Entenda mais sobre os números naturais antipitagóricos neste artigo convidado.
Lendo o livro As Maravilhas da Matemática, 2ª edição, de autoria de Malba Tahan (pseudônimo do matemático brasileiro Júlio César de Mello e Souza falecido no dia 18 de junho de 1974), página 79 na qual é abordado ternos pitagóricos primitivos, o autor escreveu: 

O mesmo elemento pode figurar em dois ou mais ternos pitagóricos primitivos. Assim, o elemento $5$ figura em dois ternos:
$3, 4, 5$ 
$5, 12, 13$
O elemento $85$ pode ser encontrado em três ternos pitagóricos primitivos:
$36, 77, 85$
$13, 84, 85$
$85, 132, 157$
O elemento $60$ figura em quatro ternos pitagóricos primitivos:
$11, 60, 61$ 
$60, 91, 109$
$60, 201, 229$
$60, 809, 901$
Há números que não figuram em nenhum terno pitagórico. Citemos os seguintes: $47, 59, 67, 71, 79$ etc. A esses números é dada a denominação de números antipitagóricos.

Diante do exposto, o objetivo é mostrar, que o autor cometeu um “lapsu calami” ao afirmar que os número $47, 59, 67, 71, 79$ etc. não figuram em nenhum terno pitagórico. É o que veremos a seguir.

O que são números naturais anti pitagóricos? [Lapsu Calami]

Se os três números naturais $a$, $b$ e $c$ satisfazem a equação $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, então, $a$, $b$ e $c$ são chamados ternos pitagóricos.

Tipos de ternos pitagóricos

Existem dois tipos de ternos pitagóricos: ternos pitagóricos primitivos, quando o $MDC(a,b)=1$ e ternos pitagóricos não primitivos, quando o $MDC(a,b)>1$.  Existem três fórmulas desenvolvidas por Euclides, as quais geram apenas ternos pitagóricos primitivos.

São elas:

$a = x^{2}-y^{2}$ (um dos catetos)
$b = 2.x.y$  (o outro cateto)
$c = x^{2}+y^{2}$ (hipotenusa)

Onde: $x$, $y$ e $z$ números naturais, $x >y$, $x$ e $y$ de paridades opostas.

Segundo Fermat, todo primo da forma $4x +1$ pode ser escrito como soma de dois quadrados de inteiros de maneira única. Portanto, se $a$, $b$ e $c$ forem um terno pitagórico primitivo, então, $c$ é um primo ($p$) da forma $4x +1$ ou um composto ($C$) da forma $p_{1}.p_{2}.p_{3}...p_{n}$, onde $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{n}$ são primos da forma $4x + 1$.

Exemplos:
Se $p=4x+1$, então:
Para $x=1$, implica, $p_{1}=5$
Para $x=3$, implica, $p_{2}=13$ 

$p_{1}=5=2^{2}+1^{2}$ e $p_{2} = 13 = 3^{2} + 2^{2}$.

$a = x^{2} – y^{2} = 2^{2} – 1^{2} = 3$
$b = 2xy = 2.2.1 = 4 $
$c = x^{2} + y^{2} = 2^{2} + 1^{2} = 5$

O trio $(a, b, c) = (3, 4, 5)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $MDC(3, 4) =1$.

$a = x^{2} – y^{2} = 3^{2} – 2^{2} = 5$
$b = 2xy = 2.3.2 = 12$
$c = x^{2} + y^{2} = 3^{2} + 2^{2} = 13$

O trio $(a, b, c) = (5, 12, 13)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $MDC(5, 12) =1$.

$C = p_{1}.p_{2} = 5.13 = 65 = (2^{2} + 1^{2})(3^{2} + 2^{2})$. 

Aplicando números complexos, obtém-se:

$(2^{2} + 1^{2})(3^{2} + 2^{2}) = (2+i)⋅(3+2i)= 4 + 7i$. Logo, $x=7$ e $y=4.$

Portanto: $65=7^{2} + 4^{2}$.

$a = x^{2} – y^{2} = 7^{2} – 4^{2} =33$
$b = 2xy = 2.7.4 =56$
$c = x^{2} + y^{2} = 7^{2} + 4^{2} = 65$

O trio $(a, b, c) = (33, 56, 65)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $MDC(33, 56) =1$.

Será que existe outra maneira de escrever $65$ como soma de dois quadrados de inteiros? Vejamos:

Trocando o sinal de $2 + i$ ou de $3 + 2i$. Troquemos o sinal de $2 + i$:

$(2 − i)(3 + 2i) = 8 + i$

$65 = 82 + 12$

Conclusão: O número $65$ pode ser escrito como soma de dois quadrados de inteiros de duas maneiras distintas: $65 = 7^{2} + 4^{2} = 82 + 12.$

Usando as fórmulas de Euclides mais uma vez, obtém-se: 

$a = x^{2} – y^{2} = 8^{2} – 1^{2} =63$
$b = 2xy = 2.8.1 =16$
$c = x^{2} + y^{2} = 8^{2} + 1^{2} =65$

O trio $(a, b, c) = (63, 16, 65)$ é também um terno pitagórico primitivo, haja vista que $MDC(63, 16) =1$.

Pode-se encontrar, por meio das fórmulas de Euclides, ternos pitagóricos não primitivos; basta multiplicar cada equação por um natural $k > 1$. 

$a = (x^{2} – y^{2})k$
$b = (2.x.y)k$
$c = (x^{2} + y^{2})k$

Como $c = (x^{2} + y^{2})k$, logo, “$c$” é um composto tal que na sua fatoração exista pelo menos um natural (primo ou composto) que possa ser escrito com soma de dois quadrados de inteiros.

Por exemplo: o natural $15$ pode ser hipotenusa de um triângulo retângulo? Sim!... Porque os fatores primos de $15$ são $3$ e $5$ e, além disso, $5 = 2^{2} + 1^{2}$, então, $15$ é a hipotenusa de um triângulo retângulo. Se não, vejamos:

$a = (2^{2} – 1^{2})3 = 9$
$b = (2.2.1)3 = 12$ 
$c = (2^{2} + 1^{2})3 = 15$

O trio $(a, b, c) = (9, 12, 15)$ é um terno pitagórico, mas não é primitivo, haja vista que $MDC(9, 12) > 1$.

Por exemplo: o natural $40$ pode ser hipotenusa de um triângulo retângulo? Sim!... Porque os fatores primos de $40$ são $2, 2, 2$ e $5$ e $40 = (2.5)(2.2) =10.4 = (3^{2} + 1^{2})4$; então, $40$ é a hipotenusa de um triângulo pitagórico. Se não, vejamos:

$a = (2^{2} – 1^{2})8 = 24$
$b = (2.2.1)8 = 32$ 
$c = (2^{2} + 1^{2})8 = 40$

O trio $(a, b, c) = (24, 32, 40)$ é um terno pitagórico, mas não é primitivo, haja vista que $MDC(24, 32) > 1$.

Quais são os números naturais que não podem ser hipotenusa de nenhum triângulo retângulo?

Segundo Fermat, nenhum primo da forma $4x+3$ pode ser escrito como soma de dois quadrados de inteiros. Já que, segundo Fermat, nenhum primo da forma $4x+3$ pode ser escrito como soma de dois quadrados de inteiros, logo, nenhum natural composto cujos fatores primos sejam todos da forma $4x + 3$, não podem ser hipotenusa de nenhum triângulo retângulo.

Esses números naturais eu os batizei com o nome: números antipitagóricos.

Quais são os números naturais antipitagóricos maiores que $1$ e menores que $100$? Escrevendo os números naturais de $1$ a $100$, obtém-se:

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,17,18,19,20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.$

Vejamos quais os números primos da forma $4x + 1$ e $4x + 3$ maiores que $1$ e menores que $100$:

$x$ $4x+1$ $4x+3$
$0$ $1$ $3$
$1$ $5$ $7$
$2$ $9$ $11$
$3$ $13$ $15$
$4$ $17$ $19$
$5$ $21$ $23$
$6$ $25$ $27$
$7$ $29$ $31$
$8$ $33$ $35$
$9$ $37$ $39$
$10$ $41$ $43$
$11$ $45$ $47$
$12$ $49$ $51$
$13$ $53$ $55$
$14$ $57$ $59$
$15$ $61$ $63$
$16$ $65$ $67$
$17$ $69$ $71$
$18$ $73$ $75$
$19$ $77$ $79$
$20$ $81$ $83$
$21$ $85$ $87$
$22$ $89$ $91$
$23$ $93$ $95$
$24$ $97$ $99$


Números primos da forma $4x + 1: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89$ e $97$.

Números primos da forma $4x + 3: 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71,79$ e $83$.

Resta saber quais dos números ímpares e pares compostos, menores que $100$, que podem ser hipotenusa de um triângulo retângulo e quais os que não podem ser hipotenusa de um triângulo retângulo.
  
Números ímpares compostos, menores que $100$, que podem ser hipotenusa de um triângulo retângulo:

$15 = (2^{2} + 1^{2})3$
$35 = (2^{2} + 1^{2})7$ 
$39 = (3^{2} + 2^{2})3$
$45 = (2^{2} + 1^{2})9$ 
$51 = (4^{2} + 1^{2})3$
$55 = (2^{2} + 1^{2})11$
$65 = (2^{2} + 1^{2})13$ ou $65 = (3^{2} + 2^{2})5$ 
$75 = (2^{2} + 1^{2})25$ ou $(4^{2} + 3^{2})5$ 
$85 = (2^{2} + 1^{2})17$ ou $85 = (4^{2} + 1^{2})5$ 
$87 = (5^{2} + 2^{2})3$ 
$91 = (3^{2} + 2^{2})7$
$95 = (2^{2} + 1^{2})19$

Números ímpares compostos, menores que $100$, que não podem ser hipotenusa de um triângulo retângulo: $9, 21, 33, 49, 57, 69, 77, 81, 93, 27, 93, 63, 99.$

Números pares compostos, menores que $100$, que podem ser hipotenusa de um triângulo retângulo:

$10 = (2^{2} + 1^{2})2 = 3^{2} + 1^{2}$
$20 = (2^{2} + 1^{2})4$ 
$26 = (3^{2} + 2^{2})2$
$30 = (2^{2} + 1^{2})6$ 
$34 = (4^{2} + 1^{2})2$
$40 = (2^{2} + 1^{2})8$
$50 = (2^{2} + 1^{2})10$ ou $50 = (3^{2} + 1^{2})5$ 
$52 = (3^{2} + 2^{2})4$ 
$58 = (5^{2} + 2^{2})2$ 
$60 = (2^{2} + 1^{2})12$ 
$68 = (4^{2} + 1^{2})4$
$70 = (2^{2} + 1^{2})14$ ou $70 = (3^{2} + 1^{2})7$
$74 = (6^{2} + 1^{2})2$
$78 = (3^{2} + 2^{2})6$
$80 = (2^{2} + 1^{2})16$
$82 = (5^{2} + 4^{2})2$
$90 = (2^{2} + 1^{2})18$

Números pares compostos, menores que $100$, que não podem ser hipotenusa de um triângulo retângulo: $4, 6, 8, 12, 14, 16, 22, 24, 28, 32, 36, 38, 42, 44, 46, 48, 54, 56, 62, 64, 66, 72, 76, 84, 86, 88, 92, 94, 96$ e $98.$

Conclusão

Os números naturais antipitagóricos, maiores que $1$ e menores que $100$, são: $4,6,7,8,9,11,12,14,16,19,21,22,23,24,27,28,31,32,33,36,38,42,43,44,46,47,48,49,54,56,57,59,62,63,64,66,67,69,71,72,76,77,79,81,83,84,86,88,92,93,94,96,98$ e $99.$

Portanto, entre $3$ e $100$, há 54 números naturais antipitagóricos.

Os números naturais $47, 59, 67, 71, 79$ etc., não figuram em nenhum terno pitagórico, como o maior elemento (hipotenusa), mas figuram em qualquer terno pitagórico como o menor elemento (cateto menor). Se não, vejamos: 

$47, 1104, 1105$
$59, 1740, 1741$
$67, 2244, 2245$

E assim sucessivamente.

Pode-se afirmar que: todo número natural maior ou igual a três figura em qualquer terno pitagórico.

Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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6 comentários:

  1. é raro encontrar alguém que enxerga tanta beleza, desafio, emoção e paixão na matemática.

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  2. O 25 é um número ímpar composto e não aparece na lista das possíveis hipotenusas: T (25,24,7). Fernando Manso.

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  3. Há mais um erro cometido por Júlio César de Mello e Souza: o natural 85, figura em QUATRO ternos pitagóricos primitivos e não TRÊS, conforme afirma o autor. Além dos apresentados ainda existe T ( 3613, 3612, 85). Fernando Manso.

    ResponderExcluir
  4. Prezado Professor Edigley,
    como vai tudo bem?

    No referido tópico:

    "Tipos de ternos pitagóricos

    Existem dois tipos de ternos pitagóricos: ternos pitagóricos primitivos, quando o MDC(a,b)=1 e ternos pitagóricos não primitivos, quando o MDC(a,b)>1. Existem três fórmulas desenvolvidas por Euclides, as quais geram apenas ternos pitagóricos primitivos."

    onde se lê "...apenas ternos pitagóricos primitivos", a palavra "apenas" acredito estar sendo utilizada de forma incorreta, pois

    estudos publicados no livro Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas demostram que as Fórmulas de Euclides geram:
    TERNOS PRIMITIVOS DE ORDEM TRIANGULAR
    TERNOS PRIMITIVOS DE ORDEM NÃO TRIANGULAR
    TERNOS DERIVADOS PARES
    TERNOS DERIVADOS ÍMPARES
    TERNOS "RAROS"
    e outro recente artigo publicado (JUNHO-2018) no site OS FANTÁSTICOS NÚMEROS PRIMOS demonstram que por meio de QUADRADO MÁGICO PITAGÓRICO DE ORDEM 3X3 foi possível obter ternos pitagóricos que a FÓRMULAS DE EUCLIDES não foi "capaz" de gerarem.

    Convido-o para visitar o site e ver o artigo.

    Um grande abraço

    Ricardo

    Os Fantásticos Números Primos

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá, Ricardo!

      O comentário é repassado para o autor da postagem.

      Obrigado por sua presença no blog.

      Abraço!

      Excluir