Issue 5, October 2018, Pages: 68-77.


Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Olinto de Oliveira Santos, professor de Matemática no Estado da BahiaMestre em Matemática, Especialista em Educação e Licenciado em Administração e Matemática.

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