Duas situações da vida real onde podemos aplicar a fórmula de Bhaskara (equação do 2º grau) para encontrar uma solução relevante.
A pergunta feita neste blog por alguém, assim como eu, que não teve a oportunidade de ver em momento algum, em sala de aula, uma só aplicação da fórmula de Bhaskara num problema da vida real, irei responder esta pergunta fazendo uso de dois flagrantes da vida real.

Fórmula de Bhaskara aplicada em um problema da vida real

Flagrante da vida real I

Francisco, filho de um proprietário de uma frota de ônibus, frequentava a escola do Ensino Fundamental. Certo dia, numa aula sobre equação do 2º grau, o professor Sebá ensinou como achar o vértice da parábola. No fim da aula, o professor Sebá passou vários exercícios para casa. 

Francisco ao chegar em casa, sua mãe pergunta:
    
— Francisco, qual o dever de casa? Francisco responde:

— Achar as raízes da equação do 2º grau e o vértice da parábola. 

Marcelo, o pai de Francisco, ao ouvir falar em achar as raízes da equação do 2º grau e o vértice da parábola, diz:

— Na época em que estudei o 1º grau, nunca tive o menor interesse em achar as raízes da equação do 2º grau ou o vértice da parábola! 

—  Por que papai?

— Porque nunca tive a oportunidade de ver, em sala aula, uma só aplicação da equação do 2º grau num problema da vida real.  

— No final da aula, papai, o professor Sebá pediu aos alunos que não faltassem a próxima aula porque ia mostrar algumas aplicações da equação do 2º grau em problemas da vida real.

— Meu filho, pergunte ao professor Sebá se, por meio da equação do 2º grau, será possível eu conseguir obter a maior receita possível na  minha frota de ônibus?

—   E quais as informações, sobre sua frota de ônibus, que deverei fornecer ao professor Sebá?

Flagrante da vida real I
— Anote aí: tenho uma frota de ônibus, e alugo cada ônibus para 40 ou mais passageiros. Se o número de passageiros for exatamente 40, cada um pagará $R\$ 350,00$. Haverá um abatimento de $R\$ 5,00$ para cada passageiro que exceder os $40$. Como a capacidade de cada ônibus é de $60$ passageiros, qual deverá ser o número de passageiros em cada ônibus, a fim de que eu obtenha a maior receita possível, ou seja, a receita máxima? Qual o valor da receita máxima?

Na aula seguinte, Francisco apresenta o problema ao professor Sebá. Ao lê-lo, o professor Sebá diz para a turma:

— Bem, pessoal, eu ia formular para vocês, um problema hipotético para ser resolvido por meio da equação do 2º grau, mas Francisco me apresentou um problema que seu pai formulou, relacionado com sua frota de ônibus. Vou ler o problema para vocês. Após lê-lo, o professor Sebá vai ao quadro-negro e escreve: 

Resolução:

Seja $R =$ Receita. Logo, $R=$ Número de passageiros vezes pagamento por passageiro. Se o número de passageiros passar de $40$ para $41$, então:

Pagamento por passageiro $= 350 – 5(41 – 40) = 350 – 5(1)$. 

Se o número de passageiros passar de $40$ para $42$, então: 

Pagamento por passageiro $= 350 – 5(42 – 40) = 350 – 5(2)$. E assim por diante. 

Se o número de passageiros for $x$, então:

Pagamento por passageiro $= 350 – 5(x – 40) = 350 – 5x + 200 = 550 – 5x$. Como $x$ corresponde ao número de passageiros, e a receita é igual ao número de passageiros vezes pagamento por passageiro, logo:

$R = x(550 – 5x)$ ou $R(x) = – 5x^{2} + 550x$

Vamos achar o valor de $x$ que dá o máximo à $R(x) = – 5x^{2} + 550x$ de duas maneiras: 

a) Por meio da fórmula de Bhaskara.
b) Por meio do vértice da parábola.

a) Vamos tirar, de $R(x) = – 5x^{2} + 550x$, os dados necessários para usar na fórmula de Bhaskara: 

Dados: $a = – 5$; $b = 550$ e $c = 0$.

Substituindo os dados na fórmula de Bhaskara, obtém-se:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x=\cfrac{-550 \pm \sqrt{550^{2}-4(-5)(0)}}{2(-5)}$

$x_{1}=0$ e $x_{2}=110$

Como o valor máximo (VM) de $R(x)$ é dado pela média entre as duas raízes, logo:

$VM=\cfrac{x_{1}+x_{2}}{2}$

$VM=\cfrac{0+110}{2}$

$VM=55$

Portanto, $x = 55$ dá o maior valor à $R(x) = – 5x^{2} + 550x$. 

b) Já que a equação da receita é do 2º grau, logo, seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente de $x^{2}$ é negativo, então, a receita atinge o máximo no vértice da parábola. Como o vértice da parábola é dado por:

$V\left ( \cfrac{-b}{2a},\cfrac{-(b^{2}-4ac)}{4a} \right )$

$X_{v}=\cfrac{-b}{2a}$

$Y_{v}=\cfrac{-(b^{2}-4ac)}{4a}$

Onde:
$V =$ Vértice da parábola
$X_{v} =X$ do vértice
$Y_{v} = Y$ do vértice
$\Delta = b^{2} – 4ac$

Como $a = – 5$ e $b = 550$, logo:

$X_{v}=\cfrac{-550}{2(-5)}$

$X_{v}=55$

Portanto: $x = 55$.

O professor Sebá volta-se para Francisco, e diz:

— Como $x$ corresponde ao número de passageiros, logo, para seu pai obter a maior receita possível, ele deve alugar cada ônibus para grupo de $55$ passageiros. Se seu pai alugar ônibus para grupo com menos de $55$ passageiros ou mais, a receita será menor.

Após a aula Francisco retorna a sua casa, e ao encontrar o pai, diz:

— Papai, o professor Sebá resolveu o seu problema!

— Mostre-me!

Marcelo ao ver a solução do problema, diz ao filho:

Nós empresários, meu filho, podemos estar certos de que, toda a matemática do 1º grau que aprendemos nas escolas “chatas” da vida, tem um valor incalculável para os problemas que nos defrontamos no dia a dia. 

São resultados que os seres humanos levaram centenas, milhares de anos para descobrir. No entanto, o empresário simplesmente não sabe, e muitos nem desconfiam, do quanto a Matemática pode ser-lhes útil. Se o empresário diplomado (ou não) tivesse noção do quanto desperdiça realizando um projeto sem aplicar Matemática, seu comportamento seria outro: procuraria um profissional competente em assuntos matemáticos.

— Por que um profissional competente em assuntos matemáticos?

— Porque, meu filho, a arte de aplicar a Matemática à vida, não é ensinada nas escolas “chatas” da vida, pela razão óbvia de os professores (a maioria) desconhecerem por completo, que a Matemática do Ensino Fundamental pode ser muito útil para qualquer atividade empresarial.

Flagrante da vida real II

O filho de outro proprietário de uma frota de ônibus apresentou o seguinte problema ao professor Sebá: papai é proprietário de uma frota de ônibus e ele aluga ônibus para grupos de $35$ ou mais pessoas. Caso o grupo contenha exatamente $35$ pessoas, cada uma pagará $R\$ 60,00$. Para grupos maiores, ele reduz $R\$ 1,00$ de cada passageiro que exceder os $35$. 

Se a capacidade de cada ônibus for de $50$ passageiros, qual deverá ser o tamanho do grupo, a fim de que papai obtenha a maior receita por ônibus alugado, ou seja, a receita máxima? Qual o valor da receita máxima?

O professor Sebá vai ao quadro-negro e escreve: 

Resolução:

Designando a receita por $R$, obtém-se:

$R =$ número de pessoas do grupo vezes pagamento por pessoa          ${\color{Red} (1)}$ 

Seja $x$ o número de pessoas que excede $35$. Logo, teremos:

Número de pessoas do grupo $= 35 + x$             ${\color{Red} (2)}$

Pagamento por pessoa $= 60 – x$              ${\color{Red} (3)}$


Substituindo ${\color{Red} (2)}$ e ${\color{Red} (3)}$ na ${\color{Red} (1)}$, vem:

$R = (35 + x)(60 – x) = – x^{2} + 25x +2100$ ou $R(x) = – x^{2} + 25x +2100$ 

Vamos achar o valor de $x$ que dá o máximo à $R(x) = – x^{2} + 25x +2100$, de duas maneiras:

a) Por meio da fórmula de Bhaskara.

b) Por meio do vértice da parábola.


a) Vamos tirar, de $R(x) = – x^{2} + 25x + 2100$, os dados necessários para usar na fórmula de Bhaskara:

Dados: $a = – 1$; $b = 25$ e $c = 2100$.

Substituindo os dados na fórmula de Bhaskara, obtém-se:


$x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x=\cfrac{-25 \pm \sqrt{25^{2}-4(-1)(2100)}}{2(-1)}$

$x_{1}=-35$ e $x_{2}=60$


Como o valor máximo $(VM)$ de $R(x)$ é dado pela média entre as duas raízes, logo:


$VM=\cfrac{x_{1}+x_{2}}{2}$

$VM=\cfrac{-35+60}{2}$

$VM=12,5$


Portanto, $x = 12,5$ dá o maior valor à $R(x) = – x^{2} + 25x +2100$.

b) Já que a equação da receita é do 2º grau, logo, seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente de x^{2} é negativo, então, a receita atinge o máximo no vértice da parábola. Como o vértice da parábola é dado por:

$V\left ( \cfrac{-b}{2a},\cfrac{-(b^{2}-4ac)}{4a} \right )$

$X_{v}=\cfrac{-b}{2a}$

$Y_{v}=\cfrac{-(b^{2}-4ac)}{4a}$

Onde:
$V =$ Vértice da parábola
$X_{v} =X$ do vértice
$Y_{v} = Y$ do vértice
$\Delta = b^{2} – 4ac$

Como $a = – 1$ e $b = 25$, logo:

$X_{v}=\cfrac{-25}{2(-1)}$

$X_{v}=12,5$


Portanto, $x = 12,5$.

Ora, como $x$ é um número que representa pessoa, logo, $x$ deverá ser um número inteiro. Os dois números inteiros que dão o maior valor à $R(x)$, são os que estão antes e depois de $12,5$. 

Logo, $x = 12$ ou $x = 13$. Se não, vejamos: 

$R(12) = – (12)2 + 25(12) + 2100 = R\$ 2.256,00$ 
$R(13) = – (13)2 + 25(13) + 2100 = R\$ 2.256,00$
Resposta:

A fim de que seu pai obtenha a máxima receita, o grupo deverá conter $12$ ou $13$ pessoas além das $35$, ou seja, grupo de $47 = 35 + 12$ ou $48 = 35 + 13$. 

Resolução alternativa

Seja $x$ o número de pessoas do grupo:

Pagamento por pessoa $= 60 – (x – 35)$.

Já que $R =$ número de pessoas do grupo vezes pagamento por pessoa, logo, obtém-se:

$R = x [60 – (x – 35)] = – x^{2} + 95x$                ${\color{Red} (1)}$

Da ${\color{Red} (1)}$, temos: $a = – 1$ e $b = 95$. Logo:

$X_{v}=\cfrac{-95}{2(-1)}$

$X_{v}=47,5$

Portanto, $x = 47,5$. 

Já que $x$ é o número que representa pessoa, logo, $x$ deverá ser um número inteiro. Os dois números inteiros que dão o maior valor à ${\color{Red} (1)}$, são os que estão antes e depois de $47,5$. Logo, $x = 47$ ou $x = 48$. Se não, vejamos: 

$R(47) = – (47)2 + 95(47) = R\$ 2.256,00$ 
$R(48) = – (48)2 + 95(48) = R\$ 2.256,00$
Resposta.

A fim de que seu pai obtenha a máxima receita, o grupo deverá conter $47$ ou $48$ pessoas. A receita máxima será $R\$ 2.256,00$.


Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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41 comentários:

  1. Legal! Obrigado por essa postagem

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    1. Olá, Stanislav!

      Que bom que gostou da postagem. Obrigado por vir aqui.

      Um abraço!

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    2. Excelente abordagem. Meus parabéns.

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  2. Respostas
    1. Olá, Fabrício!

      Todos os créditos ao professor Sebá.

      Um abraço!

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  3. Queria entender de onde veio o valor 200 no primeiro exemplo. Pagamento por passageiro = 350 – 5(x – 40) = 350 – 5x + 200 = 550 – 5x.

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    1. Enviei a dúvida para o autor

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    2. Esse 200 veio da multiplicação de -5(x - 40) = 5x+200. Só multiplicar cada termo que está dentro do parêntese pelo -5. Resultando em 350 - 5x + 200 = 550 - 5x. ^^

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  4. Pagamento por passageiro = 350 – 5(x – 40) = 350 – 5x + 200 = 550 – 5x. Os 200 veio do produto:

    -5(x - 40) = - 5x + 5x40 = -5x + 200.

    Prof. Sebá

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  5. E se meu pai não tiver uma frota de ônibus?

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    1. Se seu pai não tiver uma frota de ônibus, ele deverá ter alguma atividade. Qual atividade de seu pai no dia a dia? Mande-me um e-mail (para se.ba@uol.com.br) relatando a atividade de seu pai no dia a dia, que eu tentarei formular um modelo matemático.

      Abraços

      Prof. Sebá

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  6. Nao achei interessante esse exemplo... ja que nao tem sentido um empresario encher o onibus e diminuir o lucro... ou sera que entendi errado?

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  7. Fui apresentado muito mal a matemática, pra mim é um incomodo imenso quando preciso resolver algo com ela...

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    1. Olá, Tiago!

      Você e mais da metade da população mundial. Infelizmente a Matemática que é abordada em sala de aula não é atrativa e acabamos por não absorver o que ela tem mais de bom.

      Um abraço!

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  8. Sou engenheiro de produção e vejo isso na prática. Pena que nem todos os cursos têm o privilégio de conhecer esta mágica!!

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    1. Olá, Paulo!

      É uma verdade. Se nos cursos superiores há essa ligação em a teoria e a prática, imagina então na escola, onde o desinteresse é maior.

      Obrigado por seu comentário.

      Abraço!

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  9. Anésio Mendes Encantado com o professor Sabá e estou aqui por quê um ex aluno meu e agora pastor afirma que mais um dia se passou e ele não usou essa equação para nada e resolvi buscar a resposta para ele que recentemente com muito esforço estava construindo uma capela para seus sermões e poderia ter usado essa equação se soubesse para que ela servia, ou talvez se tivesse prestado atenção a aula quando estudou equação do primeiro e segundo grau. Prof. Anésio.

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    1. E com certeza ele vai passar o resto da vida sem nunca precisar destas fórmulas imprestáveis.

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    2. Infelizmente pessoas com grau de ignorância sempre vão dizer que as formulas são imprestáveis. Pois bem a equação do 2 grau que gera a parábola que por sua vez rotacionada gera a parabólica . Então hoje todos os faróis de carro são parabólicos por sua vez ao sair a noite de carro ou onibus você usa a fórmula de baskara indiretamente pois se ninguém tivesse calculado não teria farol de carro e isso acontece com sinais de TV. Celular. Rádio. Que usaram uma parabólica para enviar o sinal que por sua vez usou eq do segundo grau. Agora da próxima vez que usar alguma dessas coisas lembre se que se não fosse as equações imprestaveis você estaria numa caverna ....

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    3. Quem torna o conhecimento útil somos nós. Um livro nas mãos de um macaco certamente é inútil, mas diante daqueles que são capazes de desvendar o poder do conhecimento, serão capazes de mudar o mundo.

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  10. Adoro matemática, achei muito bom o exemplo,porém,pra quem gosta de matemática, porque para quem não entende e não foi apresentado corretamente à matemática, sinceramente, ficou pouquíssimo didático, pouco interessante,tinha q ser algo q levasse a pessoa a ver mais claramente essa relacao da matemática com as atividades diárias...resumindo..ainda ficou muito chato pra quem não consegue entender bem a função da matemática na nossa vida...enfim..é só uma crítica construtiva, mas claro q se eu pudesse fazer melhor q vc,estaria fazendo...portanto,parabéns pela tentativa!!!

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    1. Olá, Barbara!

      Como percebeu o artigo não é de minha autoria. Creio que o objetivo da postagem não é ser didático e sim mostrar uma aplicação. O artigo é voltado para quem está estudando o conteúdo atualmente. Cabe ao professor fazer o aluno entender as teorias matemáticas em volte deste tema.

      Fique à vontade para enviar um artigo convidado para este blog, mostrando didaticamente e de forma interessante esta mesma aplicação matemática.

      Um abraço!

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    2. Discordo. A didática só não melhor para aquele que não tem o mínimo de base matemática. Aí realmente fica mais difícil entender.

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  11. Caro professor, gostaria que em relação ao exemplo 1 explicasse como a maior arrecadação é obtida com 55 passageiros ao invés de 60 passageiros ?

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    1. Faço a mesma pergunta!

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    2. É simples. Construa uma tabela com todas as possibilidades. 40 a 60 passageiros pagando o equivalente ao que diz o enunciado. Verágua que os valores aumentam até chegarem a um valor máximo e depois diminuem.
      A função que exprime este comportamento é a função quadrática que o texto cita.

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    3. Pelo fato de haveria um abatimento de 5$ para cada pessoa que excedesse os 40 passageiros, com os 55 passageiros ele teria o maior lucro possível, á partir das 55 pessoas a receita iria diminuir, mas como ele iria saber sem fazer os cálculos.

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  12. Aprendi a utilizar modelos matemáticos nos negócios na sala de aula, estudando Pesquisa Operacional. Acho útil e legal.

    Ainda assim, é muuuuito difícil crer que esses exemplos sejam reais, e sequer úteis. Ok, suponha que uma transportadora adote uma prática comercial estranha assim...

    Ainda assim, em que este modelo contribui com o empresário? Ele vai procurar atender mais grupos de 55 pessoas? Como ele fará isso na prática?

    Formular um modelo usando uma formula, que represente apenas uma política de preços nada ortodoxa é fácil, para impressionar as pessoas. Se você quiser eu pego aqui uma função logarítmica e crio uma forma de precificação maluca que pode ser modelada com ela, hehehe.

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  13. Muito bom mesmo parabéns ao autor do post, e ao professor Sebá, grande abraço.

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  14. Boa tarde!
    Primeiramente gostaria de parabenizar pelo artigo e, caso me permita, fazer um pedido. Poderia elaborar um exemplo desse com matriz?

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  15. Professor, o senhor pode, por favor, mostrar um macete simples de achar a raiz quadrada do descriminante sem usar calculadora?

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    1. Olá, Wilames!

      Não sou muito a favor de macetes. O que você pode estudar e aprender, é fazer por aproximação. Isso te exige um pouco de habilidade e rapidez nas contas.

      Abraço!

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  16. Tanto no exemplo 1 como no 2,fala em conceder o abatimento para cada pessoa que execeder o numero estabelecido ou seja ,no exemlpo 1 fala em 40 lugar." Haverá um abatimento de R$5,00 para cada passageiro que exceder os 40".Eu entendi que só receberia o abatimento quem exedece ou seja só recebe o desconto os 15 que excederam. Mas só consegui a chegar a um valor em relaçao aos 55 dando abatimento a todos ou seja os 55 passageiros ,nao sei se consegui expressar minha duvida ,nao sei se nao entendi o texto descrito ou foi mal formulado.
    Agradeço o espaço

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  17. Se cada passageiro paga de R$ 350,00 (40 pessoas) à R$ 250,00 (60 pessoas), num cálculo rápido vemos que 40p arrecadará R$ 14.000,00 e 60p será R$ 15.000,00.

    Não entendi como resultaram números diferentes destes.

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  18. Refiz os cálculos seguindo a lógica apresentada, havia errado em um determinado ponto. Com 55 passageiros o lucro é de R$ 15.150,00.

    Aplicação perfeita. (Aconselharia a colocar um demonstrativo dos resultados conforme apresentei, justamente para exemplificar em detalhes).

    Obrigado!

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  19. Olá, fiquei com uma dúvida. O lucro do pai, não seria 350x-5.(x-40). Que seria o equivalente a dizer que cada passageiro pagaria os 350 reais e cada um excedente ganharia os 5 reais de desconto. Por que assim, no exercício ele ganharia mais se tivesse 55 passageiros, porém com 55 passageiros a renda seria: 40.350 + 15.345= 19175. E caso fossem 60 passageiros a renda que deveria ser menor, seria: 40.350 + 20.345= 20900.

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