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Um blog para professores e estudantes de Matemática. Dicas e tutoriais sobre softwares matemáticos, como GeoGebra, LibreOffice e muito mais.
Mesmo sem nenhuma premiação ou algo parecido, há pessoas (felizmente) quem tem o prazer em resolver problemas matemáticos propostos aqui no blog sem esperar nada em troca. Alguns desafios eu criei, outros são de livros que utilizo e alguns são inspirados na OBM, IMO, etc.

Recebi uma resposta MARAVILHOSA devidamente organizada em $\LaTeX$ para o desafio matemático 39, cujo tema é Geometria Analítica. O desafio lançado no blog é o problema 1 proposto na 57ª Olimpíada Internacional de Matemática - IMO 2016, que aconteceu no mês de julho em Hong Kong. O Brasil conquistou 5 medalhas de prata e 1 de bronze.

Sempre que alguém resolver um desafio matemático proposto aqui no blog usando um PDF em $\LaTeX$, sua resposta será postada aqui. É uma forma de agradecer o tempo dedicado para resolver o problema e editar um arquivo devidamente organizado.

Solução do Problema 1 da Olimpíada Internacional de Matemática - IMO 2016 (desafio matemático 39)

Veja a solução logo abaixo.



Download da resposta

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Recebi uma solução para o desafio matemático #33 (nível fundamental/médio) e o que me chamou a atenção, além da resposta, foi a organização. Tudo arrumadinho em $\LaTeX$.

Sempre que alguém resolver um desafio matemático proposto aqui no blog usando um PDF em $\LaTeX$, sua resposta será postada aqui. É uma forma de agradecer o tempo dedicado para resolver o problema e editar um arquivo devidamente organizado.

Veja a resposta logo abaixo.
Resposta do desafio matemático #33




Download da resposta

Resolvido e enviado por Welton Batista.

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Proponho como o 39º desafio matemático uma demonstração. Use os conceitos de Geometria e Álgebra para resolver este problema que classifico de nível superior, somente por seu nível de dificuldade, pois seu enunciado contém muita matemática estudada no Ensino Médio.

Desafios matemáticos #39


 Nível: Superior 

O triângulo $BCF$ é retângulo em $B$. Seja $A$ o ponto da reta $CF$ tal que $FA=FB$ e que $F$ esteja entre $A$ e $C.$ Escolhe-se o ponto $D$ de modo que $DA=DC$ e que $AC$ seja a bissetriz do ângulo $\angle DAB$. Escolhe-se o ponto $E$ de modo que $EA=ED$ e que $AD$ seja a bissetriz do ângulo $\angle EAC$. Seja $M$ o ponto médio de $CF$. Seja $X$ o ponto tal que $AMXE$ seja um paralelogramo (com $AM || EX$ e $AE || MX$). Demonstre que as retas $BD,$ $FX$ e $ME$ são concorrentes.

Deixe sua resposta devidamente justificada, através de seus cálculos, na sessão de comentários deste artigo. O blog tem suporte a linguagem $\LaTeX$ somente para o Blogger. Ou se preferir, mostre a sua solução em algum documento e envie o link dele juntamente com o seu comentário.

Divirta-se!

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Os desafios matemáticos do blog estão de volta. O primeiro desafio matemático do ano, trás na verdade 3 desafios para a sua diversão. Este post trás um desafio de nível fundamental, um de nível médio e outro de nível superior. Use seus conhecimentos algébricos, geométricos e muito raciocínio para encontrar as soluções. Tente fazer isso sem a ajuda de ninguém. Não peça ajuda ao Google e nem abra seus livros.

Aceita o desafio?

 Nível Fundamental 

Roberto espetou quatro estacas em um terreno plano e horizontal, formando os vértices de um quadrado de lado 2 m. Na base da estaca A, ele amarrou uma corda de 8 m e esticou até o ponto B. A partir daí, em sentido horário em torno do quadrado, caminhou sempre com a corda esticada, descrevendo a trajetória na figura abaixo. 

Ensino fundamental

Calcule, aproximadamente, a distância caminhada por Roberto. (use $\pi=3,14$)

 Nível Médio 

A quantidade de ração em kg para alimentar os peixes de um cativeiro é $R(p) = 2 \cdot p^{2} + p$, sendo $p$ o número de peixes em milhares desse cativeiro. A população de peixes é, no final de $t$ meses, $p(t) = 2 \cdot t + 3$. Daqui a quantos meses a quantidade de ração necessária será de 1081kg?

 Nível Superior 

Calcule o volume do sólido gerado pela revolução ao redor do eixo $O_{x}$ da superfície limitada pela curva $y=4x-x^{2}$ e pela reta $y=2x$.

Deixe sua resposta devidamente justificada, através de seus cálculos, na sessão de comentários deste artigo. O blog tem suporte a linguagem $/LaTeX$. Veja a página de ajuda logo abaixo.

Boa diversão pra você!

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Desafios matemáticos #37
Os desafios matemáticos é uma forma de exercitar seu cérebro e é claro de se divertir um pouco com a Geometria e a Álgebra. Já foram publicados 37 desafios, sendo que destes há alguns em aberto esperando uma resposta. Fique a vontade para enviar sua resposta ou compartilhar para os seus amigos.

O desafio matemático de número 37 exige apenas que você multiplique algumas frações. Quer tentar encontrar uma solução para ele? Leia-o.

 Nível: Fundamental/Médio 

Qual o produto entre as frações?

Desafios matemáticos #37

Qual a forma mais rápida de encontrar a solução para este probleminha? Deixe sua resposta devidamente justificada através de seus possíveis cálculos, nos comentários deste artigo. Se preferir, esquematize sua resposta usando a linguagem LaTeX, edite um documento no Google Drive (antigo Google Docs) e compartilhe o link público nos comentários.

Boa diversão pra você!

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Para o desafio matemático de número 36, proponho o primeiro desafio diretamente destinado ao nível superior. Alguns materiais didáticos de Matemática para o Ensino Médio já abordam o conceito de limite, derivada, etc. Fique a vontade para participar deste desafio.

Desafios matemáticos #36

Ele não é muuuuuuito complexo, um pouco de atenção na hora de fazer seus cálculos pode te ajudar.

 Nível: Superior 


Calcule o limite da seguinte função de duas variáveis.


Infelizmente o sistema de comentários atual deste blog, não aceita codificação LaTeX.

Deixe sua resposta devidamente justificada através de seus cálculos, nos comentários deste artigo. Se preferir, esquematize sua resposta usando a linguagem LaTeX, edite um documento no Google Drive (antigo Google Docs) e compartilhe o link público nos comentários.

Bom divertimento!

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Revirando meus arquivos antigos da época da faculdade, encontrei uma lista de desenhos geométricos. Esta lista servirá também como base para os desafios matemáticos propostos neste blog. Os desafios são simples mas requer um mínimo de raciocínio geométrico e um pouco de álgebra.

 Nível: Médio/Superior 


O desafio matemático de número 35, quer saber qual a área correspondente a região pintada de cor verde. A figura abaixo mostra um círculo de raio r (AM) e um triângulo equilátero ABC. O vértice A é o centro do círculo e M é ponto médio do lado AB.
Desafios matemáticos #35

Deixe sua resposta devidamente justificada através de seus cálculos, nos comentários deste artigo. Se preferir, esquematize sua resposta usando a linguagem LaTeX, edite um documento no Google Drive (antigo Google Docs) e compartilhe o link público nos comentários.

Quem se interessar pelo arquivo .ggb desta figura construída no GeoGebra, posso disponibilizar para download após o encerramento das respostas ao desafio.

Bom divertimento!

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Estou de volta com mais um desafio matemático, para a sua diversão (risos). O desafio de número 34 é de caráter geométrico. Quem acompanha os desafios sabe do meu gosto por esses desafios que envolve a Geometria Euclidiana Plana.

 Nível: Fundamental/Médio 


A figura neste desafio trata-se de duas circunferências. A circunferência menor tangencia internamente a circunferência maior. O diâmetro da circunferência menor, coincide com o raio da circunferência maior. Com estas informações é possível afirmar que a fração que representa a área colorida em verde é:
Desafios matemáticos #34
Deixe sua resposta devidamente bem fundamentada nos comentários deste artigo. Ou ainda esquematize sua solução para este desafio, através de uma figura, demonstrando qual a fração da área colorida.

Bom divertimento!

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Desde março não publicava um desafio matemático no blog. Na página do blog no Facebook, andei desafiando o pessoal, e eles se saíram muito bem. Agora volto com mais um desafio de caráter geométrico.

 Nível: Fundamental/Médio 


A figura abaixo trata-se de um conjunto de triângulos. Um triângulo equilátero de cor laranja, está inscrito no triângulo maior. Qual a fração que representa a área colorida em laranja?
Desafios matemáticos #33

Deixe sua resposta devidamente bem fundamentada nos comentários deste artigo. Ou ainda esquematize sua solução para este desafio, através de uma figura, demonstrando qual a fração da área colorida.

Bom divertimento!

Ver resposta

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Desde o início dos desafios matemáticos publicados no blog, eles sempre se alternaram entre desafios algébricos e geométricos. São dois ramos da Matemática que caminham lado a lado e que são ideais para se construir alguns passa tempos como estes.

É uma brincadeira divertida que muitos gostam, e até fazem isso nos seus finais de semana. Estes desafios, além de exercitar os conteúdos estudados no Ensino Fundamental e Médio, eles também estimulam fortemente o raciocínio lógico, forçando o cérebro a trabalhar em prol de um objetivo. Isso é muito sadio.

O desafio matemático de número de 32, você deverá exercitar um pouco sobre Álgebra, afim de encontrar a solução para o problema.

 Nível: Médio/Superior 

O desafio é simples e não tem um enunciado complicado. O objetivo é descobrir qual o valor numérico de F, quando o valor numérico de é igual a 0,2.

Desafios matemáticos #32

Deixe um comentário neste artigo com a sua resposta devidamente fundamentada. Respostas diretas e sem justificativas serão publicadas, mas não aceitas como solução.

Para melhor entendimento, recomendo escrever sua solução em algum editor LaTeX, como fez o Cleyton Muto no DM31, e colar o link com os seus cálculos no seu comentário. Existem várias maneiras de usar esse tipo de editor.

Bom divertimento! :D

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Seguindo a alternância dos desafios matemáticos, agora é hora de exercitar nossos conhecimentos de Geometria Euclidiana. Me detenho na maioria das vezes aos desafios geométricos, pois são os que mais chamam a atenção por sua beleza algébrica por trás dos desenhos.

 Nível: Fundamental/Médio 

A figura abaixo é composta por duas circunferências tangentes externamente no ponto $C$ (centro $A$ e $B$) e um triângulo formado pelos pontos $D$, $E$ e $F$. O diâmetro $\overline{DE}$ é perpendicular ao segmento de reta $\overline{BF}$ no ponto $B$. O ponto $H$ pertence a circunferência de centro $A$. Se o segmento de reta $\overline{GH}$ é igual a $5$ e $\overline{BH}$ é igual $3$, calcule a área do triângulo $\Delta DEF$
Desafios matemáticos #31

Quer tentar? Deixe um comentário neste artigo com a sua resposta devidamente fundamentada. Respostas diretas e sem justificativas serão publicadas, mas não aceitas.

Para melhor entendimento, recomendo escrever sua solução em algum editor LaTeX e cole o código em seu comentário. Existem várias maneiras de usar esse tipo de editor.

Bom divertimento! :D

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Em ritmo de festas, será que alguém topa mais um desafio? Há mais de um mês que não publicava um desafio matemático no blog. Então vamos colocar o cérebro para funcionar. No desafio matemático de número 30, você terá que dominar um pouco de cálculos algébricos, desta vez nada de geometria. O enunciado do problema é bem simples.

 Nível: Fundamental/Médio 

Encontre o valor real de x para equação fracionária abaixo.

Desafios matemáticos #30
Existem duas formas corretas para encontrar a solução desta equação, uma é mais curta e a outra é mais demorada. Para este desafio a forma não importa muito. Mas, imagina se esta questão aparece na sua prova de Matemática no vestibular...

Por favor só deixe sua resposta se tiver como comprovar através de seus cálculos. Para isso use um editor LaTeX online com o NumberEmpire para escrever sua equação e deixar o link da imagem no seu comentário.

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De volta aos desafios geométricos, onde geralmente desafio a encontrar áreas de figuras planas. O desafio matemático de número 29 quer saber: Qual a área da região hachurada?

Desafios matemáticos #29

 Nível: Médio/Superior 

A figura acima mostra 4 circunferências de diâmetros  e . O segmento de reta  tangencia as circunferências inscritas nos pontos  e . Se  e , desenvolva um algoritmo (fórmula) que represente a área total () pintada de cor cinza.

Deixe sua resposta nos comentários deste blog, devidamente bem fundamentada através de seus cálculos. Para melhor compreensão, digite sua resposta em um editor matemático como o Daum Equation Editor ou em editores em LaTeX online. Após sua edição basta deixar o link com sua solução para este desafio.

Bom divertimento!

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Semana passada estava dando aula sobre aplicações de funções constantes, e durante a aula introdutória, mostrava algumas situações onde era necessário descobrir que processo matemático era feito usando uma "máquina imaginária". Observe a figura abaixo.

Desafios matemáticos #28 - máquina de exemplo

A máquina da figura acima "pega" os valores de entrada e multiplica por 2.

O desafio matemático de número 28, se baseia nessa ideia. Segue logo abaixo o enunciado.

 Nível: Fundamental/Médio 

Uma máquina transforma 111121 em 100. A mesma máquina transforma 121244 em 100. E ainda ela transforma 131369 em 100. Qual o resultado da transformação quando a entrada é 141486?


Desafios matemáticos #28

Será que essa máquina tem um padrão constante? Descubra!

Encontre uma solução para este desafio, sem esquecer de demonstrar através de seus cálculos.

Bom divertimento!

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Agradeço a todos pela participação, no desafio de número 26, dedicando um pouco de seu tempo para enviar suas soluções. O desafio matemático de número 27, quer saber: você sabe somar? Observe o exemplo abaixo.

Qual é a soma de todos os números inteiros de 1 a 100? Uma garoto de 9 anos fez essa continha em questão de minutos. Em linguagem matemática temos: 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = ?

Com um pouco de raciocínio não é complicado encontrar uma solução rápida para esse pequeno problema. Mas o desafio matemático que quero propor, ainda não é esse citado acima, porém parte da mesma ideia.

Desafios matemáticos #27

Pré-requisito para este desafio: Álgebra.

 Nível: Superior 

Encontre um algoritmo matemático que satisfaça a igualdade: 1 + 2 + 3 + ... + N = ?

Questão bem simples.

Publicarei os comentários quando este artigo sair da página inicial do blog.

Se divirtam!

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Agradeço a todos pela participação respondendo os desafios matemáticos propostos no blog. O objetivo deles é de estimular o raciocínio lógico, geométrico e algébrico de quem participa deixando suas respostas, e porque não uma forma de entretenimento também.
Desafios matemáticos #26

No desafio matemático de número 26, destaco mais uma vez a Geometria como base de conteúdo matemático. É claro que a parte geométrica é focada muito mais para o lado interpretativo, já que para encontrar a solução deste desafio, necessitará de alguns cálculos algébricos.

Pré-requisito para este desafio: Geometria (circunferência) e Álgebra.

 Nível: Médio 

Desafios matemáticos #26
A figura acima é composta com três circunferências tangentes duas a duas, com diâmetro $\overline{BG}=20$. Contornando as três circunferências, suponha que há uma corda que começa no ponto A dando uma volta completa pelas três circunferências, passando por B, C, D, E e F.

Qual o comprimento total dessa corda?

Formule uma resposta convincente baseada em cálculos precisos para comprovar sua reposta. Em seguida é  só deixar um comentário com a sua resolução para este desafio.

Boa diversão!

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Você gosta de ser desafiado? Tem um bom raciocínio? Se sua resposta for sim, encontre a solução para o desafio matemático de número 25. Não gosta de brincar com problemas matemáticos? Envie esse desafio para um amigo. 

A cada uma semana, um novo desafio matemático envolvendo raciocínio lógico, Geometria, Álgebra, etc., será lançado. Além de responder o desafio, você pratica conteúdos estudados em sala de aula como forma de aprendizado adquirido e ainda mostra que é um fera.

Existem outros desafios em aberto esperando uma solução. Clique na categoria acima do título deste artigo para ver todos os outros desafios.

Pré-requisito para este desafio: Noções básicas de Geometria e Álgebra.

 Nível: Médio 

Desafios matemáticos #25

A figura acima mostra um cilindro inscrito (está dentro) numa caixa de formato "cúbico". O volume do cilindro é igual a 64 cm³. Qual o volume desta caixa?

Encontre uma solução para este desafio, justificando sua resposta através de seus cálculos.

Boa diversão!

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O desafio matemático de número 24, tem como tema o QR Code. Inspirado na sugestão do +Adelson Smania, quando sugeriu a implementação de código QR nos artigos com dicas de aplicativos para Android, lanço este desafio com a seguinte proposta:

 Nível: Médio 

A figura abaixo mostra uma espécie de código QR desativado. Observando essa figura, descubra qual a porcentagem da área que corresponde a região de cor preta.

Desafios matemáticos #24

São dadas as alternativas:

  • Exatamente 50%
  • Maior do que 55%
  • Entre 45% e 55%
  • Menor do que 45%

Dê uma solução para este desafio mostrando sua justificativa, baseada em cálculos aritméticos e/ou algébricos.

Boa diversão! :D

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O desafio matemático de número 23, é sobre senhas. Contas bancárias, perfis sociais na internet e em outras situações, sempre usamos uma senha para proteger nossos dados. Você já parou para pensar quantas senhas um determinado sistema pode gerar? Calma, este artigo não pretende mostrar isso, mas propor um desafio neste tema.

No mundo cibernético é mais comum o uso de senhas. Qualquer blog/site na internet, dispõe uma caixa de login para seu usuário. Esse professor que vos fala administra 118 senhas na internet.

Vamos ao DM #23

 Nível: Médio 

Helder criou uma senha para proteger seus documentos no computador de sua família, já que o PC não é usado somente por ele. Temendo que seus arquivos possam ser corrompidos, ele criou uma senha composta por três dígitos, de 0 a 9, seguido por uma letra de um alfabeto que contém 26 letras. A repetição de dígitos é permitida.

Qual o número de senhas diferentes que podem ser criadas?
Desafio matemático #23

Deixe sua resposta devidamente fundamentada, através de algum cálculo aritmético ou algébrico. Para evitar que algum leitor deixe de responder, publicarei os comentários no próximo sábado (15/06) na ordem de envio.

Boa diversão! :D

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O desafio matemático de número 22, você precisará dominar um pouco de Álgebra para encontrar a solução para o desafio proposto. Nada complicado.

A partir deste desafio irei classificá-los em níveis que são:
  • Fundamental
  • Médio
  • Superior
  • Nerd (risos)

Os nomes já estão claros e representam conteúdos abordados nestes níveis de escolaridade. Os desafios ditos fáceis serão classificados como de nível Fundamental. E assim por diante. Outra novidade é que abro espaço para você enviar/propor um desafio aos leitores e visitantes do blog.

Para publicar o seu desafio no blog, envie um e-mail para contato@prof-edigleyalexandre.com, com assunto Desafio matemático. Responderei o mais rápido possível, informando como você irá proceder.

Vamos ao DM #22

 Nível: Fundamental 

A imagem abaixo mostra 10 blocos que estão apoiados uns sobre os outros. Alguns blocos tem um valor numérico, outros vazios e há um bloco com um termo desconhecido representado pela letra X. Os valores dos blocos de cima, são obtidos somando os blocos de baixo. De posse dessas informações:

Desafios matemáticos #22

Qual é o valor de X?

Deixe sua resposta nos comentários desse artigo. Justifique sua resposta através de cálculos. Respostas diretas não serão aceitas.

Aos meus alunos, está valendo uma pontuação extra para quem participar.

Divirtam-se!

Próximo desafio será de nível Médio.