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O blog para professores e estudantes de Matemática.
É muito comum ver alunos resolvendo equações do 2º grau (ou quadrática) aplicando diretamente o algoritmo $x=\cfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}$, onde $\Delta=b^{2}-4 \cdot a \cdot c$. Não é errado, mas a persistência desse hábito pode trazer consequências muito ruins para quem se acostuma a utilizar fórmulas matemáticas para resolver qualquer tipo de problema.

Não entenda que não gosto dessas lindas equações que foram desenvolvidas e provadas por matemáticos brilhantes ao longo dos tempos. O problema é que muitas vezes alguns desses algoritmos são jogados no quadro sem nenhum tipo de justificativa ou origem. Tentar entendê-lo, abstraí-lo, estudar sua demonstração e analisar suas condições de existência é muito mais importante do que apenas substituir alguns valores.

Nessa postagem é mostrada as consequências para alunos que são aversos ao pensamento do raciocínio lógico e abstrato por trás das propriedades de algumas fórmulas matemáticas. Também mostro como é complicado reverter esse processo, quando um adulto aprendeu desde cedo que é melhor usar $x=\cfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}$ do que fatorar.

Numa pesquisa que levantei (26 de março de 2016) no Google+ com uma amostra de 1856 votos, perguntei: Você sabe resolver problemas matemáticos sem usar fórmulas matemáticas? Veja as porcentagens das alternativas para essa enquete.

Participe da enquete

Se você está pensando em cursar Matemática, Economia, Química, Física, Biologia, Informática, qualquer Engenharia, etc., leia essa postagem como uma espécie de alerta. Esse artigo trata apenas um exemplo específico, tente imaginar outras situações onde o ato de não aplicar fatoração e suas propriedades matemáticas pode atrapalhar muito.

Por que é importante aprender a fatorar polinômios de 2º grau em vez de usar a fórmula de Bhaskara?

Sempre há tempo para corrigir erros? É uma pergunta fácil de responder dependendo do contexto em que estamos inseridos. Separei 3 situações para mostrar o óbvio que muitos não enxergam, não querem enxergar ou ainda desdenham. Muitas vezes não é de propósito.





Situação óbvia 1 - Aluno do Ensino Fundamental II

Se não aprende a Tabuada, não aprenderá as quatro operações. Se não aprende as quatro operações, não aprenderá potenciação e radiciação. Se não aprende potenciação e radiciação, não aprenderá todas as operações matemáticas estudadas até então que utilizam potenciação e radiciação. Se não aprende equação do 1º grau, não aprenderá a do 2º grau.

E por aí vai.


Situação óbvia 2 - Aluno do Ensino Médio

Se não aprende ou esquece o que estudou no Fundamenta II, não aprenderá conteúdos bem específicos do Ensino Médio, como Função, por exemplo. Ou terá grande dificuldade para avançar de forma satisfatória.

A ficha cai quando é sentido o baque no Ensino Superior; isso posso garantir com certeza absoluta, conforme relato no artigo Como treinei meu cérebro para me tornar fluente em Matemática. No meu caso obtive sucesso pois realmente lutei muito. Leia o artigo e depois retorne para esse ponto. Fará mais sentido ainda o que explico aqui.


Situação 3 - Aluno do Ensino Superior

Nessa situação engloba tudo, é claro. Mas no caso dessa postagem me refiro especificamente as equações polinomiais do 2º grau. Se você é acadêmico de algum dos cursos superiores que citei aqui, com certeza já se deparou com algum desses exercícios abaixo.
  1. Construa o gráfico da função $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}-4x+3 & se & x\geq 0\\ x^{2}+4x+3 & se & x<0 \end{matrix}\right.$
  2. Resolva a equação $|x^2-5x-6|=2x+6$ em reais.
  3. Construa o gráfico da função $f(x)=|x^2+5x-6|$.
  4. Resolva, em $\mathbb{R}$, a inequação modular $|x^{2}-5x+5|<1$.
  5. Qual o valor real de $x$ para a equação exponencial $2 \cdot 2^{2x}-6 \cdot 2^{x}-8=0$?
  6. Calcule $\displaystyle \lim _{ x\rightarrow -2 }{ \frac { { x }^{ 2 }-x-6 }{ { x }^{ 2 }-4 }  } $. Nesse caso, substituir $-2$ não vai funcionar, pois teremos uma indeterminação $\cfrac{0}{0}$.

Essas são apenas algumas situações mais simples onde a aplicação da fatoração é importantíssima para auxiliar na rapidez de resposta para a questão e assim ganhar tempo para outras questões mais complexas.

Imagina o tamanho dos cálculos para apenas esses 6 exemplos, aplicando a fórmula de Bhaskara, como um meio para chegar a resposta final. Sem falar que as chances de você errar um sinal e acabar errando tudo aumentam muito.




Tome o exemplo 1 como comparação

Com Bhaskara

Observe o quanto pode ser trabalhoso construir o gráfico de $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}-4x+3 & se & x\geq 0\\ x^{2}+4x+3 & se & x<0 \end{matrix}\right.$ usando Bhaskara.

1º caso: $x^{2}-4x+3$ se $x\geq 0$

Para construir o gráfico de $f(x)$ (sem usar tabelinhas) precisaremos de:
  • Identificar os coeficientes da função;
  • Calcular $\Delta$;
  • Zeros da função (onde intercepta o eixo $X$);
  • Coeficiente de $c$ (onde intercepta o eixo $Y$);
  • Vértice da parábola.

Os coeficientes de $x^{2}-4x+3$ são:
$a=+1$, concavidade voltada para cima, pois $a>0$
$b=-4$
$c=+3$

Delta:
$\Delta=b^{2}-4 \cdot a \cdot c$
$\Delta=(-4)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 3$
$\Delta=16-12$
$\Delta=4$

Zeros da função:
$x=\cfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}$
$x=\cfrac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$
$x=\cfrac{4 \pm 2}{2}$ $\Rightarrow$ $x_{1}=\cfrac{4+2}{2}=\cfrac{6}{2}=3$ ou $x_{2}=\cfrac{4-2}{2}=\cfrac{2}{2}=1$

Intercepta o eixo $Y$:
$c=3$ $\Rightarrow$ $(0;3) \in O_{y}$.

Vértice da parábola:
$V_{x}=\cfrac{-b}{2 \cdot a}=\cfrac{-(-4)}{2 \cdot 1}=\cfrac{4}{2}=2$
$V_{y}=\cfrac{-\Delta}{4 \cdot a}=\cfrac{-4}{4 \cdot 1}=\cfrac{-4}{4}=-1$

$V(V_{x};V_{y})$ $\Rightarrow$ $V(2;-1)$

2º caso: $x^{2}+4x+3$ se $x<0$

Os coeficientes de $x^{2}+4x+3$ são:
$a=+1$, concavidade voltada para cima, pois $a>0$
$b=+4$
$c=+3$

Delta:
$\Delta=b^{2}-4 \cdot a \cdot c$
$\Delta=4^{2}-4 \cdot 1 \cdot 3$
$\Delta=16-12$
$\Delta=4$

Zeros da função:
$x=\cfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}$
$x=\cfrac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$
$x=\cfrac{-4 \pm 2}{2}$ $\Rightarrow$ $x_{1}=\cfrac{-4+2}{2}=\cfrac{-2}{2}=-1$ ou $x_{2}=\cfrac{-4-2}{2}=\cfrac{-6}{2}=-3$

Intercepta o eixo $Y$:
$c=3$ $\Rightarrow$ $(0;3) \in O_{y}$.

Vértice da parábola:
$V_{x}=\cfrac{-b}{2 \cdot a}=\cfrac{-4}{2 \cdot 1}=\cfrac{-4}{2}=-2$
$V_{y}=\cfrac{-\Delta}{4 \cdot a}=\cfrac{-4}{4 \cdot 1}=\cfrac{-4}{4}=-1$

$V(V_{x};V_{y})$ $\Rightarrow$ $V(-2;-1)$

Aplicando as condições em cada parte da função temos o gráfico abaixo.

Gráfico da função f(x) no GeoGebra

Usando fatoração

Observe o quanto pode ser mais rápido construir o gráfico de $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}-4x+3 & se & x\geq 0\\ x^{2}+4x+3 & se & x<0 \end{matrix}\right.$ fatorando a função.

1º caso: $x^{2}-4x+3$ se $x\geq 0$

Fatorando $x^{2}-4x+3$ quando $x^{2}-4x+3=0$. Sabemos (ou era pra saber) que o produto das raízes é igual ao coeficiente de $c$ e soma das raízes é o oposto de $b$. Logo: $(x_{1}-1) \cdot (x_{2}-3)=0$ $\Rightarrow$ $x_{1}-1=0$ ou $x_{2}-3=0$ $\Rightarrow$ $x_{1}=1$ ou $x_{2}=3$.

Somente nesse passo você já pode evitar muitas linhas de cálculo. E podemos resumir mais ainda evitando de calcular o $V_{y}$ que usa o $\Delta$. Como?

$V_{x}=\cfrac{-b}{2 \cdot a}=\cfrac{-(-4)}{2 \cdot 1}=\cfrac{4}{2}=2$. Agora basta calcular $f(V_{x})$, já que $V_{y}$ é a imagem de $V_{x}$.

Assim: $f(2)=2^{2}-4 \cdot 2+3$ $\Rightarrow$ $f(2)=4-8+3$ $\Rightarrow$ $f(2)=-1$. Ou seja, $V_{y}=-1$. Pronto!

2º caso: $x^{2}+4x+3$ se $x<0$

Fatorando $x^{2}+4x+3$ quando $x^{2}+4x+3=0$. Sabemos (ou era pra saber) que a produto das raízes é igual ao coeficiente de $c$ e soma das raízes é o oposto de $b$. Logo: $(x_{1}+1) \cdot (x_{2}+3)=0$ $\Rightarrow$ $x_{1}+1=0$ ou $x_{2}+3=0$ $\Rightarrow$ $x_{1}=-1$ ou $x_{2}=-3$.

Somente nesse passo você já pode evitar muitas linhas de cálculo. E podemos resumir mais ainda evitando de calcular o $V_{y}$ que usa o $\Delta$. Como?

$V_{x}=\cfrac{-b}{2 \cdot a}=\cfrac{-4}{2 \cdot 1}=\cfrac{-4}{2}=-2$. Agora basta calcular $f(V_{x})$, já que $V_{y}$ é a imagem de $V_{x}$.

Assim: $f(-2)=(-2)^{2}+4 \cdot (-2)+3$ $\Rightarrow$ $f(-2)=4-8+3$ $\Rightarrow$ $f(-2)=-1$. Ou seja, $V_{y}=-1$. Pronto!

Para construir o gráfico de $f(x)$ (sem usar tabelinhas) precisaremos de apenas:
  • Zeros da função (onde intercepta o eixo $X$);
  • Coeficiente de $c$ (onde intercepta o eixo $Y$);
  • Vértice da parábola.
Gráfico de f(x) criado no GeoGebra

Os gráficos mostrados nessas imagens foram gerados utilizando um comando bem simples no GeoGebra. Se quiser conhecê-lo e aplicar em seus estudos, basta acessar o vídeo demonstrativo em Aprenda a construir gráficos de funções reais de uma variável usando o comando SE do GeoGebra [vídeo].

Os exemplos citados aqui são até simples quando se comparados com exercícios mais avançados de Cálculo Diferencial e Integral. Mesmo assim note que há uma economia de cálculos que pode te ajudar muito nesses exercícios tornando-os mais práticos e rápidos de resolver.

No exemplo 6, onde $\displaystyle \lim _{ x\rightarrow -2 }{ \frac { { x }^{ 2 }-x-6 }{ { x }^{ 2 }-4 }  } $, substituir $-2$ não funcionará, pois teremos uma indeterminação $\cfrac{0}{0}$. Também não ajudará usar $x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$. Para calcular esse limite é obrigatório a fatoração do numerador e denominador dessa função.

A ideia desse post surgiu no momento em que ajudo meu irmão (cursa Economia) e sente dificuldades quanto a fatoração de equações polinomiais. É comum e aceitável, pois o mesmo não estuda tais conteúdos há muito tempo. Mas tenho a certeza que o professor na faculdade não achará nada aceitável.

Por isso só resta "correr atrás do prejuízo". Pelo menos é o que ouvia na época da faculdade: "se vire!".


Por que é tão complicado reverter esse processo?

Infelizmente a resposta é simples: acomodação.

O processo de aprendizagem sobre fatoração de equações polinomiais deve ser gradativo. Aprender tudo em algumas horas é uma tarefa complicada para aqueles que estão enferrujados na Matemática. Algumas pessoas simplesmente acham melhor continuar no certo em vez de trocar pelo duvidoso. Mesmo que o duvidoso seja um modo mais prático e rápido.

Quer mais um exemplo? Peça para um estudante do 9º ano do Ensino Fundamental II ou para um calouro de algum curso de exatas, calcular a solução real da equação $-3x^{2}+2x+1=0$ por meio da fatoração.

Imagino que muitos tentarão logo de cara usar $x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$.

Aprenda a fatorar equações e esqueça de Bhaskara!

Escrevi um artigo bem detalhado que leva o título da frase acima. Esse processo deveria ser gradativo, mas com muito esforço é possível conseguir. Se você não se sente confortável em estudar com apenas texto, recomendo os ótimos vídeos sobre fatoração do professor Ferreto.

Ler artigo agora Assistir vídeos
Bons estudos!


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Estava dando aula de Matemática para o meu irmão que cursa Economia e para explicar melhor o comportamento de gráficos de algumas funções reais de uma variável dava um certo trabalho para ele desenhar e interpretar cada função e suas condicionais, sem falar da quantidade de papel que era desperdiçado.

Para ajudá-lo com uma lista de exercícios lembrei do comando SE do GeoGebra muito útil para analisar o comportamento dessas funções sem precisar gastar muito papel, tudo apenas com alguns cliques.

Infelizmente a placa de áudio do meu notebook não colaborou para gravar um vídeo com a minha narração passo a passo. No entanto, o processo é simples e creio que não será complexo utilizar o GeoGebra para esse fim.

Por exemplo, como esboçar o gráfico de $\left\{\begin{matrix}
x^2-4x+3 & se & x\geq 1\\
x-1 & se & x<1
\end{matrix}\right.$.

Construir gráficos de funções definidas em reais usando o comando SE do GeoGebra [vídeo]

Segue o vídeo

Repito mais uma vez que o vídeo não tem a minha narração. O gravei apenas para não encher um post de imagens passo a passo.

Assistir agora - 02:40

Baixe o roteiro e mais exemplos

Não precisava, mas deixo aqui o roteiro para download.

Baixar roteiro (PDF) - 46,6 KB

Exemplos:
  • Se(x ≥ 1, -2x + 3, Se(-1 < x < 1, 1, Se(x ≤ -1, 2 + x)))
  • Se(x ≥ 0, x + 1, Se(x < 0, -x))
  • Se(x ≥ 1, x² - 4x + 3, Se(x < 1, x - 1))
  • Se(x ≥ 0, x² - 4x + 3, Se(x < 0, x² + 4x + 3))


Aviso sobre os intervalos

Como você pode perceber, os gráficos de algumas funções não são construídas analisando seus intervalos (aberto e fechado). Lembra? Bolinha pintada: fechado. Bolinha branca: aberto.

O Geogebra ainda não tem esse recurso, pelo menos até onde sei. De qualquer forma você pode adicionar um ponto para o intervalo fechado e um ponto apenas com contorno quando aberto. Utilize o recurso Estilo de ponto.

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Criei mais um ótimo applet com o GeoGebra para auxiliar nas aulas sobre o funções polinomiais de 1º grau.

O applet é ideal para professores, mas também pode ser utilizado por estudantes, como uma ótima ferramenta para estudar em casa e se aprofundar mais um pouco no estudo do comportamento do gráfico desta função ou simplesmente gerar gráficos de equações polinomiais de primeiro grau.

A maioria dos applets ou widgets que criei e publiquei aqui no blog, tem sua ideia baseada em minhas próprias experiências em sala de aula, quando a dificuldade aumenta tanto para explicar um conteúdo ou fazer com que a turma entenda melhor.

Apoie o blog

Applet para o estudo da função polinomial de primeiro grau com o GeoGebra

Giz ou lápis atômico, quadro e régua, nem sempre são suficientes para explicar com maiores detalhes como se comporta o gráfico de uma função polinomial de 1º grau (ou função afim).

Applet para o estudo da função polinomial de primeiro grau com o GeoGebra

Ver gif animado

O applet criado o GeoGebra tem a vantagem de poder manipular e animar todas as variantes pertencentes a um objeto matemático específico, e, assim, facilitar o entendimento sem precisar fazer diversos esboços de gráficos em papel milimetrado.

Características do applet

Com o applet é possível fazer e desfazer alterações em coeficientes ($a$ e $b$), apenas arrastando dois botões (vermelho e o azul) e observar:
  • O comportamento dos zeros de $f(x)$ (ponto onde o gráfico intercepta o eixo $x$);
  • O coeficiente de $a$ (indica se $f(x)$ é Crescente ou Decrescente);
    • Ver mensagens no topo do applet, quando $a>0$ e $a<0$.
  • O coeficiente de $b$ (onde o gráfico intercepta o eixo $y$);
  • Quando $a>0$ de $f(x)$, é mostrado o sinal ($+$) à direita dos zeros da função (à esquerda ($-$));
  • Quando $a<0$ de $f(x)$, é mostrado o sinal ($-$) à direita dos zeros da função (à esquerda ($+$));
  • Quando $a=0$ não mostra nenhuma mensagem e o gráfico é de uma função constante;
  • Veja o comportamento da reta (gráfico da função afim). Seus valores são alterados fixamente na medida que movemos os botões $a$ e $b$ (coeficientes da função).

Download do Applet

Faça download gratuitamente deste applet ou o utilize online sem precisar baixar o applet ou o GeoGebra, acessando meu perfil no GeoGebra Tube ou clique no botão abaixo.

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Esta é a última postagem da sequência de artigos sobre o Estudo de funções matemáticas usando o Excel. Agradeço a todos pelas visitas em cada post e pelos downloads das planilhas. Espero realmente ter ajudado com esses tutoriais, incentivando o uso da tecnologia nas aulas de Matemática fazendo com que esse recurso seja aplicado da melhor maneira possível, objetivando apenas um alvo: o Ensino-Aprendizagem.

Estudo de funções matemáticas usando o Excel [Função Quadrática]

Vale a pena conferir as postagens anteriores, mesmo que cada uma delas não seja dependente da outra.

Nos posts anteriores foram abordados os seguintes tipos de funções: Inversa, Irracional, Modular, Exponencial, Logarítmica e Quadrática.

Adaptei todos os posta para não depender, em termo de links, um do outro, ou seja, as instruções básicas estão em qualquer post. Todos são bem detalhados.

Vamos ao 6º post.

Função quadrática

Contrariando os posts anteriores, vai aqui uma "colher de chá", já que se trata do último artigo dessa série, não custa muito dar um ajudinha.

Definição matemática de uma Função Quadrática

Uma função quadrática ou do 2º grau é aquela cujo o gráfico é uma parábola. Essa função é representada por f(x)= ax² + bx + c, sendo a, bc e x números reais, mas a não pode ser zero. Por que? Ora, se a=0 a função deixa de ser do 2º grau e se torna do 1º grau.

Alguns exemplos de função quadrática:

f(x) = x²- 2x + 1              f(x) = x²              f(x)=x²-4x

Deste tipo de função pode-se extrair algumas variantes importantes para o esboçamento e a interpretação do gráfico - a parábola.

Para se construir o gráfico de uma função quadrática manualmente seguimos os seguintes passos:

Por Bhaskara:
  • Visualizar quem são os coeficientes da função e suas características.
    • Sob quaisquer condições a parábola intercepta o eixo y no ponto de ordenada “c”.
  • Calcular o valor do descriminante, conhecido como delta. (Δ=b²-4.a.c)
    • Δ=0, implica que a função terá duas raízes reais e iguais.
    • Δ>0, implica que a função terá duas raízes reais e distintas.
    • Δ<0, implica que a função não terá valor real.
  • Calcular os vértice de x e y. (valor mínimo e máximo da função)



  • Calcular as raízes ou zeros da função.




  • Se preferir, estudar o sinal da função, quando: 
    • f(x)=0
    • f(x)>0
    • f(x)<0
  • Apontar o domínio e a imagem da função. (Df(x) e Imf(x))
  • Construir o gráfico no plano cartesiano.
    • Concavidade da parábola, indicado pelo coeficiente a da função.
      • a>0 implica a concavidade voltada para cima.
      • a<0 implica a concavidade voltada para baixo.

Bom, foi apenas um resumo. Relembro que é importante dominar os conceitos e definições de conjuntos numéricos e suas relações, funções matemáticas, etc., para se sair bem nesse conteúdo.

Agora vamos voltar ao foco desse post.

Vamos usar a seguinte função para exemplificar a construção do gráfico usando o Excel.

  • Função definida de R em R (reais em reais)

Construindo a tabela 


1º) Abra uma planilha vazia no Excel. (Estou usando a versão 2010).

2º) Construa uma tabela, com 5 colunas e 16 linhas.

3º) Nomeie as colunas como: x | x² | 4x (-1) | c | f(x)=x²-4x+3 nessa ordem. (4x (-1) indica -4x, no Excel 2010 não é possível inserir -4x nesse formato, mas isso é apenas simbologia, não influenciará nos cálculos)

A coluna x servirá para auxiliar a construção do cálculo da coluna .

Inserindo fórmula/comando

Siga assim:

4º) Preencha a coluna x, com valores de -5 a +9, de A3 a A17. (ao seu critério)

5º) Na primeira célula (B3) da coluna , insira a fórmula =POTÊNCIA(A3;2). Onde 2 é o expoente e A3 é a base, nesse caso os valores da coluna x.

6º) Na primeira célula (C3) da coluna 4x (-1) insira a fórmula =MULT(-4;A3). Esse comando calcula os valores da coluna x multiplicados por -4.

7º) A partir da primeira célula (D3) da coluna c insira a constante 3 em todas as células.

8º) Na primeira célula da coluna f(x)=x²-4x+3 insira a fórmula =SOMA(B3;C3;D3;). Esse é o comando que calcula o resultado de f(x) de acordo com os valores atribuídos a coluna x.


Automatizando a tabela


9º) Para evitar de ficar digitando todas as entradas de fórmulas nas colunas x², 4x(-1), c e f(x)=x²-4x+3, passe o cursor do mouse no canto inferior direito nas primeiras células de cada coluna citada acima, clique, segure e arraste para baixo até a última célula

Coluna x²
Da célula B3 até B17.

Coluna 4x(-1)
Da C3 até C17.

Coluna c
Da D3 até D17.

Coluna f(x)=x²-4x+3
Da E3 até E17.


As células podem mudar de acordo com a que você escolheu.

Dessa maneira copiará todas as células automaticamente na coluna. Caso use o Office 2007 ou 2010 (não sei se mostra em versões anteriores), perceberá um cruz de cor preta quando passar o cursor do mouse como especificado no 9º) passo. Quanto ao número de casas decimais fica ao seu critério.



Construindo o gráfico


1º) Selecione a coluna  e depois, segurando a tecla Ctrl,  selecione a coluna f(x)= x²-4x+3.

2º) Clique no menu Inserir no Excel. Em seguida clique na seta do botão de gráficos e escolha o tipo de gráfico como sendo: Dispersão XY com linhas retas e marcadores.

Gráfico gerado. Veja na imagem como está a planilha:

Estudo de funções matemáticas usando o Excel [Função Quadrática]
Clique na imagem para ampliar


Encerro por aqui. Caso tenha gostado e queira essa planilha, basta deixar um comentário pedindo a ela.

Estou escrevendo outros posts dando dicas com o Excel em: Calculando determinantes de matrizes usando o Excel [matriz quadrada].

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Agora sim chegamos ao penúltimo post da série Estudo de funções matemáticas usando o Excel. Tinha me equivocado no post anterior, quando publicava o link no Twitter. Creio, que, quem acompanha desde o primeiro post, já consegue "desenrolar" os outros sem nenhuma ajuda.

Estudo de funções matemáticas usando o Excel [Função logarítmica]

Este é o quinto artigo onde mostro como aplicar os recursos desse software poderoso às aulas de Matemática ou simplesmente para estudos particulares.

As instruções básicas podem ser vistas no primeiro post dessa série visitando o link acima.

FUNÇÃO LOGARÍTMICA


Domina bem esse conteúdo? Espero que sim, pois estes posts dedicam apenas a explorar um recurso tecnológico para implementar as aulas de Matemática e também ajudar o estudante a esclarecer dúvidas quanto a construção de gráficos, assim como o seu comportamento. Então relembro que é importante dominar os conceitos e definições de conjuntos numéricos e suas relações, funções matemáticas, etc.

Vamos usar a seguinte função para exemplificar a construção do gráfico.

  • Domínio: D = R* (Qualquer valor real menos o zero).

Igualmente a função exponencial, a função logarítmica é muito fácil de construir, pois já conta uma função própria no Excel.

CONSTRUINDO A TABELA


1º) Abra uma planilha vazia no Excel. (Estou usando a versão 2010).

2º) Construa uma tabela, com 2 colunas.

3º) Nomeie as colunas como: Valores de x | f(x) = log2 x nessa ordem. (log2 x lê-se: logarítimo de 2 na base x)


INSERINDO FÓRMULA/COMANDO

Siga assim:

4º) Preencha a coluna Valores de x, com valores de 1 a 10. (ao seu critério)

5º) Na primeira célula (B3) da coluna f(x) = log2 x, insira a fórmula =LOG(A3;2). Onde 2 á base e A3 é número atribuído à função. Na função exponencial seria: =POTÊNCIA=(2;A3). Onde 2 é a base e A3 o expoente. Pois, como sabemos, a função logarítmica é a inversa da exponencial.

Para evitar de ficar digitando todas as entradas de fórmulas na coluna f(x) = log2 x, passe o cursor do mouse no canto inferior direito da célula B3, clique, segure e arraste para baixo até a última célula, no caso, até B13.

As células podem mudar de acordo com a que você escolheu.

Dessa maneira copiará todas as células automaticamente na coluna. Caso use o Office 2007 ou 2010 (não sei se mostra em versões anteriores), perceberá um cruz de cor preta quando passar o cursor do mouse como especificado no 5º) passo. Quanto ao número de casas decimais fica ao seu critério.



CONSTRUINDO O GRÁFICO


1º) Selecione as colunas Valores de x e depois f(x)= log2 x.

2º) Clique no menu Inserir no Excel. Em seguida clique na seta do botão de gráficos e escolha o tipo de gráfico como sendo: Dispersão XY com linhas retas e marcadores. Gráfico gerado.

Veja a imagem:
Estudo de funções matemáticas usando o Excel [Função logarítmica]
Gráfico da função logarítmica


Estudo de funções matemáticas usando o Excel [Função logarítmica]
Gráfico da função exponencial

Tente construir outros gráficos mudando a base ou o logaritmando.

Próximo post: Um exemplo com uma Função Quadrática.

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A série Estudo de funções matemáticas usando o Excel chega agora ao 4º post. Nos três artigos anteriores tratei sobre:
Estudo de funções matemáticas usando o Excel [Função Exponencial]

As instruções básicas podem ser vistas no primeiro 1º post dessa série visitando o link acima.

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Desculpa me tornar um pouco repetitivo, mas relembro que esses posts tem o objetivo de explorar um recurso tecnológico para implementar as aulas de Matemática e também ajudar o aluno a explorar dúvidas quanto ao esboçamento de gráficos. É importante dominar os conceitos e definições de conjuntos numéricos e suas relações, funções matemáticas, etc.

Vamos usar a seguinte função para exemplificar a construção do gráfico.

  • Domínio: D = R (Qualquer valor real).

De todas as funções, essa é a mais fácil de construir.

CONSTRUINDO A TABELA


1º) Abra uma planilha vazia no Excel. (Estou usando a versão 2010).

2º) Construa uma tabela, com 2 colunas.

3º) Nomeie as colunas como: Valores de x | f(x) = 2^x nessa ordem. (2^x lê-se: 2 elevado a x)


INSERINDO FÓRMULA/COMANDO

Siga assim:

4º) Preencha a coluna Valores de x, com valores de -5 a +5.

5º) Na primeira célula (B3) da coluna f(x) = 2^x, insira a fórmula =POTÊNCIA(2;A3). Para evitar de ficar digitando todas as entradas de fórmulas na coluna f(x) = 2^x, passe o cursor do mouse no canto inferior direito da célula B3, clique, segure e arraste para baixo até a última célula, no caso, até B13.

As células podem mudar de acordo com a que você escolheu. Isso é arbitrário.

Dessa maneira copiará todas as células automaticamente na coluna. Caso use o Office 2007 ou 2010 (não sei se mostra em versões anteriores), perceberá um cruz de cor preta quando passar o cursor do mouse como especificado no 5º) passo. Quanto ao número de casas decimais fica ao seu critério.


CONSTRUINDO O GRÁFICO


1º) Pressionando a tecla Ctrl, selecione as colunas Valores de x e depois f(x)= 2^x. Solte Ctrl após copiar as células.

2º) Clique no menu Inserir no Excel. Em seguida clique na seta do botão de gráficos e escolha o tipo de gráfico como sendo: Dispersão XY com linhas retas e marcadores. Gráfico gerado.

Veja a imagem:

Estudo de funções matemáticas usando o Excel [Função Exponencial]
Clique na imagem para ampliar

Tente construir outros gráficos mudando a base ou a variável no expoente. Use a imaginação. 

Próximo post: Um exemplo com uma Função Logarítmica.

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Este é o terceiro post sobre o Estudo de funções matemáticas usando o Excel, onde nos dois primeiros  posts tratei sobre:
Estudo de funções matemáticas usando o Excel [Função Modular]

As instruções básicas podem ser vistas no primeiro 1º post dessa série visitando o link acima.

FUNÇÃO MODULAR

Relembro que o post se restringe a explorar um recurso tecnológico para implementar as aulas de Matemática e também ajudar o aluno a explorar dúvidas quanto ao esboçamento de gráficos. É importante dominar os conceitos e definições de conjuntos numéricos e suas relações, funções matemáticas, etc.

Vamos usar a seguinte função para exemplificar a construção do gráfico.

  • Domínio: D = R (Qualquer valor real).

CONSTRUINDO A TABELA


1º) Abra uma planilha vazia no Excel. (Estou usando a versão 2010).

2º) Construa uma tabela, com 4 colunas.

3º) Nomeie as colunas como: Valores de x | Constante | f(x) = x+1 | Condicional, nessa ordem.


INSERINDO FÓRMULAS

Siga assim:

4º) Na célula C3 na coluna f(x) = x+1, insira a fórmula =(A1+B3), onde B3 é a primeira célula na coluna Constante (complete todas as células com 1). Para evitar de ficar digitando todas as entradas de fórmulas na coluna f(x) = x+1, passe o cursor do mouse no canto inferior direito da célula C3, clique, segure e arraste para baixo até a última célula, no caso, até C9.

Dessa maneira copiará todas as células automaticamente na coluna. Caso use o Office 2007 ou 2010 (não sei se mostra em versões anteriores), perceberá um cruz de cor preta quando passar o cursor do mouse como especificado no 4º) passo. Quanto ao número de casas decimais fica ao seu critério.

INSERINDO A CONDICIONAL PARA A FUNÇÃO MÓDULO


Como se trata de uma função modular, o Excel (pelo que sei) não tem uma função definida para esse cálculo. E além do mais por se tratar de uma função com restrições específicas por definição, é necessário criar uma coluna auxiliar para essas restrições (Condicional p/ o módulo de x+1).

5º) Na célula D3 na coluna  Condicional, insira a seguinte condicional: =SE(C3<0;C3*-1;C3), aperte ENTER e siga as mesmas instruções presentes no passo 4º), para copiar a condicional nas outras células, nesse caso, até a célula D9.

Assim, a condicional serve para quando o valor de f(x) for (-1), isto é, f(x) < 0 (negativo). Então a condicional multiplica  f(x) por (-1), tornando o valor negativo em positivo.

=SE(C3<0;C3*-1;C3)

  • Se a célula C3, em vermelho, for menor que zero, a condicional em azul é realizada. Ou seja, é multiplicada por (-1).
  • Senão C3, em verde, é repetida.

CONSTRUINDO O GRÁFICO


1º) Pressionando a tecla Ctrl, selecione as colunas Valores de x e depois Condicional. Solte Ctrl após copiar as células.

2º) Clique no menu Inserir no Excel. Em seguida clique na seta do botão de gráficos e escolha o tipo de gráfico como sendo: Dispersão XY com linhas retas e marcadores. Gráfico gerado.

Veja a imagem:

Função Modular

Tente construir outros gráficos com funções modulares. Teste para a função f(x)=|x|, notará que as retas esboçadas no gráfico serão as bissetrizes do 1º e 2º quadrante.

Próximo post: Um exemplo com uma Função Exponencial.

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Este é o segundo post sobre o Estudo de funções matemáticas usando o Excel, onde no primeiro post tratei sobre a Função Inversa. Dessa vez vamos explorar o uso desse software, no estudo de funções matemáticas através de um exemplo com Função Irracional. As instruções básicas podem ser vistas no primeiro post dessa série visitando o link acima.

Estudo de funções matemáticas usando o Excel [Função Irracional]

FUNÇÃO IRRACIONAL


Não custa relembrar, que, para melhor compreensão, é importante dominar os conceitos de Conjuntos Numéricos e suas relações, tipos de funções, etc. O post se restringe a explorar um recurso tecnológico para implementar as aulas de Matemática e também ajudar o aluno a explorar dúvidas quanto ao esboçamento de gráficos.

Vamos usar a seguinte função para exemplificar a construção do gráfico.

  • Domínio: D = R &gt; 0 (Reais maiores que o zero).
  • Gráfico: Parábola.

Siga os seguintes passos:

1º) Abra uma planilha vazia no Excel. (Estou usando a versão 2010).

2º) Construa uma tabela, com três colunas.

3º) Nomeie as colunas como mostra a imagem.

4º) Insira os valores para a coluna "CONSTANTE" e a coluna "X".

5º) Na primeira célula da coluna, que contém  função, insira a seguinte fórmula: =RAIZ(A3+B3) (Essa fórmula calcula a raiz quadrada de x+1, de acordo com cada entrada nas células)

6º) Para evitar de ficar digitando todas as entradas de fórmulas em cada célula (na coluna que contém a função), passe o cursor do mouse no canto inferior direito da primeira célula com a fórmula, clique, segure e arraste para baixo até a última célula. 

Dessa maneira copiará todas as células automaticamente na coluna. Caso use o Office 2007 ou 2010 (não sei se mostra em versões anteriores), perceberá um cruz de cor preta quando passar o cursor do mouse como especificado no 6º) passo. Quanto o número de casas decimais fica ao seu critério.

Estudo de funções matemáticas usando o Excel [Função Irracional]
Clique na imagem para ampliar

O gráfico acima trata-se realmente de uma parábola? Sim, claro. Observe a curva no gráfico que é típica de uma parábola. A diferença é que ela está no eixo horizontal e está "cortada" simetricamente devido ao comportamento da função irracional.

Tente construir outros gráficos com funções irracionais, não precisa de muita habilidade com o Excel.

Próximo post: Um exemplo com uma Função Modular.

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Este post é destinado a professores e alunos e visa demonstrar a utilidade do Excel, no estudo de funções matemáticas estudadas no Ensino Fundamental II, Médio e porque não, Superior. É óbvio que necessitará ter o Office 2007 ou superior instalado na sua máquina para construir seus gráficos. Não é preciso ser um "fera" em Excel para começar os seus trabalhos.

Estudo de funções matemáticas usando o Excel [Função Inversa]

Mostrarei com o uso desse software, a construção de tabelas de valores e geração de seus gráficos. Com essas dicas é possível entender melhor o comportamento de uma determinada função e seu gráfico. Demonstrarei os tipos de funções como: Função Inversa, Função Irracional, Função Modular, Função Exponencial, Função Logarítmica, Função do 2º Grau, seus respectivos domínios e exemplos de gráficos.

O tipo de gráfico usado, é o de dispersão XY com linhas retas e marcadores.

Esse é o primeiro post, trabalhando com a Função Inversa. É necessário algumas dicas, mesmo sendo bem intuitivas, mostrando um passo a passo na construção para cada tipo de função, evitando assim um longo artigo.

FUNÇÃO INVERSA


Vale lembrar que, para melhor compreensão, é importante dominar os conceitos de Conjuntos Numéricos e suas relações, tipos de funções, etc. O post se restringe a explorar um recurso tecnológico para implementar as aulas de Matemática e também ajudar o aluno a explorar dúvidas quanto ao esboçamento de gráficos.

Vamos usar a seguinte função para exemplificar a construção do gráfico.

  • Domínio: D = R - {0} (Todos os valores reais menos o zero).
  • Gráfico: Hipérbole.

Siga os seguintes passos:

1º) Abra uma planilha vazia no Excel. (Estou usando a versão 2010).

2º) Construa uma tabela, com três colunas.

3º) Nomeie as colunas como mostra a imagem.

4º) Insira os valores para a coluna "CONSTANTE" e a coluna "X".

5º) Na primeira célula da coluna "y=1/x", insira a seguinte fórmula: =(A3/B3) (Essa fórmula calcula a divisão de 1 por x, de acordo com cada entrada nas células)

6º) Para evitar de ficar digitando todas as entradas de fórmulas em cada célula (na coluna "y=f(x)"), passe o cursor do mouse no canto inferior direito da primeira célula com a fórmula, clique, segure e arraste para baixo até a última célula. 

Dessa maneira copiará todas as células automaticamente na coluna. Caso use o Office 2007 ou 2010 (não sei se mostra em versões anteriores), perceberá um cruz de cor preta quando passar o cursor do mouse como especificado no 6º) passo.

Estudo de funções matemáticas usando o Excel [Função Inversa]
GRÁFICO ERRADO - AMPLIE A IMAGEM
Observe que o gráfico acima está esboçado de forma errada. A solução que encontrei foi deixar uma linha vazia entre os números 1 e -1. 

Estudo de funções matemáticas usando o Excel [Função Inversa]
GRÁFICO CORRETO - AMPLIE A IMAGEM
Uma particularidade da função inversa é que seus gráficos são sempre simétricos. É notável no gráfico acima. Torna-se fácil manipular algumas funções matemáticas e inseri-las em células, para observar a comportamento desses gráficos.

Se você já tem um mínimo de habilidade com o Excel, ficará fácil desenvolver outras tabelas.

Próximo post: Um exemplo com uma Função Irracional.

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