Desafios matemáticos #38

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Os desafios matemáticos do blog estão de volta. O primeiro desafio matemático do ano, trás na verdade 3 desafios para a sua diversão. Este ...

Os desafios matemáticos do blog estão de volta. O primeiro desafio matemático do ano, trás na verdade 3 desafios para a sua diversão. Este post trás um desafio de nível fundamental, um de nível médio e outro de nível superior. Use seus conhecimentos algébricos, geométricos e muito raciocínio para encontrar as soluções. Tente fazer isso sem a ajuda de ninguém. Não peça ajuda ao Google e nem abra seus livros.

Aceita o desafio?

 Nível Fundamental 

Roberto espetou quatro estacas em um terreno plano e horizontal, formando os vértices de um quadrado de lado 2 m. Na base da estaca A, ele amarrou uma corda de 8 m e esticou até o ponto B. A partir daí, em sentido horário em torno do quadrado, caminhou sempre com a corda esticada, descrevendo a trajetória na figura abaixo. 

Ensino fundamental

Calcule, aproximadamente, a distância caminhada por Roberto. (use $\pi=3,14$)

 Nível Médio 

A quantidade de ração em kg para alimentar os peixes de um cativeiro é $R(p) = 2 \cdot p^{2} + p$, sendo $p$ o número de peixes em milhares desse cativeiro. A população de peixes é, no final de $t$ meses, $p(t) = 2 \cdot t + 3$. Daqui a quantos meses a quantidade de ração necessária será de 1081kg?

 Nível Superior 

Calcule o volume do sólido gerado pela revolução ao redor do eixo $O_{x}$ da superfície limitada pela curva $y=4x-x^{2}$ e pela reta $y=2x$.

Deixe sua resposta devidamente justificada, através de seus cálculos, na sessão de comentários deste artigo. O blog tem suporte a linguagem $/LaTeX$. Veja a página de ajuda logo abaixo.

Boa diversão pra você!

COMENTÁRIOS

BLOGGER: 3
  1. Resposta do Fundamental: 31,4 metros.
    Resposta do Médio: 10 meses.
    Resposta do Superior: $\frac{32\pi}{5}$.

    Por que não coloquei passo-a-passo: quando cliquei em "Visualizar" minha solução foi apagada u.u

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  2. As minhas respostas bateram com a do Anônimo 1 :)

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  3. A primeira questão é só fazer a soma de um quarto de circunferência descontando os raios obtidos a cada vez que se entra em uma nova direção.
    $ C = \frac{2\pi(8+6+4+2)}{4} $

    Já a de nível médio é só substituição e equação quadrática.
    $ R(p_1) = 1081 $ é só achar o valor de p_1, que dá 23, substituindo o 23 na outra equação $ P(t) = 2t+3 = 23 $ encontra-se que $ t = 10 $ meses, lembrando que quando resolvermos a equação quadrática obteremos uma raiz negativa pra solução o que não pode ocorrer na realidade pois não há a possibilidade e existir uma quantidade negativa de peixes.
    Já a última equação faz a integral da função acima menos a integral da função abaixo seguindo o resultado que temos de sólidos de revolução (volume) que é
    $ V = \pi\int_{0}^{2}f(x)^{2}dx $
    que aí vai aparecer uma subtração de polinômios, aí você simplifica e integra os polinômios e que vai dar aproximadamente 20.096 un³, caso queira deixar em fração fica $\frac{32\pi}{5}$

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Desafios matemáticos #38
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