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Como Stevin representava as frações decimais

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A invenção das frações decimais constitui uma das grandes etapas do desenvolvimento da matemática numérica. E esse é um dos fatores importantes a...

As frações comuns positivas surgiram naturalmente na história da Matemática: na divisão de um inteiro por outro, quando o primeiro não é múltiplo do segundo. Os babilônios, por exemplo, uma vez que dividir por $a$ equivale a multiplicar por $\cfrac{1}{a}$, tinham até tabelas de inversos no seu sistema sexagesimal. Essas tabelas mostravam, por exemplo, expressões como:

$$\text{igi 2 gál-bi 30} \quad \text{e} \quad \text{igi 3 gál-bi 20}$$

que significavam, respectivamente:

$$\cfrac{1}{2} = \cfrac{30}{60} \quad \text{e} \quad \cfrac{1}{3}=\cfrac{20}{60}$$

Eles sabiam que os inversos $\cfrac{1}{a}$, em que $a$ não tem fatores primos diferentes de $2$, $3$ e $5$, possuíam representação sexagesimal finita.

Como Stevin representava as frações decimais

Quanto aos números irracionais, é possível que acreditassem, erradamente, como é bem sabido, que as representações aproximadas que obtinham, para $\sqrt{2}$, por exemplo, pudessem se transformar em exatas se mais casas sexagesimais fossem alcançadas.

O importante, porém, é que, mediante a notação posicional, os babilônios representavam (aproximadamente ou não) os números reais que lhes surgissem, sem o uso de denominadores. Vestígios disso ainda se encontram atualmente nas unidades de medida de ângulo e tempo. Por exemplo $2°15'32''$ significa:

$$2+\cfrac{15}{60}+\cfrac{32}{3600}\ \text{graus}$$

Os egípcios, por sua vez, em geral expressavam a parte fracionária de um quociente não exato entre dois inteiros mediante uma soma de frações unitárias (de numerador igual a 1), o que sempre é possível, embora isso só fosse conhecido por eles empiricamente.

No papiro de Rhind, importante documento egípcio de natureza matemática (aproximadamente 1800 a.C.), o escriba obteve a seguinte soma de frações unitárias:

$$\cfrac{19}{8} = 2+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{8}$$

Quanto aos números irracionais, quando ocorriam em problemas algébricos, eram expressos aproximadamente através de números inteiros ou frações, sem nenhuma preocupação de ordem teórica.

Os gregos, embora tivessem criado uma matemática incomparavelmente superior à de babilônios e egípcios, sob o aspecto teórico, na questão em pauta acabaram buscando inspiração nos egípcios e babilônios. Assim, é que de início usaram frações unitárias e, em séculos posteriores, frações comuns e sexagesimais. Estas, por exemplo, aparecem na obra trigonométrica de Ptolomeu (século II d.C.) e eram algo estranho ao sistema de numeração grego como os graus, minutos e segundos o são para o nosso.

E até o Renascimento, quando o uso de frações decimais começou a ser insistentemente recomendado, pouco mudara nesse panorama. E o maior responsável pela disseminação de tal uso foi o maior matemático dos Países Baixos (atualmente Holanda): Simon Stevin.

Stevin (1548-1620) ao que parece começou a vida como guarda-livros. Mas, por conciliar grande formação teórica nas ciências exatas e um espírito agudamente prático, chamou a atenção do príncipe Maurício de Orange. Esta foi a porta pela qual se tornou engenheiro militar e, posteriormente, comissário de obras de seu país. Seus trabalhos sobre Estática de Hidrostática o notabilizaram entre seus contemporâneos, dada a importância do assunto num país com as características físico-geográficas da Holanda.

Em 1585 publicou em Leyden o livreto De Thiende (O décimo) com o qual pretendia ensinar a todos "como efetuar, com facilidade nunca vista, todos os cálculos necessário entre os homens por meio de inteiros sem frações". A representação ou forma decimal, provavelmente a principal vantagem da notação posicional, depois de oito séculos de uso dos numerais indo-arábicos, finalmente era apresentada de maneira a poder vingar.

A notação de Stevin, contudo, não era feliz: um círculo acima ou à direita de cada dígito escrevia o expoente da potência de dez do denominador subentendido. Por exemplo, a aproximação $3,1416$ para o número $\pi$, podia aparecer como:

numero-pi-escrito-na-notacao-de-simon-stevin-

O uso da vírgula ou do ponto como separador decimal, sugestão de Napier, acabou prevalecendo com o tempo.

Na mesma obra, Stevin apresentou a ideia de criar um sistema unificado decimal de pesos e medidas para todo o mundo, adiantando-se em alguns séculos à sua adoção.

A invenção das frações decimais constitui uma das grandes etapas do desenvolvimento da matemática numérica. E esse é um dos fatores importantes a colocar Stevin entre os mais notáveis da Matemática em todos os tempos. 

Se Stevin não tivesse o pensamento tão geométrico, poderia ter descoberto o Cálculo cerca de um século antes de Newton e Leibniz terem desenvolvido suas teorias, pois já possuía métodos infinitesimais para encontrar o baricentro de um triângulo utilizando paralelogramos de larguras muito pequenas.

Texto de:

Hygino H. Domingues

Referências:

  • Fundamentos de Matemática Elementar V1 - Conjuntos e Funções - Gelson Iezzi & Carlos Murakami

COMENTÁRIOS

Comentaristas: 2
  1. Olá, meu Amigo!

    Adoro textos assim, mostrando como a matemática foi evoluindo com o tempo. A notação que usamos atualmente passou por séculos de aprimoramento, mas quando estudamos nas escolas, nem damos conta disso, porque já está tudo pronto. Imagine como era trabalhoso escrever um livro na época de Stevin!

    Um abraço!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Equações simples que envolviam adição e multiplicação, levava várias linhas apenas para o enunciado. Os livros "didáticos" de Matemática deveria ter essas explicações históricas sobre a evolução da escrita matemática.

      A maioria fala sobre a história dos sistemas de numeração e param nisso.

      Abraço, meu amigo!

      Excluir



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