Exemplos de logaritmos no mundo real

Com tantos usos e aplicações no mundo natural, é difícil não notar que as leis logarítmicas governam a natureza universalmente.

Desde o 6º ano do Ensino Fundamental 2 os professores, em suas aulas, já avisam aos alunos: olha só, potenciação é importante para entendermos um assunto que iremos estudar futuramente no Ensino Médio, ok?! Nossa, professor! Calma! - Reclamam os alunos imediatamente. É um exagero da parte do professor?

De todo modo, alguns alertas de vez em quando não atrapalha e nem ajuda do ponto de vista da aprendizagem. Apenas avisa aos pequeninos que é importante dominarmos o conceito e as propriedades da potenciação desde cedo.

Portanto, se você é aluno do ensino médio e se pergunta para que serve logaritmo, esse post traz alguns exemplos aplicados no mundo real. Você lembra de logaritmo?  

Um logaritmo é a potência à qual um número é elevado para obter outro número. Por exemplo, considere que $10^{2}=100$; O “$2$” pode ser expresso como um expoente $(10^{2} =100)$ ou como um logaritmo de  base  $10$. Por exemplo, o logaritmo (base $10$) de $100$ é o número de vezes que você teria que multiplicar $10$ por ele mesmo para obter $100$. Em outras palavras, o logaritmo nos diz qual é o expoente.

É uma ideia complexa?

Se você não entender bem o significado, você não está sozinho. A maioria dos alunos que estudam logaritmo pela primeira vez, com uma definição semelhante à acima, acham impossível compreender sua relação com o mundo real.

Em símbolos pode ajudar? Para alunos acaba complicando mais ainda, dependendo é claro, como está a sua base matemática. Mas, vamos lá!

$log_{10}100=2$, pois $10^{2}=100$

O logaritmo de 100 na base 10 é igual a 2,

pois 10 elevado ao expoente 2 é igual a 100.

Por definição matemática:

$$log_{a}b=x \Leftrightarrow a^{x}=b$$

$$0<a\neq 1 \quad e \quad b>0; \quad a,b \in \mathbb{R}$$

Por diversos fatores alguns alunos não conseguem entender essa e outras ideias matemáticas, por se tratarem de números muito grandes ou pequenos, tirando um pouco da sua visualização material, isto é, não consegue associar a ideia matemática à algo real.

Além do mais nem todos os alunos aprendem da mesma forma. Esse post não tem a mínima intenção de fazer você aprender logaritmo, mas de mostrar o que se pode fazer com o logaritmo.

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• ##plus## Recomendo a leitura no blog O Baricentro da Mente
• Um Pouco Sobre Logaritmos e Suas Propriedades Operatórias e Stifel, Bürgi e a Criação dos Logaritmos.

Uma pessoa comum realmente vai usar um logaritmo na vida real? Provavelmente não, no sentido de "por a mão na massa" da palavra, mas eles são úteis para muitas situações. Os logaritmos funcionam da mesma maneira que um chip de computador funciona em seu veículo, alertando-o sobre a troca de óleo necessária, junta com defeito ou porta aberta. Sem esse chip, estaríamos de volta aos dias de solucionar problemas em um veículo com uma chave inglesa.

Diversos componentes na eletrônica têm comportamento logaritmo, como é o caso da carga de capacitores, da reatância indutiva, etc. O som também é percebido por nossos ouvidos através de uma escala logarítmica (Decibel). Assim, alguns controles de volume, feito através de potenciômetros, devem ter escala logarítmica.

Da mesma forma, existem muitos exemplos da vida real de logaritmos trabalhando nos bastidores - provavelmente você nunca terá um motivo para vê-los.

Veja alguns exemplos de logaritmos no mundo real. E isso não quer dizer que seja em sua vida real (cotidiano), a não ser que você seja um investidor de sucesso na bolsa de valores.

Imagem por Gerd Altmann from Pixabay.

Escala Richter

A escala Richter para terremotos é um exemplo clássico de escala logarítmica na vida real. Um dos fatos mais interessantes sobre essa escala logarítmica particular é que ela está relacionada ao comprimento da linha de falha. O maior terremoto já registrado foi de  magnitude 9,5 em 22 de maio de 1960 no Chile em uma falha geológica de 1600 quilômetros  (segundo USGS). Em comparação, um terremoto teórico de magnitude 10 se estenderia por dezenas de quilômetros. Uma impossibilidade prática, mas é bastante fácil entender que pequenos saltos nos números significam grandes mudanças, não pequenas.

A escala de magnitude Richter foi desenvolvida em 1935 por Charles F. Richter, do Califórnia Institute of Technology, como um dispositivo matemático para comparar o tamanho dos terremotos. A magnitude de um terremoto é determinada a partir do logaritmo da amplitude das ondas registradas pelos sismógrafos.

Ajustes estão incluídos para a variação na distância entre os vários sismógrafos e o epicentro dos terremotos. Na escala Richter, a magnitude é expressa em números inteiros e frações decimais. Por exemplo, uma magnitude 5,3 pode ser calculada para um terremoto moderado, e um forte terremoto pode ser classificado como uma magnitude 6,3. Por causa da base logarítmica da escala, cada aumento de número inteiro em magnitude representa um aumento de 10 vezes na amplitude medida; como uma estimativa de energia.

A imagem é do livro de Richter (1958) Elementary Seismology.

$$M = log_{10}(A)+3 \cdot log_{10} (8 \Delta t)-2,92$$

A equação acima calcula a magnitude de um terremoto segundo a Escala Richter.

Onde:

$M$ é a magnitude do terremoto;

$A$ é a amplitude (em milímetros) medida com um sismógrafo;

$t$ é o intervalo de tempo (em segundos) entre a onda superficial ($S$) e a onda de pressão máxima ($P$).

Na figura acima observe que a amplitude $A$ vale $23$ $mm$. A distância entre as ondas $P$ e $S$ é de $24$ $mm$. Logo, sabendo-se que o papel de um sismógrafo 'anda' a $1$ $mm/s$, logo $t = 24$ $s$. Assim, pela equação acima, temos que:

$$M = log_{10}(23)+3 \cdot log_{10} (8 \cdot 24) - 2,92 = 5,28$$

Portanto, um terremoto de baixa intensidade, porém pode causar danos em prédios sem estrutura reforçada ou mal construídos.

Valores de intensidade na escala:

• Menor que 2: não é sentido por humanos.
• Entre 2 e 4: é sentido por humanos, porém não causa danos.
• Igual a 5: pode causar danos em prédios mal construídos e quebra objetos.
• Entre 6 e 7: é perigoso, causando danos sérios em áreas próximas ao epicentro; Prédios bem construídos podem resistir.
• Igual ou maior que 8: danos graves para a maioria das construções.
• Igual a 9: danos muito graves para áreas com raio de quilômetros do epicentro.

A equação $M=\cfrac{2}{3} \cdot log_{10}\left ( \cfrac{E}{E_{0}} \right )$ também calcula a magnitude de um terremoto na escala Richter. Essa, leva em consideração a energia liberada durante o terremoto.

Onde:

$E$ é a energia liberada no terremoto em kWh;

$E_{0}$ é constante e vale $7 \cdot 10^{-3}$ $kWh$.

Ambas são equações equivalentes.

Escala Decibel (intensidade do som)

Em seus primeiros estudos com a acústica, Alexander Graham Bell (1847 – 1922), inventor do telefone, entre outras coisas, percebeu que a variação de som que o ouvido humano pode sentir não acompanha uma escala linear.

Isso significa que se dobrarmos a amplitude de um sinal (duplicar sua tensão elétrica), nosso ouvido não perceberá como sendo o dobro da pressão sonora recebida, ou melhor, o dobro do volume. Graham Bell notou que a escala que o ouvido percebe é logaritma. Portanto, ao invés de utilizar a escala linear para representar a amplificação (ganho) ou a atenuação (perda) de um sistema, Graham Bell resolveu utilizar uma escala logaritma.

Para quer serve? No software OBS Studio, usado para gravar vídeo do desktop e lives, regulo o ganho do microfone de acordo com essa escala.

Clique para ampliar

De acordo com a Física, a intensidade do som é medida em termos de volume, que é medido em termos de um logaritmo. Assim, a intensidade do som é definida como $\beta = (10dB)log\left ( \cfrac{I}{I_{0}} \right )$, onde, nesta de definição, $dB$ são os decibéis. É um décimo de bel (B) e $I$ e $I_{0}$ são a intensidade do som.

Quer saber mais? Acesse o site www.embarcados.com.br.

Força de senha

Você já deve ter visto em sites, como o Google, por exemplo, que ao criar ou alterar a senha da sua conta, é mostrado a informação de que a senha digitada por você é forte, média ou fraca. Já viu isso? Se você quer gerar uma senha forte, deverá usar uma combinação de caracteres especiais, números, letras maiúsculas e minusculas.

Nesse exemplo, o Google faz isso por você, oferecendo uma senha forte quando está registrando seus dados em algum site. O Google (através do Chrome) fornece uma senha automaticamente e é forte, contento, caracteres especiais, letras (maiúsculas e minúsculas) e números. Você decide se vai utilizar essa senha gerada.

A entropia de informação $H$, em bits, de uma senha gerada aleatoriamente e composta por $L$ caracteres é dada por $H=L \cdot log_{2}(N)$, onde $N$ é o número de símbolos possíveis para cada caractere da senha. Em geral, quanto maior a entropia, mais forte é a senha. [R.Frith]

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• Pergunta 01) Se uma senha de $7$ caracteres com distinção entre maiúsculas e minúsculas for composta apenas de letras e números, encontre a entropia de informações associada.
• Existem $26$ letras no alfabeto, $52$ se letras maiúsculas e minúsculas forem contadas como diferentes. Existem $10$ dígitos ($0$ a $9$) para um total de $N=62$ símbolos. Já que a senha deve ter $7$ caracteres, $L=7$. Portanto, $H=7 \cdot log_{2}(62)=\cfrac{7 \cdot ln(62)}{ln(2)} \approx 41,48$
• Pergunta 02) Quantas opções de símbolo possíveis por caractere são necessárias para produzir uma senha de 7 caracteres com uma entropia de informação de 50 bits?
• Nós temos $L=74$ e $H=50$ e precisamos encontrar $N$. Resolvendo a equação $50=7 \cdot log_{2}(N)$ dá $N=2^{\frac{50}{7}} \approx 141,323$, então precisaríamos de $142$ símbolos diferentes para escolher.

Aprendizado de máquina (Machine Learning)

Se você mora no 10º andar de um prédio, vai usar as escadas ou o elevador? O objetivo em ambos os casos é o mesmo: você deseja voltar para seu apartamento depois de um longo dia de trabalho. Obviamente, subir escadas é melhor se você for uma pessoa ocupada que não tem tempo para ir à academia e quer usar as escadas como uma versão simplificada dos exercícios cardiovasculares.

Mas, fora isso, é mais provável que você pegue o elevador.

Outro exemplo.

Vamos dizer que você está tentando ir ao seu local de trabalho. Demora 10 minutos de carro quando não há engarrafamentos e 50 minutos a pé. Você pode optar por dirigir ou caminhar. Você ainda vai chegar ao mesmo destino, mas quer economizar tempo.

Você vai trabalhar todos os dias úteis e não apenas uma vez na vida. Como resultado, você pode precisar decidir sobre isso regularmente. Você deseja poder ir para o trabalho mais rápido, para ter mais tempo do dia para ficar com sua família e amigos.

O que esses exemplos tem a ver com logaritmo?

Empregar o logaritmo é o mesmo como visto nos exemplos. Você precisa encontrar os parâmetros que minimizam a função de perda, que é um dos principais problemas que você tenta resolver no Aprendizado de Máquina. O parâmetro que minimiza uma função é igual ao parâmetro que minimiza o logaritmo dessa função.

Saiba mais lendo o artigo Why Logarithms Are So Important In Machine Learning no site towardsdatascience.com.

Química - Medição do valor de pH

O cenário da vida real de logaritmos é medir o ácido, básico ou neutro de uma substância que descreve uma propriedade química em termos de valor de pH. Se tiver interesse em ler mais sobre essa aplicação, acesse www.amansmathsblogs.com.

Lei de Benford

Um conjunto de números satisfaz a lei de Benford se o primeiro dígito  $d \left ( d \in  \left \{ 1, ..., 9 \right \} \right )$ ocorre com a seguinte probabilidade:

$P(d)=log_{10}(d+1)-log_{10}(d)$

$P(d)=log_{10}\left ( \cfrac{d+1}{d} \right )$

$P(d)=log_{10}\left ( 1+\cfrac{1}{d} \right )$

A lei de Benford, também chamada de lei do primeiro dígito, refere-se à distribuição de dígitos em várias fontes de casos reais. Ao contrário da homogeneidade esperada, a lei afirma que em muitas coleções de números que ocorrem naturalmente, o primeiro dígito significativo provavelmente será pequeno.

Sem homogeneidade, esta distribuição mostra que o dígito 1 tem 30% de chance de aparecer em um conjunto de dados estatísticos enquanto valores maiores tem menos possibilidade de aparecer.

Frank Benford demonstrou que esse resultado se aplica a uma ampla variedade de conjuntos de dados, incluindo contas de eletricidade, endereços, preços de ações, preços de casas, números de população, taxas de mortalidade, comprimentos de rios, constantes físicas e matemáticas.

Concluindo

É notável que muitos fenômenos da natureza seguem universalmente leis logarítmicas. A medição da intensidade do som em decibéis e o tamanho dos terremotos usando a escala Richter são alguns exemplos vistos nesse post. Geralmente, isso é quantificado pela chamada lei de Weber-Fechner, que afirma que a resposta é proporcional ao logaritmo da intensidade do estímulo. É generalizado para incluir qualquer tipo de sensação fisiológica, como percepção de brilho causada por uma fonte de luz ou percepção de intensidade de uma fonte de som.

Nossos olhos podem ver uma vela a 10 km de distância. A intensidade do luar é um bilhão de vezes maior, mas o olho percebe que é apenas nove vezes maior ($log_{10}1000000000=9$), de modo que o luar não queima nossos olhos. Uma conversa alta de 90 decibéis é um bilhão de vezes maior do que o limiar de ruído muito sensível do ouvido, mas o tímpano não estoura porque o ouvido percebe que é apenas nove vezes mais intenso.

O ouvido humano é extremamente sensível para notar uma mudança no tom causada por uma mudança de frequência de apenas 0,2%. Como resultado, as notas musicais que são escritas seguem uma escala logarítmica na qual a distância vertical (altura) é proporcional ao logaritmo da frequência.

As leis de potência também são onipresentes na natureza. O espectro de raios cósmicos de alta energia, radiação emitida por partículas carregadas em altas velocidades em um campo magnético, todos seguem leis de potência. Vistas, sons, cheiros, terremotos, tsunamis, radiação de alta energia, datação por carbono, crescimentos, decaimentos e muitos fenômenos seguem uma lei logarítmica.

Os logaritmos também estão envolvidos na dinâmica do foguete de várias formas. Para um foguete de múltiplos estágios, a velocidade e a distância alcançadas envolvem o logaritmo da relação de massa, ou seja, a relação entre as massas inicial e final transportadas. A trajetória de um foguete em queda é novamente uma espiral logarítmica. 

Na matemática pura, novamente, os logaritmos são onipresentes. O número de primos presentes abaixo de um dado grande número $N$ é proporcional a $N$ dividido por $log(N)$. Numerosos exemplos podem ser dados, subjacentes à universalidade dos logaritmos. Além disso, todas as nossas escalas de medição também são baseadas em logaritmos.

Com tantos usos e aplicações no mundo natural, é difícil não notar (para os bons olhos) que as leis logarítmicas governam a natureza universalmente.

Referências e adaptações para esse post:

• https://www.embarcados.com.br/logaritmos/
• https://www.datasciencecentral.com/profiles/blogs/real-life-applications-of-logarithms
• https://www.deccanherald.com/content/646378/using-logarithms-real-world.html
• https://www.embarcados.com.br/aplicacoes-do-decibel/
• http://rfrith.uaa.alaska.edu/Algebra/Chapter6/CH6.pdf
• https://www.embarcados.com.br/o-que-e-decibel/
• https://www.amansmathsblogs.com/real-life-scenario-logarithms/
• https://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo
• https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Benford
• https://prezi.com/hlhkzzwu2l0g/logarithms-in-real-life-applications/