A função do 2º grau aplicada em uma atividade do setor agrícola

Como um fazendeiro (ou quem cuida das suas contas) utiliza uma função do 2º grau para responder uma pergunta curiosa sobre sua receita?

Qual a serventia que tem ensinar sobre funções do 2º grau sem mostrar nem uma (uma só) aplicação na vida real? Talvez o caro leitor (aluno ou seus pais) responda: se pensar nessa pergunta baseando-me naquilo que me “ensinaram” nas escolas “chatas” da vida, afirmaria: PARA NADA! No entanto, pensando melhor sobre o assunto, responderia: PARA SER COBRADA NAS PROVAS! Porém, meditando compenetradamente no tema, diria: TAÍ ALGO QUE REALMENTE NÃO SEI?

Não sei se o leitor (aluno ou seus pais) que está frequentando, ou aquele que já frequentou a escola do ensino Fundamental, concorda com a resposta. Sinceramente, concordo. Concordo, porque durante o período que frequentei a escola do Ensino Fundamental (antigos primário e ginásio) em momento algum tive a oportunidade de ver, em sala de aula, uma só aplicação da equação do 2º grau.

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Diante do exposto, vamos ver uma aplicação da função do 2º grau nas atividades de um criador de bois.

Flagrante da vida real

Um fazendeiro tem uma criação de 200 bois, cada um pesando 300 quilos. Até agora ele gastou $\text{R}\$\ 380.000,00$ para criar os bois e continuará gastando $\text{R}\$\ 2,00$ por dia para manter um boi. Os bois aumentam de peso a uma razão de 1,6 quilo por dia.

Seu preço de venda, hoje, é de $\text{R}\$\ 18,00$ o quilo, mas o preço cai 5 centavos por dia. A cada 65 dias o fazendeiro pesa cada boi para saber se o peso está ideal para o abate.

O fazendeiro notou que o lucro, a cada dia, vinha subindo, mas em três dias consecutivos ocorreu algo estranho: no 2º dia, dos três dias consecutivos, o lucro foi maior que o lucro do 1º dia, dos três dias consecutivos, e no 3º dia, dos três dias consecutivos, o lucro voltou ao mesmo valor do lucro do 1º dia, dos três dias consecutivos.

O fazendeiro quer saber como se explica esse algo estranho e, além disso, quantos dias deverá aguardar para maximizar seu lucro.

Vamos mostrar, por meio da função do 2º grau, que não houve algo de estranho. É o que veremos a seguir.

Sejam $RT$, $CT$, $L$ e $d$, respectivamente, receita total, custo total, lucro e dia.

Vamos determinar a função receita

Preço do boi por dia: $18 - 0,05 \cdot d$
Quantidade de quilos por dia: $(300 + 1,6\cdot d)\cdot200 = 60000 + 320\cdot d$
$RT = (preço) \cdot (quantidade) = (18 - 0,05 \cdot d) \cdot (60000 + 320 \cdot d)$

Vamos determinar a função custo

Custo diário por boi: $2 \cdot d$
Custo diário para 200 bois: $(2\cdot d)\cdot 200 = 400\cdot d$
Custo fixo: $\text{R}\$\ 380.000,00$

$CT = 380000 + 400 \cdot d$
$L = RT – CT = (18 – 0,05 \cdot d) \cdot (60000 + 320 \cdot d)-(380000 + 400 \cdot d)$
$L(d) = -16d^{2}+2000 \cdot d+700000$                                                        (1)

Já que a função (1) é do 2º grau ($f(d)=a \cdot d^{2}+b \cdot d+c=0$, com $a=-16$, $b=2000$ e $c=700000$), logo, seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente de $d^{2}$ é negativo, então, a função (1) atinge o máximo no vértice da parábola. Como o vértice da parábola é dado por:

$V_{d}=\cfrac{-b}{2a}$ e como $b=2000$ e $a=-16$, temos:

$V_{d}=\cfrac{-2000}{2 \cdot (-16)}=\cfrac{-2000}{-32}=62,5$

Como $d=62,5$, logo, o fazendeiro deverá aguardar $62,5$ dias para maximizar seu lucro. 

Vamos mostrar por meio da função lucro, os lucros obtidos pelo fazendeiro nos 1º, 2º e 3º dias dos três dias consecutivos. Como $d=62,5$, logo:

No 1º dia dos três dias consecutivos, $d=61,5$:

$L(61,5) = -16 \cdot (61,5)^{2}+2000 \cdot (61,5) + 700000=$ $\text{R}\$\ 762.484,00$.

No 2º dia dos três dias consecutivos, $d=62,5$:

$L(62,5) = -16 \cdot (62,5)^{2}+2000 \cdot (62,5) + 700000=$ $\text{R}\$\ 762.500,00$.

No 3º dia dos três dias consecutivos, $d=63,5$:

$L(63,5) = -16 \cdot (63,5)^{2}+2000 \cdot (63,5) + 700000=$ $\text{R}\$\ 762.484,00$.

Portanto, os lucros que o fazendeiro notou no 1º e no 3º dia dos três dias consecutivos, são iguais. E o lucro do 2º dia dos três dias consecutivos é maior do que os lucros do 1º e do 3º dia dos três dias consecutivos, ou seja, é o lucro máximo.

Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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