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A curva de Koch é uma curva geométrica e um dos primeiros fractais a serem descritos. Aparece pela primeira vez num artigo de 1906, de autoria do matemático sueco Helge von Koch.

Wallpaper matemático 15: Fractal Floco de Neve [Curva de Koch]

Fractal construído a partir de uma imagem vetorial. São 6 fractais um dentro do outro usando uma rotação de 90º para o encaixe interno. Imagem editada com o Inkscape no Linux Ubuntu 16.04 LTS.

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Os wallpapers estão nas seguintes resoluções HD 16:9: 1024x576 - 1280x720 - 1366x768 - 1600x900 - 1920x1080 - 2048x1152 - 2400x1350 - 2560x1440 - 2880x1620 - 3554x1999 - 3840x2160.

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As sete primeiras iterações da "curva do floco de neve" de Koch.
As sete primeiras iterações da "curva do floco de neve" de Koch.
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Fractais são formas geométricas não euclidianas fracionárias e que se repetem em qualquer escala. Essa definição pode ser aplicada em alguns tipos de fractais, porém em outros necessita de uma definição mais forte.
A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. [Wikipédia]
Não sou um estudante da geometria fractal (apenas admirador de sua beleza matemática), mas o matemático ganhador da Medalha Fields em 2014, Arthur Ávila, entende espetacularmente sobre a 'fractalidade'.

4 dicas de softwares multiplataforma para gerar fractais maravilhosos

Quando ingressei no curso de Matemática, sempre que podia passava algumas horas no laboratório de matemática ou na biblioteca, desenhando fractais simples ou pesquisando fractais gerados a partir de um software. Era um passatempo muito gostoso.

No último final de semana, pesquisei alguns softwares para gerar fractais no sistema operacional que uso (Ubuntu Linux), instalei-os e comecei a gerar alguns. Não satisfeito procurei outros e resolvi compartilhar essas dicas aqui.

Qual são os sistemas operacionais que rodam o software?

Os softwares são executados na principais plataformas existentes:
  • Linux;
  • Windows;
  • Mac OS X;
  • BSD.

Quais os softwares recomendados?

Criei uma coleção no Google+ chamada de Fractais. Nela eu publico os fractais que gero com os programas listados a seguir.
  • Fraqtive;
  • Mandelbulber;
  • QFractalNow;
  • Xaos - Fractal Zoomer.

Todos multiplataforma, ou seja, pode ser executado nos sistemas operacionais destacados logo acima no primeiro tópico.

Características de cada software

Fraqtive
Com o Fraqtive é possível construir fractais de Mandelbrot e Conjunto de Julia, que são os mais conhecidos. Basicamente a sua personalização é simples e intuitiva, fazendo alterações na cores, parâmetros, angulação, etc., e ainda escolher a resolução da imagem que irá salvar.

Ele é leve não absorve muito da memória RAM da sua máquina. Pelos menos 3 GB de RAM é recomendado.

Conjunto de Mandelbrot gerado com o Fraqtive no Ubuntu Linux 16.04 LTS
Conjunto de Mandelbrot gerado com o Fraqtive no Ubuntu Linux 16.04 LTS

Mandelbulber
É uma aplicação que constrói fractais que podem ser renderizados em 3D, baseados no Conjunto de Mandelbrot e suas variações. Os fractais podem ser combinados para obter infinitas formas, derivadas de diferentes algoritmos.

Ele exigirá um pouco mais da memória RAM da sua máquina.

Principais características:
  • Software completamente livre  e de código aberto, licença GNU GPL.
  • Versões para 32 bits e 64 bits para Windows, Linux e Mac (Intel e PPC)
  • Ferramentas para navegação aproximada à superfície fractal.
  • Várias combinações de personalização dos fractais: sombreamento 3D, profundidade de campo, reflexões, névoa, brilho, etc.
  • Volumétrica de iluminação disponível.
  • Animação câmera: Keyframe e mouse voo controlado.
  • Animação quadro-chave de todos os parâmetros.
  • Algoritmo de estimação de distância para reduzir o tempo de renderização.
  • Modo de baixa memória para renderizar imagens maiores do que 16.000 x 16.000 pixels.

Fractal criado com o Mandelbulber no Ubuntu Linux 16.04 LTS
Fractal criado com o Mandelbulber no Ubuntu Linux 16.04 LTS

FractalNow
Ele fornece aos usuários ferramentas para gerar imagens de vários tipos de fractais forma rápida e fácil. Várias fórmulas disponíveis (Mandelbrot, Julia, Multibrot, Mandelbar, Rudy, etc.

O FractalNow exporta as imagens fractais em um arquivo de extensão .PPM. No SO que uso, o Linux Ubuntu 16.04 LTS, as imagens geradas abrem normalmente. Para converter a imagem .PPM para outros formatos utilize o editor de imagem GIMP (para Linux, Mac e Linux).

Fractal criado com o FractalNow no Ubuntu Linux 16.04 LTS
Fractal criado com o FractalNow no Ubuntu Linux 16.04 LTS

Xaos
O mais leve de todos e mais simples.

Ele permite ao usuário aumentar e diminuir (usando o botão direito e esquerdo do mouse) o zoom continuamente de um fractal em um movimento fluido e contínuo. Esta capacidade torna o Xaos um ótimo software para explorar fractais.

Se você não sabe o que os fractais, não se preocupe, o Xaos inclui muitos tutoriais animados que tornam a aprendizagem sobre fractais divertida e fácil. Estes cursos também são uma ótima introdução para todos os recursos do Xaos.

Menu de fórmulas fractais com o Xaos no Ubuntu Linux 16.04 LTS
Menu de fórmulas fractais com o Xaos no Ubuntu Linux 16.04 LTS

Baixe os softwares

Utilize os botões abaixo para fazer download do programa de acordo com o sistema operacional que utiliza. Para facilitar a sua navegação separei os programas por plataforma e versão da arquitetura do sistema operacional.

Se tiver algum problema e não conseguir instalar o programa em alguma distribuição Linux, o blog do Edvaldo ensina de uma forma fácil e rápida como instalar pacotes, DEB, RPM, BIN, etc.

Mas, o método mais simples mesmo é via Central de Programas do Ubuntu (meu caso). Pesquisou, achou, clique em Instalar e pronto.

Windows

Fraqtive 32 bits Fraqtive 64 bits 
Mandelbulber 32 bits Mandelbulber 64 bits
FractalNow 32 bits FractalNow 64 bits
Xaos

Linux

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É sempre bom abrir nossos pensamentos para perspectivas, que até mesmo conhecemos, mas demoramos para entendê-las ou enxergar por um lado que dói mais. Não sei o que estava fazendo na internet que não tinha lido um texto tão claro e que revela situações que pensávamos que sabíamos.

Ninguém precisa tornar a Matemática interessante (O lamento de um matemático)

É o tipo de pensamento matemático que todo professor de Matemática que leva sua carreira a sério tem ou deveria ter, salvo as suas discordâncias. Particularmente discordo de alguns pontos, porém ínfimos em relação a outros não menos complexos. Ele reflete, em síntese, meu pensamento sobre o ensino de Matemática nas escolas, tanto no ensino público quanto no privado (com suas devidas comparações entre os países).

Estou me referindo ao texto A Mathematician’s Lament (O Lamento de um Matemático), publicado por Paul Lockhart em 2002, e que em 2009 transformou "seus lamentos" em um livro.

A tradução livre mais recente foi lançada pelo site Imaginário Puro e traz o texto completo em Português do Brasil.
Todo mundo sabe que algo está errado. Os políticos dizem: “Precisamos de diretrizes mais elevadas.” As escolas dizem: “Precisamos de mais dinheiro e equipamentos.” Pedagogos dizem uma coisa, e professores, outra. Estão todos errados. As únicas pessoas que entendem o que está acontecendo são as que levam a culpa e que nunca são ouvidas: os alunos. Eles dizem: “As aulas de matemática são estúpidas e chatas.” Na mosca!
Ser autocrítico talvez é uma qualidade dos melhores professores. E isso não significa que todas as aulas dos melhores professores são sempre as melhores aulas. Os melhores professores não conseguem sempre dar a sua melhor aula todos os dias.

Não sou o melhor professor que gostaria que fosse, também não sou o professor medíocre que está em sala de aula apenas porque gosta. Mas, às vezes, bate um desânimo tão grande que o primeiro pensamento é de acabar com a carreira de ser professor. Os motivos não são os de sempre.

Por que? A citação abaixo ajuda a responder.
A parte mais triste das reformas didáticas são as tentativas de tornar a matemática interessante e de torná-la relevante na vida das crianças. Ninguém precisa tornar a matemática interessante — ela já é mais interessante do que podemos suportar! E sua glória é sua completa irrelevância na vida cotidiana. É por isso que é tão divertida!
Estou mudando a minha forma de pensar quanto ao ensino de Matemática. Não é de hoje. E quem sabe mais tarde um novo profissional surgirá.

O desafio de "ensinar Matemática" no Brasil é tão grande, que até agora não vimos nenhuma reforma concreta que realmente traga um novo rumo para as aulas de Matemática e de outras disciplinas.

Está em curso no Brasil uma reforma do currículo. Entenda mais lendo o artigo O que falta para o Brasil implementar um novo currículo de ensino? [PodCast]. Nos EUA (ouça o podcast) uma das saídas está em investir no modelo de "temos que mostrar para que ela serve", "precisamos de programadores", etc.

Depois de ler o texto O Lamento de um Matemático fico imaginando se uma reforma será a salvação.

Abaixo estão os links para você ler o texto. Já aviso que é um texto muito longo. Só leia quando tiver um tempo livre.

Versão em Inglês

Versão em Português do Brasil

A Matemática precisa ser interessante e aplicável para deixar de ser odiada por alunos?

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Resposta do desafio matemático #33
Recebi uma solução para o desafio matemático #33 (nível fundamental/médio) e o que me chamou a atenção, além da resposta, foi a organização. Tudo arrumadinho em $\LaTeX$.

Sempre que alguém resolver um desafio matemático proposto aqui no blog usando um PDF em $\LaTeX$, sua resposta será postada aqui. É uma forma de agradecer o tempo dedicado para resolver o problema e editar um arquivo devidamente organizado.

Ver resposta

Resolvido e enviado por Welton Batista.