O blog para professores e estudantes de Matemática.
Navegando por alguns grupos no Facebook encontrei esse belíssimo trabalho realizado pelos professores Graziele Souza Mózer e Humberto José Bortolossi. O trabalho foi apresentado no 2º Simpósio de Formação de Professores de Matemática da Região Nordeste em dezembro de 2016. Visando alcançar mais leitores para esse trabalho, resolvi compartilhar por aqui.

O livro está no formato PDF, é gratuito e foi publicado pela SBM.

Para que servem os números irracionais? Além das fórmulas de perímetro, áreas e volumes [Ebook Gratuito]

Título

Para que servem os números irracionais? Além das fórmulas de perímetro, áreas e volumes.

Várias pesquisas têm apontado para a dificuldade de se ensinar e aprender esse assunto na escola básica e nos cursos de formação de professores de Matemática. Neste cenário, um erro frequente detectado entre os alunos é o de eles considerarem, por exemplo, que $\pi$ é igual a $3,14$ e que $\sqrt{3}$ é igual a $1,73$. Afinal, ao calcularem perímetros, áreas e volumes, o que geralmente se faz, no final, é substituir $\pi$ e $\sqrt{3}$ por suas aproximações mais conhecidas com uma ou duas casas decimais após a vírgula. [Os autores]

Resumo

No Ensino Básico, a justificativa apresentada para o estudo dos números irracionais apoia-se principalmente no fato de que tais números aparecem em fórmulas para o cálculo de perímetros, áreas e volumes e com soluções de equações. Neste trabalho mostraremos como dar um enfoque diferente aos números irracionais. Apresentaremos situações onde algo interessante e não óbvio acontece porque um determinado número é irracional.

Esperamos que esta nova perspectiva que articula números irracionais com problemas em geometria seja útil aos colegas professores e aos alunos de licenciatura em Matemática interessados no ensino e na aprendizagem de números irracionais.


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Ah, tem algumas demonstrações matemáticas com a força do GeoGebra. Vale a pena ler esse trabalho.

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Para que serve, realmente, a equação do 2º grau? Talvez você responda: se pensar nessa pergunta baseando-me naquilo que me “ensinaram” nas escolas “chatas” da vida, afirmaria: PARA NADA! No entanto, pensando melhor sobre o assunto, responderia: PARA SER COBRADA NAS PROVAS!

Porém, meditando compenetradamente no tema, diria: TAÍ ALGO QUE REALMENTE NÃO SEI?

Não sei se o aluno que está frequentando, ou aquele que já frequentou a escola do Ensino Fundamental, concorda com a resposta. Sinceramente, concordo. Concordo, porque durante o período que frequentei a escola do Ensino Fundamental (antigos primário e ginásio) em momento algum tive a oportunidade de ver, em sala de aula, uma só aplicação da equação do 2º grau.

Existem muitos problemas com os quais nos defrontamos no dia a dia que podem ser resolvidos por meio da equação do 2º grau. No final desse artigo há mais exemplos.

A equação do segundo grau por trás da receita máxima de uma empresa

Por que o aluno tem aversão ou desinteresse pela matemática?

a) a aversão que o aluno tem à matemática, decorre da distância que o ensino da matemática guarda da realidade em que vive;

b) já que o aluno não consegue fazer a conexão entre o que aprende e suas necessidades do dia a dia, daí vem o desinteresse e, em consequência, a versão à matemática;

Para que ensinar a resolver a equação do 2º grau, somente pelo fato de esse assunto fazer parte do currículo do Ministério da Educação? Para mim é coisa que, isolada, não significa absolutamente nada. Pior: atrapalha a carreira de muitos jovens.

Como podemos esperar algum resultado do ensino da matemática do Ensino Fundamental, se cujas ementas não mencionam aplicações? Ou será que o que consta nas ementas é apenas para ser cobrado nas provas?

Se o professor mostrasse o quanto é poderoso e fundamental aquilo que estão aprendendo, temos plena certeza de que, futuramente, duas coisas iriam ocorrer nas escolas do Ensino Fundamental:

a) a distância iria diminuir bastante, entre o ensino da matemática e a realidade em que vivem os alunos;

b) o aluno iria conseguir fazer a conexão entre o que aprendeu e suas necessidades do dia a dia. Daí, então, o interesse pela matemática e, consequentemente, o gosto por ela.

A seguir vamos apresentar um problema com o qual muitos empresários se defrontam no seu dia a dia que pode ser solucionado por meio da equação do 2º grau.

Flagrante da vida real

O custo para produzir um certo produto é ${R$ 3,00}$. Se esse produto for vendido ao preço de ${R$ 6,00}$, são vendidas mensalmente, 3000 unidades do produto. O empresário, por experiência própria, vem observando o seguinte: quando aumenta o preço de ${R$ 1,00}$, vende 250 unidades mensalmente a menos. O empresário deseja saber:

Pergunta 1) qual o maior preço que deverá cobrar, a fim de obter a máxima receita?
Pergunta 2) quantas unidades deverá produzir, mensalmente, a fim de obter a máxima receita?
Pergunta 3) qual o maior preço que deverá cobrar, a fim de obter o máximo lucro?
Pergunta 4) quantas unidades deverá produzir, mensalmente, a fim de obter o máximo lucro?

Resolução:

a) Sem usar a modelagem matemática (Investigando o problema).
b) Usando a modelagem matemática.

Solução 1) Sejam: $p$, $q$ e $R$, respectivamente, preço, quantidade e receita (o mesmo que arrecadação). Como a receita é preço vezes a quantidade, logo, $R=p \cdot q$.

p q R
R$ 6,00 3000 R$ 18.000,00
R$ 7,00 2750 R$ 19.250,00
R$ 8,00 2500 R$ 20.000,00
R$ 9,00 2250 R$ 20.250,00
R$ 10,00 2000 R$ 20.000,00


Note que: para o preço de ${R$9,00}$ a receita atinge o máximo, ou seja, o empresário deve vender 2250 unidades do produto para obter a maior receita a qual é de ${R$20.250,00}$. Encontramos a quantidade de produtos que o empresário deve vender para obter a máxima receita, após encontrar uma lista de várias receitas.

Veremos a seguir como a modelagem matemática é uma ferramenta muito útil para se encontrar o valor máximo com os assuntos das equações do 1º e 2º graus vistos no Ensino Fundamental. Quando você, caro leitor, estudou a equação do primeiro grau, viu que dois pontos determinam uma reta. Na coluna de $p$ e $q$ vamos escolher os seguintes pontos:

$(p, q)$    e    $(p, q)$
$(6, 3000)$ e $(7, 2750)$

A fórmula $\cfrac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}=\cfrac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}$ dá a equação de primeiro grau.

Seja $q$ a quantidade e $p$ o preço. A fórmula da equação de 1º grau fica: $\cfrac{p-p_{0}}{p_{1}-p_{0}}=\cfrac{q-q_{0}}{q_{1}-q_{0}}$.     (1)

Substituindo os valores de cada ponto na (1), obtém-se:

$\cfrac{p-6}{7-6}=\cfrac{q-3000}{2750-3000}$
$(p-6) \cdot (2750-3000)=(7-6) \cdot (q-3000)$
$(p-6) \cdot (-250)=(1) \cdot (q-3000)$
$q=-250 \cdot p+4500$                                    (2)

A equação (2) é o modelo matemático para a quantidade em função do preço.

Como a receita $(R)$ é igual ao preço $(p)$ vezes a quantidade $(q)$, ou seja, $R=p \cdot q$, logo multiplicando ambos os membros da equação (2) por $q$, obtém-se:

$p \cdot q = – 250q \cdot q + 4500 \cdot q$
$R = – 250 \cdot q 2 + 4500 \cdot q$               (3)

A equação (3) é o modelo matemático da receita total da empresa.

Já que a equação (3) é do 2º grau, logo, seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente de $x^{2}$ é negativo, então, a receita total atinge o máximo no vértice da parábola. Como o vértice da parábola é dado por:

$V_{x}=\cfrac{-b}{2a}$, e como $a=-250$ e $b=4500$, logo:
$V_{x}=\cfrac{-4500}{2 \cdot (-250)}$
$V_{x}=9$

Portanto, $x=9$.

Resposta: O maior preço que a empresa deverá cobrar a fim de obter a máxima receita é ${R$9,00}$. E para esse preço, o valor máximo da receita total é:

$R_{t}=-250 \cdot (9)^{2}+4500 \cdot (9) = {R$20.250,00}$

Solução 2) $q=-250 \cdot (9)+4500 = 2250$ unidades.

Resposta: A fim de obter a máxima receita, a empresa deverá produzir e vender 2250 unidades.

Solução 3) Como o lucro total é igual à diferença entre a receita total e o custo total $(C_{t})$, logo, $L_{t}=R_{t}-C_{t}$.

Já que a empresa gasta ${R$3,00}$ para produzir cada unidade do produto, logo, o custo total é: $C_{t}=3 \cdot q$. Como $q=-250 \cdot p+4500$, então,

$C_{t}=3 \cdot (-250 \cdot p+4500)$
$C_{t}=-750 \cdot p+13500$              (4)

A equação (4) é o modelo matemático do custo total da empresa.

Como $L_{t}=R_{t}-C_{t}$, então,

$L_{t}=-250 \cdot p^{2}+4500 \cdot p-(-750 \cdot p+13500)$
$L_{t}=-250 \cdot p^{2}+5250 \cdot p-13500$                           (5)

A equação (5) é o modelo matemático do lucro total da empresa.

Já que a equação (5) é do 2º grau, logo, seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente de $x^{2}$ é negativo, então, o lucro atinge o máximo no vértice da parábola.

Como $a=-250$ e $b=5250$, logo:

$V_{x}=\cfrac{-5250}{2 \cdot (-250)}$
$V_{x}=10,5$

Resposta: O maior preço que a empresa deverá cobrar, a fim de obter o máximo lucro, é de ${R$10,50}$. E para esse preço o valor máximo do lucro total é:

$L_{t}=-250 \cdot (10,5)^{2} + 5250 \cdot (10,5) -13500 = {R$14.062,50}$

Solução 4) $q=-250 \cdot (10,5) + 4500 = 1875$ unidades.

Resposta: A fim de obter o máximo lucro, a empresa deverá produzir e vender 1875 unidades.

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Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.
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De vez em quando recebo algumas perguntas pelas redes sociais. Às vezes acontece alguma discussão e na maioria das vezes se estende ao ponto de escrever uma postagem aqui no blog. Um fato interessante é que alguns desses bate papos surgem de mentes adolescentes e curiosas, que talvez não encontram alguém para expor e conversar sobre o assunto. A internet ajuda nesse sentido.

Professor, na sua opinião, como alguém pode conseguir ser um matemático amador? Ou seja, apesar da pessoa trabalhar em algo que não utilize Matemática, como ela pode conseguir obter rigor nos estudos o suficiente para entender Calculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear, Sistemas dinâmicos etc? Temos o grande exemplo de Fermat, que apesar de ter sido Jurista, foi um matemático amador, famoso pelo seu Teorema (o correto seria Conjectura) que demorou séculos para ser provado. Outro exemplo seria do banqueiro e autodidata em Matemática Andrew Beal, que desde 2013 oferece um prêmio de 1 milhão de dólares a quem resolver a sua fórmula. Desde já agradeço, e continue fazendo este excelente trabalho ao difundir o conhecimento matemático! [Leitor do blog pelo Facebook]

É possível ser um matemático amador?

Suponha que um estudante de 17 anos de idade sem nenhuma formação acadêmica, mas com uma habilidade extraordinária com a Matemática, certo dia resolve um problema matemático e chama a atenção de todo o mundo.

Fará diferença se tal estudante tem uma graduação, um mestrado ou doutorado em Matemática? Não, desde que seu trabalho seja provado rigorosamente e reconhecido como matematicamente verdadeiro. Tendo, hipoteticamente, conseguido esse feito grandioso, o estudante pode ser reconhecido como um matemático ou apenas um matemático amador?

De acordo com a legislação educacional não poderia ser um matemático, já que para isso exige uma formação acadêmica da qual lhe dá esse título. No entanto, qual matemático nesse mundo estaria preocupado com lei, caso a hipótese levantada realmente acontecesse?


Ramanujam foi um matemático amador?

Não vou classificar um gênio matemático pelo seu nível de formação acadêmica.

Srinivasa Ramanujan (1887-1920) foi uma das mentes mais extraordinárias que a Matemática já viu. Em 1906, em Madras, Índia, não conseguiu renovação para a universidade pois passou nos exames de Matemática e falhou em todos os outros assuntos. Nos anos seguintes ele trabalhou em Matemática desenvolvendo suas próprias ideias sem qualquer ajuda e sem qualquer ideia real dos tópicos de pesquisa atuais, além do fornecido pelos livros desatualizados que tinha acesso.

Continuando seu trabalho matemático, Ramanujan estudou frações continuadas e séries divergentes em 1908, desenvolveu relações entre equações modulares elípticas em 1910 e começou a publicar problemas matemáticos e suas soluções no jornal da Sociedade Indiana de Matemática. Após a publicação de um brilhante trabalho de pesquisa sobre os números de Bernoulli em 1911 no jornal indiano, ele ganhou reconhecimento por seu trabalho. Apesar da falta de uma educação universitária, ele estava se tornando bem conhecido na área de Madras como um gênio matemático.

A sua história virou um filme que já assisti 7 vezes, 6 em casa e 1 vez na escola com meus alunos. Esses por sua vez, me surpreenderam com uma salva de palmas depois da exibição. O título do filme para o Brasil é O Homem que viu o Infinito. Ramanujan é interpretado por Dev Patel e conta também com o ótimo ator Jeremy Irons, como o matemático G. H. Hardy.

O filme está ainda disponível no Netflix. Aproveite e veja também 7 filmes sobre Educação e Matemática para assistir no Netflix agora.


Será que Albert Einstein foi um matemático amador?

Como assim? Ele não era um físico? A linguagem da Física é a Matemática. Elas caminham paralelamente.

Em busca de provas matemáticas sobre a Teoria da Relatividade, Einstein não resolvia suas equações sozinho. David Hilbert, um dos maiores matemáticos do século XX, contribuiu para as bases matemáticas da teoria da relatividade de Albert Einstein. Esse e outros fatos geraram até polêmicas sobre quem realmente provou a Teoria da Relatividade.

A ação de Einstein–Hilbert ou ação de Hilbert na relatividade geral é uma ação que torna eficiente as equações de campo de Einstein através do princípio da mínima ação. Segundo a convenção de sinal da teoria da relatividade, esta ação pode ser escrita como:
$$S=-\frac{1}{2k}\int R\sqrt{-g}d^{4}x$$O fato de Einstein não resolver equações sozinho faz dele um matemático amador? Ou até mesmo um físico amador, já que, segundo historiadores, Einstein nunca foi o modelo de estudante gênio.

Aproveitando, assista a série Genius - A Vida de Einstein. Já assisti e gostei muito.

Classificar é uma rotina própria, comum e necessária do ser humano. Rotular em alguns casos soa como pejorativo demais. No artigo Para que serve um matemático e um professor de Matemática? descrevi as diferenças entre um professor que cursa licenciatura e o que cursa bacharelado e suas futuras carreiras. Ambos recebem o título de matemático? Acesse a postagem e leia o texto por completo.

Aos olhos da lei sou um professor licenciado em Matemática e não um matemático, mesmo tendo estudado disciplinas como: Cálculo Diferencial e Integral, Análise Real, Álgebra Linear, Álgebra Abstrata, entre muitas outras.

Por força de expressão é normal denominarmos um professor licenciado em Matemática de matemático ou um professor licenciado em Física de físico.


Como alguém pode conseguir ser um matemático amador?

Ou seja, apesar da pessoa trabalhar em algo que não utilize Matemática, como ela pode conseguir obter rigor nos estudos o suficiente para entender Calculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear, Sistemas dinâmicos etc.?

É possível! Dependendo do seu nível de paixão, interesse e dedicação, pode ser uma tarefa fácil ou difícil. Cabe a você julgar.

Existem astrônomos amadores, fotógrafos amadores, baterista amador (eu), entre outros. Mesmo eles não tendo uma formação acadêmica isso não impede de estudar a fundo sobre as curiosidades que invadem suas mentes. A pesquisa aliada ao rigor exigido por ela deve ser o caminho certo a seguir.

Geralmente a palavra amador é empregada de forma pejorativa sempre dando parecer que é uma atividade que pode ser exercida por qualquer um e de qualquer jeito. Não é bem assim. Pergunte para um astrônomo amador quantas horas do seu tempo ele dedica em pesquisa e trabalho árduo.

Prefiro pensar que amador é um termo empregado àquela pessoa que dedica amor em alguma função, apenas por pura curiosidade sem receber nenhuma remuneração em troca.

Comumente você lê na internet:
  • Astrônomo amador registra eclipse em Júpiter;
  • Fotógrafo amador registra lindas imagens da via Láctea;
  • Astrônomos amadores ajudam NASA a caçar asteroides;
  • Astrônomos amadores descobrem planeta com quatro sóis;
  • Asteroide atinge Júpiter e astrônomos amadores filmam colisão.

Não gosto do termo, mas sim, você pode estudar e fazer Matemática, desde que siga os mesmos princípios que a regem. O rigor matemático em pesquisas, desenvolvimento e demonstrações são alguns alicerces para que alcance seus objetivos da forma correta sem interpretar axiomas, teoremas, etc., equivocadamente.

Observe nesse texto que a palavra que mais grifei com negrito foi rigor. Acredito que, para quem busca estudar Matemática ou fazer Matemática, deve seguir esse princípio. Não somente o rigor da Matemática que é exigido em suas conjecturas, axiomas e teoremas, afinal, o que seria do método científico sem o rigor das pesquisas, desenvolvimentos e provas.

Se eu não precisasse ser um assalariado, com certeza seria um astrônomo amador e baterista amador. Compraria todos os equipamentos necessários e colocaria mão na massa. Estudando, amando e compartilhando cada momento para o máximo de pessoas que eu puder.

Como um profissional da Educação tenho a "sorte" de ser apaixonado pela licenciatura. Compartilhar, transmitir, doar, receber, pesquisar, estudar, é um prazer que tenho há 14 anos.


O rigor matemático

No Google+ sou muito mais ativo que no Facebook ou Twitter. Por lá, algumas pessoas sempre relatam:

Adoro matemática, mas não consigo entendê-la. Como faço para dominá-la e passar a estudar com mais clareza?

Sei que é contraditório. E o engraçado é que o contrário também acontece, quando um estudante é um "fera" da Matemática que só tira 10, porém, não gosta de Matemática.

A matemática, vista corretamente, possui não apenas verdade, mas também suprema beleza - uma beleza fria e austera, como a da escultura. [matemático Bertrand Russell]

Tratando-se de rigor teórico matemático ele só é conseguido mediante a muita dedicação nas pesquisas e estudos. Estudar Cálculo Diferencial e Integral exige conhecimentos que iniciam no 6º ano do Fundamental II até o 3º ano do Ensino Médio. Por exemplo, tentar calcular derivadas e integrais de funções (afim, quadrática, trigonométricas, etc.) sem dominar o estudo dessas funções é uma tarefa muito difícil, mas não impossível.

Escrevo isso porque sou exemplo de que é possível.

Conto todos os detalhes no artigo que mais gostei de escrever e que mais trouxe um feedback interessante e inesperado. Acesse o artigo Como treinei meu cérebro para me tornar fluente em Matemática.


Fontes de apoio: