Entenda mais sobre os números naturais antipitagóricos neste artigo convidado.
Lendo o livro As Maravilhas da Matemática, 2ª edição, de autoria de Malba Tahan (pseudônimo do matemático brasileiro Júlio César de Mello e Souza falecido no dia 18 de junho de 1974), página 79 na qual é abordado ternos pitagóricos primitivos, o autor escreveu:
O mesmo elemento pode figurar em dois ou mais ternos pitagóricos primitivos. Assim, o elemento $5$ figura em dois ternos:
$3, 4, 5$$5, 12, 13$O elemento $85$ pode ser encontrado em três ternos pitagóricos primitivos:
$36, 77, 85$$13, 84, 85$$85, 132, 157$O elemento $60$ figura em quatro ternos pitagóricos primitivos:
$11, 60, 61$$60, 91, 109$$60, 201, 229$$60, 809, 901$Há números que não figuram em nenhum terno pitagórico. Citemos os seguintes: $47, 59, 67, 71, 79$ etc. A esses números é dada a denominação de números antipitagóricos.
Diante do exposto, o objetivo é mostrar, que o autor cometeu um “lapsu calami” ao afirmar que os número $47, 59, 67, 71, 79$ etc. não figuram em nenhum terno pitagórico. É o que veremos a seguir.
Se os três números naturais $a$, $b$ e $c$ satisfazem a equação $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, então, $a$, $b$ e $c$ são chamados ternos pitagóricos.
Tipos de ternos pitagóricos
Existem dois tipos de ternos pitagóricos: ternos pitagóricos primitivos, quando o $MDC(a,b)=1$ e ternos pitagóricos não primitivos, quando o $MDC(a,b)>1$. Existem três fórmulas desenvolvidas por Euclides, as quais geram apenas ternos pitagóricos primitivos.
São elas:
$a = x^{2}-y^{2}$ (um dos catetos)
$b = 2.x.y$ (o outro cateto)
$c = x^{2}+y^{2}$ (hipotenusa)
Onde: $x$, $y$ e $z$ números naturais, $x >y$, $x$ e $y$ de paridades opostas.
São elas:
$a = x^{2}-y^{2}$ (um dos catetos)
$b = 2.x.y$ (o outro cateto)
$c = x^{2}+y^{2}$ (hipotenusa)
Onde: $x$, $y$ e $z$ números naturais, $x >y$, $x$ e $y$ de paridades opostas.
Segundo Fermat, todo primo da forma $4x +1$ pode ser escrito como soma de dois quadrados de inteiros de maneira única. Portanto, se $a$, $b$ e $c$ forem um terno pitagórico primitivo, então, $c$ é um primo ($p$) da forma $4x +1$ ou um composto ($C$) da forma $p_{1}.p_{2}.p_{3}...p_{n}$, onde $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{n}$ são primos da forma $4x + 1$.
Exemplos:
Se $p=4x+1$, então:
Para $x=1$, implica, $p_{1}=5$
Para $x=3$, implica, $p_{2}=13$
$p_{1}=5=2^{2}+1^{2}$ e $p_{2} = 13 = 3^{2} + 2^{2}$.
$a = x^{2} – y^{2} = 2^{2} – 1^{2} = 3$
$b = 2xy = 2.2.1 = 4 $
$c = x^{2} + y^{2} = 2^{2} + 1^{2} = 5$
O trio $(a, b, c) = (3, 4, 5)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $MDC(3, 4) =1$.
$a = x^{2} – y^{2} = 3^{2} – 2^{2} = 5$
$b = 2xy = 2.3.2 = 12$
$c = x^{2} + y^{2} = 3^{2} + 2^{2} = 13$
O trio $(a, b, c) = (5, 12, 13)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $MDC(5, 12) =1$.
$C = p_{1}.p_{2} = 5.13 = 65 = (2^{2} + 1^{2})(3^{2} + 2^{2})$.
Aplicando números complexos, obtém-se:
$(2^{2} + 1^{2})(3^{2} + 2^{2}) = (2+i)⋅(3+2i)= 4 + 7i$. Logo, $x=7$ e $y=4.$
Portanto: $65=7^{2} + 4^{2}$.
$a = x^{2} – y^{2} = 7^{2} – 4^{2} =33$
$b = 2xy = 2.7.4 =56$
$c = x^{2} + y^{2} = 7^{2} + 4^{2} = 65$
O trio $(a, b, c) = (33, 56, 65)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $MDC(33, 56) =1$.
Será que existe outra maneira de escrever $65$ como soma de dois quadrados de inteiros? Vejamos:
Trocando o sinal de $2 + i$ ou de $3 + 2i$. Troquemos o sinal de $2 + i$:
$(2 − i)(3 + 2i) = 8 + i$
$65 = 82 + 12$
Conclusão: O número $65$ pode ser escrito como soma de dois quadrados de inteiros de duas maneiras distintas: $65 = 7^{2} + 4^{2} = 82 + 12.$
Usando as fórmulas de Euclides mais uma vez, obtém-se:
$a = x^{2} – y^{2} = 8^{2} – 1^{2} =63$
$b = 2xy = 2.8.1 =16$
$c = x^{2} + y^{2} = 8^{2} + 1^{2} =65$
O trio $(a, b, c) = (63, 16, 65)$ é também um terno pitagórico primitivo, haja vista que $MDC(63, 16) =1$.
Pode-se encontrar, por meio das fórmulas de Euclides, ternos pitagóricos não primitivos; basta multiplicar cada equação por um natural $k > 1$.
$a = (x^{2} – y^{2})k$
$b = (2.x.y)k$
$c = (x^{2} + y^{2})k$
Como $c = (x^{2} + y^{2})k$, logo, “$c$” é um composto tal que na sua fatoração exista pelo menos um natural (primo ou composto) que possa ser escrito com soma de dois quadrados de inteiros.
Por exemplo: o natural $15$ pode ser hipotenusa de um triângulo retângulo? Sim!... Porque os fatores primos de $15$ são $3$ e $5$ e, além disso, $5 = 2^{2} + 1^{2}$, então, $15$ é a hipotenusa de um triângulo retângulo. Se não, vejamos:
$a = (2^{2} – 1^{2})3 = 9$
$b = (2.2.1)3 = 12$
$c = (2^{2} + 1^{2})3 = 15$
O trio $(a, b, c) = (9, 12, 15)$ é um terno pitagórico, mas não é primitivo, haja vista que $MDC(9, 12) > 1$.
Por exemplo: o natural $40$ pode ser hipotenusa de um triângulo retângulo? Sim!... Porque os fatores primos de $40$ são $2, 2, 2$ e $5$ e $40 = (2.5)(2.2) =10.4 = (3^{2} + 1^{2})4$; então, $40$ é a hipotenusa de um triângulo pitagórico. Se não, vejamos:
$a = (2^{2} – 1^{2})8 = 24$
$b = (2.2.1)8 = 32$
$c = (2^{2} + 1^{2})8 = 40$
O trio $(a, b, c) = (24, 32, 40)$ é um terno pitagórico, mas não é primitivo, haja vista que $MDC(24, 32) > 1$.
Quais são os números naturais que não podem ser hipotenusa de nenhum triângulo retângulo?
Segundo Fermat, nenhum primo da forma $4x+3$ pode ser escrito como soma de dois quadrados de inteiros. Já que, segundo Fermat, nenhum primo da forma $4x+3$ pode ser escrito como soma de dois quadrados de inteiros, logo, nenhum natural composto cujos fatores primos sejam todos da forma $4x + 3$, não podem ser hipotenusa de nenhum triângulo retângulo.
Esses números naturais eu os batizei com o nome: números antipitagóricos.
Quais são os números naturais antipitagóricos maiores que $1$ e menores que $100$? Escrevendo os números naturais de $1$ a $100$, obtém-se:
$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,17,18,19,20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.$
Vejamos quais os números primos da forma $4x + 1$ e $4x + 3$ maiores que $1$ e menores que $100$:
$x$ | $4x+1$ | $4x+3$ |
$0$ | $1$ | $3$ |
$1$ | $5$ | $7$ |
$2$ | $9$ | $11$ |
$3$ | $13$ | $15$ |
$4$ | $17$ | $19$ |
$5$ | $21$ | $23$ |
$6$ | $25$ | $27$ |
$7$ | $29$ | $31$ |
$8$ | $33$ | $35$ |
$9$ | $37$ | $39$ |
$10$ | $41$ | $43$ |
$11$ | $45$ | $47$ |
$12$ | $49$ | $51$ |
$13$ | $53$ | $55$ |
$14$ | $57$ | $59$ |
$15$ | $61$ | $63$ |
$16$ | $65$ | $67$ |
$17$ | $69$ | $71$ |
$18$ | $73$ | $75$ |
$19$ | $77$ | $79$ |
$20$ | $81$ | $83$ |
$21$ | $85$ | $87$ |
$22$ | $89$ | $91$ |
$23$ | $93$ | $95$ |
$24$ | $97$ | $99$ |
Números primos da forma $4x + 1: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89$ e $97$.
Números primos da forma $4x + 3: 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71,79$ e $83$.
Resta saber quais dos números ímpares e pares compostos, menores que $100$, que podem ser hipotenusa de um triângulo retângulo e quais os que não podem ser hipotenusa de um triângulo retângulo.
Números ímpares compostos, menores que $100$, que podem ser hipotenusa de um triângulo retângulo:
$15 = (2^{2} + 1^{2})3$
$35 = (2^{2} + 1^{2})7$
$39 = (3^{2} + 2^{2})3$
$45 = (2^{2} + 1^{2})9$
$51 = (4^{2} + 1^{2})3$
$55 = (2^{2} + 1^{2})11$
$65 = (2^{2} + 1^{2})13$ ou $65 = (3^{2} + 2^{2})5$
$75 = (2^{2} + 1^{2})25$ ou $(4^{2} + 3^{2})5$
$85 = (2^{2} + 1^{2})17$ ou $85 = (4^{2} + 1^{2})5$
$87 = (5^{2} + 2^{2})3$
$91 = (3^{2} + 2^{2})7$
$95 = (2^{2} + 1^{2})19$
Números ímpares compostos, menores que $100$, que não podem ser hipotenusa de um triângulo retângulo: $9, 21, 33, 49, 57, 69, 77, 81, 93, 27, 93, 63, 99.$
Números pares compostos, menores que $100$, que podem ser hipotenusa de um triângulo retângulo:
$10 = (2^{2} + 1^{2})2 = 3^{2} + 1^{2}$
$20 = (2^{2} + 1^{2})4$
$26 = (3^{2} + 2^{2})2$
$30 = (2^{2} + 1^{2})6$
$34 = (4^{2} + 1^{2})2$
$40 = (2^{2} + 1^{2})8$
$50 = (2^{2} + 1^{2})10$ ou $50 = (3^{2} + 1^{2})5$
$52 = (3^{2} + 2^{2})4$
$58 = (5^{2} + 2^{2})2$
$60 = (2^{2} + 1^{2})12$
$68 = (4^{2} + 1^{2})4$
$70 = (2^{2} + 1^{2})14$ ou $70 = (3^{2} + 1^{2})7$
$74 = (6^{2} + 1^{2})2$
$78 = (3^{2} + 2^{2})6$
$80 = (2^{2} + 1^{2})16$
$82 = (5^{2} + 4^{2})2$
$90 = (2^{2} + 1^{2})18$
Números pares compostos, menores que $100$, que não podem ser hipotenusa de um triângulo retângulo: $4, 6, 8, 12, 14, 16, 22, 24, 28, 32, 36, 38, 42, 44, 46, 48, 54, 56, 62, 64, 66, 72, 76, 84, 86, 88, 92, 94, 96$ e $98.$
Conclusão
Os números naturais antipitagóricos, maiores que $1$ e menores que $100$, são: $4,6,7,8,9,11,12,14,16,19,21,22,23,24,27,28,31,32,33,36,38,42,43,44,46,47,48,49,54,56,57,59,62,63,64,66,67,69,71,72,76,77,79,81,83,84,86,88,92,93,94,96,98$ e $99.$
Portanto, entre $3$ e $100$, há 54 números naturais antipitagóricos.
Os números naturais $47, 59, 67, 71, 79$ etc., não figuram em nenhum terno pitagórico, como o maior elemento (hipotenusa), mas figuram em qualquer terno pitagórico como o menor elemento (cateto menor). Se não, vejamos:
$47, 1104, 1105$
$59, 1740, 1741$
$67, 2244, 2245$
E assim sucessivamente.
Pode-se afirmar que: todo número natural maior ou igual a três figura em qualquer terno pitagórico.
Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.
é raro encontrar alguém que enxerga tanta beleza, desafio, emoção e paixão na matemática.
ResponderExcluirCada vez mais raro mesmo.
ExcluirO 25 é um número ímpar composto e não aparece na lista das possíveis hipotenusas: T (25,24,7). Fernando Manso.
ResponderExcluirHá mais um erro cometido por Júlio César de Mello e Souza: o natural 85, figura em QUATRO ternos pitagóricos primitivos e não TRÊS, conforme afirma o autor. Além dos apresentados ainda existe T ( 3613, 3612, 85). Fernando Manso.
ResponderExcluirPrezado Professor Edigley,
ResponderExcluircomo vai tudo bem?
No referido tópico:
"Tipos de ternos pitagóricos
Existem dois tipos de ternos pitagóricos: ternos pitagóricos primitivos, quando o MDC(a,b)=1 e ternos pitagóricos não primitivos, quando o MDC(a,b)>1. Existem três fórmulas desenvolvidas por Euclides, as quais geram apenas ternos pitagóricos primitivos."
onde se lê "...apenas ternos pitagóricos primitivos", a palavra "apenas" acredito estar sendo utilizada de forma incorreta, pois
estudos publicados no livro Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas demostram que as Fórmulas de Euclides geram:
TERNOS PRIMITIVOS DE ORDEM TRIANGULAR
TERNOS PRIMITIVOS DE ORDEM NÃO TRIANGULAR
TERNOS DERIVADOS PARES
TERNOS DERIVADOS ÍMPARES
TERNOS "RAROS"
e outro recente artigo publicado (JUNHO-2018) no site OS FANTÁSTICOS NÚMEROS PRIMOS demonstram que por meio de QUADRADO MÁGICO PITAGÓRICO DE ORDEM 3X3 foi possível obter ternos pitagóricos que a FÓRMULAS DE EUCLIDES não foi "capaz" de gerarem.
Convido-o para visitar o site e ver o artigo.
Um grande abraço
Ricardo
Os Fantásticos Números Primos
Olá, Ricardo!
ExcluirO comentário é repassado para o autor da postagem.
Obrigado por sua presença no blog.
Abraço!