Por que menos por mais é igual a menos?

Pouco se sabe, por parte de alunos de nível fundamental e médio, que estas regras de sinais tem sua justificativa com base numa demonstração matemática. É comum ouvir perguntas do porquê, estas regras funcionam e porque são verdadeiras. Já abordei sobre outro tipo de situação também muito comum em outro artigo no blog.

Essa pergunta já foi feita por muitos dos meus alunos. Às vezes eles nem perguntam, eu que pergunto mesmo para incentivar a curiosidade. É que essa resposta não é encontrada diretamente nos currículos/conteúdos dos livros didáticos no Ensino Fundamental II e no Ensino Médio. O porquê eu não sei! [Por que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero?]

Por que qualquer número negativo $(-)$ multiplicado por qualquer número positivo $(+)$ é igual a um número negativo? Ou vice-versa.

Em símbolos:

$(-x).(y)=x.(-y)=-(x.y)$ ; $\forall x\in \mathbb{R}$

Quando se inicia os estudos das operações com números inteiros, muitas dúvidas são geradas por conta destas famosas "regrinhas" matemáticas:

$-$ por $+ = -$

$+$ por $- = -$

$-$ por $- = +$

$+$ por $+ = +$

A seguir uma breve prova matemática da proposição destacada no título deste artigo. Para melhor entendimento, é recomendável ver o post citado acima para entender as propriedades matemáticas (axiomas) que foram usadas nesta demonstração.

A princípio pode parecer meio óbvio, mas é assim mesmo o procedimento.

Demonstração:

A prova matemática será dividida em duas partes.

$1) (x).(y)+(x.y)=(-x+x).y=0.y=0$

Partindo do fato que a expressão acima é verdadeira, pois foi apenas aplicada a propriedade distributiva P1), a propriedade de elemento simétrico (quando $-x+x=0$) e o fato de termos já demonstrado que:

$x.0=0$ ou $y.0=0$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$

Qualquer número multiplicado por zero é igual a zero.

Então: $(-x).y=(x.y)$

$2) (-y)+(x.y)=(-y+y).x=0.x=0$

Partindo do fato que a expressão acima é verdadeira, onde foi aplicada propriedade distributiva, a propriedade de elemento simétrico e o fato de sabermos que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero, temos que:

$y.0=0$ ou $x.0=0$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$

Então: $(-x).y=x.(-y)=-(x.y)$; $\forall x,y\in \mathbb{R}$

c.q.d.

Diferentemente da demonstração de que $x.0=0$, esta se torna um pouco mais abstrata, mas ainda sim pode ser compreendida com um mínimo de raciocínio, basta que atente para as propriedades matemáticas que foram aplicadas rigorosamente.