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O blog para professores e estudantes de Matemática.
Proponho como o 39º desafio matemático uma demonstração. Use os conceitos de Geometria e Álgebra para resolver este problema que classifico de nível superior, somente por seu nível de dificuldade, pois seu enunciado contém muita matemática estudada no Ensino Médio.

Desafios matemáticos #39


 Nível: Superior 

O triângulo $BCF$ é retângulo em $B$. Seja $A$ o ponto da reta $CF$ tal que $FA=FB$ e que $F$ esteja entre $A$ e $C.$ Escolhe-se o ponto $D$ de modo que $DA=DC$ e que $AC$ seja a bissetriz do ângulo $\angle DAB$. Escolhe-se o ponto $E$ de modo que $EA=ED$ e que $AD$ seja a bissetriz do ângulo $\angle EAC$. Seja $M$ o ponto médio de $CF$. Seja $X$ o ponto tal que $AMXE$ seja um paralelogramo (com $AM || EX$ e $AE || MX$). Demonstre que as retas $BD,$ $FX$ e $ME$ são concorrentes.

Deixe sua resposta devidamente justificada, através de seus cálculos, na sessão de comentários deste artigo. O blog tem suporte a linguagem $\LaTeX$ somente para o Blogger. Ou se preferir, mostre a sua solução em algum documento e envie o link dele juntamente com o seu comentário.

Divirta-se!
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Já respondo dizendo que sim, mas não pense que será simples. O seu empenho e dedicação deve ser um ponto muito forte em seus estudos fora de sala de aula.

É possível aprender Matemática estudando apenas pela internet? [não deixe de ler a dica 4]

Nesta postagem registro algumas dicas de como aprender matemática sozinho ou em grupo. Quais ferramentas precisará, como estudará, melhor horário, são apenas algumas dessas dicas. Se eu consegui sem internet, suas possibilidades de aprendizagem se multiplicam com ela. Leia o artigo Como treinei meu cérebro para me tornar fluente em Matemática para entender como foi a minha experiência.

É possível mesmo?

Não te enganaria. Como disse anteriormente, claro que é possível. No entanto, seu aprendizado dependerá de alguns fatores essenciais. São eles:
  • Tenha o mínimo de consciência intelectual para identificar suas prioridades e tenha também muita força de vontade para estudar, sem desanimar. (dedicação e perseverança);
  • Não sofra de nenhuma patologia ou transtorno de aprendizagem que impeça a leitura, interpretação e abstração de textos e teorias matemáticas. (Dislexia, Disgrafia, Disortografia e Discalculia); 
  • Abdicação de algumas atividades de lazer. (foco);
  • Organização do tempo em prol dos estudos;
  • Organização de materiais de estudo.

Quais as ferramentas necessárias?

Você precisará de:
  1. Internet com uma boa velocidade. Se a sua conexão de internet não for das melhores, terá que esperar o carregamentos de vídeos ou aplicativos.
  2. Adquira uma resma de papel A4. Organize uma pasta para guardar seus rascunhos e cálculos  de exercícios incompletos e concluídos.
  3. Adquira folhas de papel milimetrado. Use-as para desenhar gráficos com maior precisão. Aqui no blog você poderá baixar diversos tipos de papel milimetrado.
  4. Uma calculadora científica. Se não tiver um calculadora física (não precisa ser a melhor do mundo), use uma online ou do seu sistema operacional que está usando.
    1. Calculadora no estilo HP 12C para Android;
    2. Calculadora trigonométrica para Seno, Cosseno, Tangente, Secante, Cossecante e Cotangente;
    3. Calculadora científica para o Google Chrome;
    4. Calculadora estilosa do Chrome OS para o navegador Google Chrome.
  5. Lápis grafite e borracha branca.
  6. Régua graduada de pelo menos 30 cm.
  7. Caneta esferográfica de cor preta ou azul.

Softwares:
  1. GeoGebra. Te ajudará com o comportamento de gráficos de diversos tipos de funções, entre outros conteúdos. Baixe applets já construídos para o GeoGebra.
  2. Google Keep. Use-o para organizar as suas tarefas e lembretes.
  3. Calculadora online. Já deixei 4 opções na lista acima;
  4. Youtube. É claro que a principal ferramenta de estudo será vídeo aulas no youtube.
  5. Google Agenda. Use-o para organizar atividades que devem ser cumpridas dentro de limites de tempo criado por você.
  6. IDroo. Software para Windows, que se integra ao Skype e permite usar todas ferramentas que uma sala de aula tem: quadro, lápis, apagador, editor de equações em Latex, etc.

Dicas para aprender Matemática estudando apenas pela internet

Estas são dicas pessoais, talvez não funcione com você. Somente com um pouco de esforço é possível avaliar a sua aplicação.

Todas as dicas a seguir são baseadas em um estudo aliado com vídeo aulas em canais no Youtube. Já escrevi um post sobre Os melhores canais brasileiros no youtube para estudar Matemática. Se estes ainda não te agradam, pesquise por outros canais cuja a linguagem, didática e metodologia se encaixam melhor em seus estudos.

Dica 01) Atente para cronologia de conteúdos

Se o objetivo é começar um estudo sobre Matemática Básica ao nível avançado, atente bem para a cronologia dos conteúdos matemáticos.

Dica 01) Atente para cronologia de conteúdos

O estudo deve ser metódico do início ao fim. Nunca adiante um conteúdo mesmo sabendo que tem certa noção sobre ele. O ideal é que siga a sequência de conteúdos.

Se for para o ENEM confira as competências que são cobradas para as provas. No edital do ENEM você pode conferir quais são essas competências e seus conteúdos. No edital de 2016, está na página 51.

Segredos do ENEM - Aumente sua capacidade de aprendizagem em MAIS de 9x

Veja no canal que pretende estudar, se há playlists. Da mesma forma das playlists musicais, as playlists no Youtube contém uma sequência de vídeos ordenados de acordo com uma finalidade, neste caso, conteúdos matemáticos em sequência.

Dica 02) Tenha um horário e ambiente adequado

Dica 02) Tenha um horário e ambiente adequado

O ideal é que esteja em seu quarto (bem iluminado) com a porta trancada, para evitar possíveis distrações externas. Organize sua mesa ou algum local para usar o PC, notebook ou tablet ao lado dos seus materiais que usará para estudar, como algumas folhas de papel A4, lápis, borracha, calculadora, etc.

Organize uma planilha de horários para estudo. Planeje um horário diário de estudos. Nele, destaque todos os dias que estudará e quais não estudará. Seja específico quanto a cada horário em cada dia.

Um boa ideia é montar uma tabela de horário, uma agenda eletrônica (como o da Google) ou uma impressa.

Dica 03) Utilize fones de ouvido

Dica 03) Utilize fones de ouvido

Um headset é a melhor opção, pois terá um conforto maior e uma qualidade de áudio superior, que os fones de ouvido comuns não oferecem. Além do mais é um ótimo abafador de barulhos externos.

Se puder comprar um, é um bom investimento, tanto para estudos quanto para entretenimento nas horas de descanso.

Outra boa aplicação é poder estudar em grupo, através do Skype, Hangout ou outra plataforma que ofereça vídeo chamadas em grupo.


Dica 04) Agora dê um play e comece a fazer anotações

Dica 04) Agora dê um play e comece a fazer anotações

Estudar cálculos matemáticos é um exercício de errar muito e acertar muito. Para quem estuda sozinho, sei que as chances de errar sempre é maior do que a de acertar.

Portanto, é importante que faça anotações de cada erro e avanço em seus cálculos. Não deixe nada escapar, por mais simples que possa parecer. Compare os erros com os acertos e tente não cometer o mesmo erro novamente. Como assim?

Ao fazer um cálculo e perceber que durante algum processo errou, não apague esse erro. Na mesma folha e ao lado do cálculo errado, corrija-o escrevendo todo processo de forma certa. Desta forma você comparará o certo com o errado e diminuirá as chances de errar novamente, pelo menos naquele ponto.

Esta é uma dica que sempre recomendo para os meus alunos. Percebo que os resultados são gradativos e melhores.

Mas, e quando não sabemos nem começar a resolver uma questão? Escrevi um post sobre esse tema. Leia Como devo proceder quando encontro um problema matemático "difícil"? e tente aplicar as dicas presentes neste texto.

Dica 05) Sempre pause o vídeo antes da realização de qualquer cálculo

Dica 05) Sempre pause o vídeo antes da realização de qualquer cálculo

O Youtube tem algumas particulares além das funções comuns em seu player. São elas: play, pausa, volume, avançar para um novo vídeo, voltar para o vídeo anterior (caso esteja em uma playlist), playlist com diversos vídeos em ordem cronológica, sistema de legendas, transcrição, 3 tamanhos para exibição de vídeos (normal, cinema e tela cheia), velocidade do vídeo, qualidade do vídeo e reprodução automática.

Você conhece bem essas funções. 

Quero destacar a função Velocidade, onde podemos aumentar ou diminuir a velocidade de um vídeo. Por qual razão usar esse recurso?

Imagine que você está estudando equações e já domina o exercício básico que está assistindo, onde é mostrado apenas a resolução da equação. Clicando no botão Velocidade, você pode ativar as opções 1.25, 1.5 e 2 para acelerar o vídeo e 0.5, 0.25 para desacelerar o vídeo.

Atenção! Esse recurso permite você estudar de acordo com o seu ritmo de aprendizagem. Só recomendo usar diretamente em trechos do vídeo em que só há cálculos.

Dica 06) Tenha em mãos uma boa bibliografia

Dica 06) Tenha em mãos uma boa bibliografia

Estudar matemática pela internet traz uma das dúvidas mais pertinentes: como sei o que estou assistindo é verdadeiramente o correto? Já assisti muitos vídeos no youtube onde há pequenos equívocos matemáticos cometidos, e, são esses pequenos erros que trazem maior prejuízo de aprendizagem.

Parece uma dúvida boba, mas, é muito comum vindo de um estudante inexperiente na internet. Portanto, ter um embasamento teórico em mãos é uma prática que não deve ser esquecida.

Bibliografia que recomendo:

Dica 07) Nunca esqueça dos aplicativos para dispositivos móveis

Dica 07) Nunca esqueça dos aplicativos para dispositivos móveis

Utilizando da forma correta, os aplicativos matemáticos é uma ferramenta indispensável na hora de estudar.

Não há problema algum fazer uso de aplicativos que resolvem uma tarefa por você. O problema está quando a utilidade do app é apenas esta. Ou seja, um aluno de posse de sua lista de exercícios resolve cada questão usando algum app. [Trecho do artigo Aplicativos matemáticos só servem para quem sabe estudar [dica de app]]

Leia o texto íntegra que citei acima e entenda minha opinião sobre aplicativos móveis no estudo de Matemática e sabia como aplicá-los da melhor maneira possível.

Quer mais dicas de aplicativos? Segue algumas dicas:

Concluindo

Não há somente esta forma de aprender Matemática na internet, usando vídeo aulas no youtube. Esta é apenas uma alternativa que se encaixa perfeitamente para auxiliar, complementar ou avançar nos estudos de Matemática. Sua curiosidade é que pode te levar mais alto, rumo a fluência em Matemática.

Além de vídeo aulas, há também ótimas plataformas educacionais, como a do professor +Rafael Procopio, que, mediante a assinatura, você tem acesso a resolução de exercícios, vídeos exclusivos, plano de estudo semanal e monitoria, por exemplo.

Matemática Rio
É o tipo de investimento que sempre terá um ótimo retorno. No entanto, investir uma grana em um curso ou mesmo de graça no youtube, não adiantará se faltar dedicação, esforço, ânimo, perseverança e o principal - vontade de aprender.

Eu sei que escrever isso é fácil, porém sou um exemplo de que aliar essas qualidades com a vontade de aprender, é possível aprender matemática com ou sem internet. Houve uma época que não sabia o básico de Matemática. Hoje sou professor de Matemática.
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Assino diversas newsletter de diversos sites sobre Educação do Brasil. Esta, presente nesse artigo, senti a necessidade de compartilhar para todos, afim de mostrar um pouco do meu pensamento e dos universitários brasileiros através de uma pesquisa realizada pela Universia.

O que os universitários acham sobre o sistema de ensino superior público e privado do Brasil [pesquisa]

A pesquisa trata sobre alguns aspectos do sistema de ensino superior em universidade públicas e privadas do Brasil. Tire um momento para ler o texto na íntegra logo abaixo, pois a newsletter não tinha link direto para o seu site.

Universitários avaliam o sistema de ensino superior de instituições públicas e privadas do Brasil

Pesquisa realizada pela Universia aponta que menos da metade dos alunos estão satisfeitos com o modelo de ensino adotado. Entre as maiores reivindicações está a adequação do método à inclusão da tecnologia e a falta de conexão com a realidade do mercado de trabalho.

São Paulo, 13 de julho de 2016 - Uma sala de aula tradicional com professores explicando determinado assunto é um método de ensino que não é mais suficiente para a nova geração de alunos. É preciso uma grande reforma que passe a integrar novas metodologias, técnicas e tecnologias ao meio acadêmico com o objetivo de modernizar e dinamizar o ensino. Tudo isso agregado aos métodos de investir na qualificação dos professores, destes desafiarem seus alunos, levá-los a campo e diminuir a distância entre o que se aprende e o que o mercado exige.

Essas são as medidas propostas não por um grupo de pedagogos, mas sim por 255 jovens que representaram a atual classe de ensino superior brasileira em uma pesquisa realizada com exclusividade pela Universia – maior rede ibero-americana de colaboração acadêmica.

A pesquisa incluiu alunos de 80 instituições de ensino do país: Públicas como USP, Unesp, Unicamp e a Universidade Estadual de Goiás, além de privadas como FGV, Anhembi Morumbi, Mackenzie, Senac e Belas Artes.

Entre os universitários da rede pública, 36% afirmaram estar satisfeitos com o modelo de ensino aplicado atualmente, e 45% dos alunos de instituições privadas disseram estar satisfeitos. Do total, 48% estão satisfeitos em parte e 10% não estão de acordo com o modelo que as universidades trabalham.

Dos respondentes, 23% acreditam que o método precisa ser revisto
Precisamos de uma reforma urgente, uma revolução. Ter mais atividades práticas e colocar a mão na massa para aprender fazendo. [pontuou em resposta discursiva da pesquisa uma das alunas entrevistadas]
Estes 23% citam ainda a inclusão da inovação, novas metodologias e o aumento do ensino à distância.
O futuro da educação no Brasil será a integração das tecnologias atuais ao meio acadêmico. É um campo que deve ser melhor explorado pois existem muitas possibilidades. [acredita outra aluna]

Atentos, os universitários notaram um maior acesso à educação superior devido a créditos facilitados, mas avaliam que a qualidade deste ensino está em queda, assim como a exigência de um aluno melhor preparado. Vinte por cento dos entrevistados dizem que é preciso ter mais foco na qualidade do ensino e reduzir as diferenças entre os ensinos público e privado.

Há ainda 12% que já entenderam que apenas o diploma da graduação não é suficiente para se diferenciarem no mercado de trabalho.
Certificações são mais valiosas que uma graduação. [diz um aluno]
O modelo aplicado hoje é estritamente limitado, quadrado e teórico, não desafia o estudante a pensar, a criar e a empreender e construir com os ensinamentos propostos. Grande parte dos formados chegam despreparados ao mercado de trabalho, principalmente em questões de capacidade de articulação, execução, participação e pró-atividade. [avalia um estudante]

Por último, a pesquisa mostra que 11% dos respondentes reconhece os investimentos feitos na educação, porém, os consideram insuficientes. Outra preocupação apontada nas respostas discursivas são os recentes cortes de investimentos na educação.

Debate

Para falar sobre as tendências na educação e debater este tema que é bastante complexo, a Universia promoveu o Seminário Inovação na Aprendizagem que aconteceu em São Paulo.

O encontro reuniu dirigentes das mais renomadas instituições de ensino superior do País e, em um dos painéis, alunos de universidades que contribuíram para esta pesquisa participaram de um debate sobre as inovações que já são realizadas e as que eles acreditam que podem ser implementadas.

Conseguimos promover um evento inspirador para todos os participantes. Trouxemos cases, dados, debates e antecipamos assuntos que com certeza ainda serão muito abordados na educação. Precisamos estar preparados e precisamos nos adaptar às necessidades e objetivos de cada aluno. [afirma Luis Cabañas, Diretor Geral da Universia]

Para Rogério Loureiro, curador do evento e Diretor de Inovação da Anima Educação, foi um momento de reflexão.

Depois deste seminário, saímos com o objetivo de termos as melhores ideias para a educação do País. Assistimos a várias inovações no processo de ensino-aprendizagem já apresentando bons resultados que serviu para nos motivar a buscar melhorias contínuas na educação e nas experiências para os nossos estudantes. [conclui Rogério Loureiro]

Lista das instituições de Ensino Superior que participaram da pesquisa de Universia

  • Anhanguera Educacional de São Paulo;
  • BSP - Business School São Paulo;
  • Carlos Drummond de Andrade;
  • Estácio - Centro Universitário Estácio Radial de São Paulo;
  • Centro Universitário São Camilo;
  • Centro Universitário Senac;
  • CEUNSP - Centro Universitário Nossa Senhora do Patrocínio - Salto/SP;
  • EPD - Escola Paulista de Direito;
  • ESAMC - Escola Superior Administração Marketing Comunicação;
  • ESPM - Escola Superior de Propaganda e Marketing;
  • FAAP - Fundação Armando Álvares Penteado;
  • Fecap - Fundação Escola de Comércio Álvares Penteado;
  • FAAT - Faculdades Atibaia;
  • Faculdade Belas Artes;
  • Faculdade Campo Limpo Paulista;
  • Faculdade de Americana;
  • Faculdade de Conchas;
  • Faculdade de Direito de São Bernardo do Campo;
  • Faculdade de Jaguariúna;
  • Faculdade de São Paulo;
  • Fatec Piracicaba - Faculdade de Tecnologia Piracicaba - Deputado Roque Trevisan;
  • Faculdade Impacta de Tecnologia;
  • FMU- Faculdades Metropolitanas Unidas;
  • Faculdade Morumbi Sul;
  • Faculdade Sudoeste Paulista;
  • Faculdade Sumaré;
  • Faculdade Tijucussu;
  • FAMESP - Faculdade Método de São Paulo;
  • Fatec de Pindamonhangaba;
  • FATEC-SP – Faculdade de Tecnologia de São Paulo;
  • FEFISO - Faculdade de Educação Física;
  • FEUSP - Faculdade de Educação da USP;
  • FGV - Fundação Getúlio Vargas;
  • Fiam Faam - Centro Universitário - Unifiam-faam;
  • FIAP - Faculdade de Informática e Administração Paulista;
  • FIP - Faculdades Integradas Paulista;
  • Fundação Hermínio Ometto;
  • Fundação Santo André;
  • IFSP –  Instituto Federal de São Paulo;
  • Impacta; Instituto de Pesca;
  • Instituto Mauá de tecnologia;
  • Organização Paulista de Educação e Cultura Unipaulistana – Centro Universitário Paulistano;
  • Paris-Sud - Universidade Paris XI;
  • PUC Campinas – Pontifícia Universidade Católica de Campinas;
  • PUC - SP - Pontifícia Universidade Católica de São Paulo;
  • PUC Minas - Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais;
  • UEG - Universidade Estadual de Goiás;
  • UESB - Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia;
  • UFF - Universidade Federal Fluminense;
  • UFSCar - Universidade Federal de São Carlos;
  • UNA - Centro Universitário Uma;
  • Unaerp - Universidade de Ribeirão Preto;
  • Unesp - Universidade Estadual Paulista;
  • UNICAMP - Universidade Estadual de Campinas;
  • UNICID - Universidade Cidade de São Paulo;
  • Unifesp - Universidade Federal de São Paulo;
  • Unifesp  Eppen (Escola Paulista de Economia, Política e Negócios);
  • UNIFOR - Universidade de Fortaleza;
  • UNIMEP - Universidade Metodista de Piracicaba;
  • Uninove - Universidade Nove de Julho;
  • Uninter – Centro Universitário Internacional;
  • UNIP - Universidade Paulista;
  • Unisa - Universidade de Santo Amaro;
  • UNISAL - Centro Universitário Salesiano de São Paulo (Unidade Campinas - São José);
  • Universidade Anhembi Morumbi;
  • Universidade Cruzeiro do Sul;
  • Universidade de Guarulhos;
  • Universidade de Mogi das Cruzes;
  • Universidade Estadual de Campinas;
  • Universidade Federal da Integração Latino-Americana;
  • Universidade Federal do Pará;
  • Universidade Ibirapuera;
  • Universidade Metodista de Piracicaba;
  • Universidade Metodista de São Paulo;
  • Universidade Municipal de São Caetano do Sul;
  • Universidade Presbiteriana Mackenzie;
  • Universidade São Francisco;
  • Universo - Universidade Salgado de Oliveira;
  • UNIVESP - Universidade Virtual do Estado de São Paulo;
  • Unopar - Universidade Norte do Paraná;
  • USF - Universidade São Francisco;
  • USJT - Universidade São Judas Tadeu;
  • USP - Universidade de São Paulo;
  • USP – ESALQ (Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz);
  • USP - Escola Politécnica;
  • USP - Faculdade de Economia e Administração;
  • USP - Faculdade de Filosofia, Letras e Ciências Humanas;
  • UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná.