Como extrair a raiz quadrada de um número quadrado perfeito sem usar o método tradicional da fatoração?

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A matemática deve ser lecionada no Ensino Fundamental, como algo útil para o aluno, e não como informação exclusiva a ser cobrada em provas e exames finais. Pois, embora não pareça, aquelas aulas sofridas sobre extração de raiz quadrada, há vários anos, onde o professor me mostrava conhecimentos, em matemática, em vez de aplicá-los.

Em Matemática Rio no blog do professor Rafael Procópio, por meio do You Tube, é apresentada uma maneira rápida para extrair a raiz quadrada de um número quadrado perfeito. Só que o professor Rafael Procópio não apresenta nem um (um só) problema relacionado com a vida real do leitor (ou aluno) resolvido com a técnica apresentada no blog.

Para extrair a raiz quadrada de um número quadrado perfeito são necessários três passos, os quais são:

1º passo: descobrir qual o algarismo das unidades da raiz quadrada; ao descobrir o algarismo das unidades da raiz quadrada, passa-se para o 2º passo;

2º passo: elimina-se, da direita para a esquerda, o segundo algarismo do número do radicando. Terminado o segundo passo, passa-se para o terceiro passo;

3º passo: Como no primeiro passo foi descoberto o algarismo das unidades da raiz quadrada e foi eliminado o segundo algarismo da direita para a esquerda do número do radicando, logo, se o número do radicando tiver três algarismos só resta um algarismo para ser analisado.

Esse algarismo vai determinar o algarismo das dezenas; se o número do radicando tiver quatro algarismos só restam dois algarismos para serem analisados. Esses dois algarismos vão determinar o algarismo das dezenas. E assim por diante. Vejamos alguns exemplos:

Como extrair a raiz quadrada de um número quadrado perfeito sem usar o método tradicional da fatoração?

Exemplo 01) Sabendo-se que $576$ é um quadrado perfeito, pergunta-se: qual a sua raiz quadrada?

Resolução sem usar método tradicional

1º passo: como o último algarismo do número $576$ é um $6$, logo, o algarismo das unidades da raiz quadrada de $576$, só pode ser: $4$ ou $6$, haja vista que tanto $4^{2}$ como $6^{2}$ terminam em $6$.

2º passo: eliminemos o $7$ do número $576$, haja vista que é o segundo algarismo da direita para a esquerda.

3º passo: como o número do radicando tem três algarismos, só resta o $5$. Por meio do $5$ vamos determinar o algarismo das dezenas da raiz quadrada de $576$. Qual é o menor número que elevado ao quadrado é próximo de $5$ por falta? Só pode ser o $2$, haja vista que $2^{2}=4$. Logo, $2$ é o algarismo das dezenas da raiz quadrada de $576$.

Portanto, já sabemos que a raiz quadrada do número $576$ é $24$ ou $26$. Como o sucessor de $2$, é $3$, logo, $2 \cdot 3=6$. Como $5 < 6$, e $24 < 26$, logo, vamos escolher para a raiz quadrada de $576$ o menor número que é $24$.

Portanto, a raiz quadrada de $576$ é $24$, ou seja, $\sqrt{576}=24$.

Resolução usando o método tradicional

Fatorando $576$, obtém-se: $576=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3=2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2}$ Portanto, $\sqrt{576}=24$.

Exemplo 02) Sabendo-se que $1849$ é um quadrado perfeito, pergunta-se: qual a sua raiz quadrada?

Resolução sem usar método tradicional

1º passo: como o último algarismo do número $1849$ é um $9$, logo, o algarismo das unidades da raiz quadrada de $1849$, só pode ser: $3$ ou $7$, haja vista que tanto $3^{2}$ como $7^{2}$ terminam em $9$;

2º passo: eliminemos o $4$ do número $1849$, haja vista que é o segundo algarismo da direita para a esquerda;

3º passo: como o número do radicando tem quatro algarismos, só resta $18$. Por meio do $18$, vamos determinar o algarismo das dezenas da raiz quadrada de $1849$.

Qual é o menor número que elevado ao quadrado é próximo de $18$ por falta? Só pode ser o $4$, haja vista que $4^{2}=16$. Logo, $4$ é o algarismo das dezenas da raiz quadrada de $1849$. Portanto, já sabemos que a raiz quadrada do número $1849$ é $43$ ou $47$.

Como o sucessor de $4$, é $5$, logo, $4 \cdot 5=20$. Como $18 < 20$, e $43 < 47$, logo, vamos escolher para a raiz quadrada de $1849$ o menor número que é $43$. Portanto, a raiz quadrada de $1849$ é $43$, ou seja, $\sqrt{1849}=43$.

Resolução usando o método tradicional

Fatorando $1849$, obtém-se $43 \cdot 43=43^{2}$. Portanto, $\sqrt{1849}=43$.

Problemas de ENEM, vestibulares e OBMEP

Problemas relacionados com o teorema de Pitágoras já caiu em olimpíadas, ENEM, vestibulares, etc. Vejamos um deles:

Problema 1:

Os três lados $(a < b < c)$ de um triângulo retângulo são expressos em números inteiros; se o cateto menor $(a)$ mede $18cm$ e o maior $(b)$ mede $80cm$, pergunta-se: qual a medida da hipotenusa $(c)$?

Resolução:

O enunciado do teorema de Pitágoras é: o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Portanto: $c^{2}=a^{2}+b^{2}$.

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
$c^{2}=18^{2}+80^{2}$
$c^{2}=324 + 6400$
$c^{2}=6724$
$c=\sqrt{6724}$

Vamos usar os três passos para encontrar a raiz quadrada de $6724$.

1º passo: como o último algarismo do número $6724$ é um $4$, logo, o algarismo das unidades da raiz quadrada de $6724$, só pode ser: $2$ ou $8$, haja vista que tanto $2^{2}$ como $8^{2}$ terminam em $4$;

2º passo: eliminemos o $2$ do número $6724$, haja vista que é o segundo algarismo da direita para a esquerda;

3º passo: como o número do radicando tem quatro algarismos, só resta $67$. Por meio do $67$, vamos determinar o algarismo das dezenas da raiz quadrada de $6724$. Qual é o menor número que elevado ao quadrado é próximo de $67$ por falta? Só pode ser $8$, haja vista que $8^{2}=64$. Logo, $8$ é o algarismo das dezenas da raiz quadrada de $6724$.

Portanto, já sabemos que a raiz quadrada do número $6724$ é $82$ ou $88$. Como o sucessor de $8$, é $9$, logo, $8 \cdot 9=72$. Como $67 < 72$, e $82 < 88$, logo, vamos escolher para a raiz quadrada de $6724$ o menor número que é $82$.

Portanto, a raiz quadrada de $6724$ é $82$, ou seja, $\sqrt{6724}=82$.

Resposta. A medida da hipotenusa é $82cm$.

Problema 2:

Vejamos outro problema relacionado com o teorema de Pitágoras que caiu na olimpíada da OBMEP: 

Os três lados $(a < b < c)$ de um triângulo retângulo são expressos em números inteiros; se o cateto menor $(a)$ mede $40cm$ e o maior $(b)$ mede $42cm$, pergunta-se: qual a medida da hipotenusa $(c)$? 

Resolução:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
$c^{2}=40^{2}+42^{2}$
$c^{2}=1600+1764$
$c^{2}=3364$
$c=\sqrt{3364}$

Vamos usar os três passos para encontrar a raiz quadrada de $3364$.

1º passo: como o último algarismo do número $3364$ é um $4$, logo, o algarismo das unidades da raiz quadrada de $3364$, só pode ser: $2$ ou $8$, haja vista que tanto $2^{2}$ como $8^{2}$ terminam em $4$;

2º passo: eliminemos o $6$ do número $3364$, haja vista que é o segundo algarismo da direita para a esquerda;

3º passo: como o número do radicando tem quatro algarismos, só resta $33$. Por meio do $33$, vamos determinar o algarismo das dezenas da raiz quadrada de $3364$.

Qual é o menor número que elevado ao quadrado é próximo de $33$ por falta? Só pode ser $5$, haja vista que $5^{2}=25$. Logo, $5$ é o algarismo das dezenas da raiz quadrada de $3364$. Portanto, já sabemos que a raiz quadrada do número $3364$ é $52$ ou $58$.

Como o sucessor de $5$, é $6$, logo, $5 \cdot 6=30$. Como $33 >30$ e $58 > 52$, logo, vamos escolher para a raiz quadrada de $3364$ o maior número que é $58$. Portanto, a raiz quadrada de $3364$ é $58$, ou seja, $\sqrt{3364}=58$.

Resposta. A medida da hipotenusa é $58cm$.

Conclusão

Para que ensinar, no Ensino Fundamental, a extração de raiz quadrada, somente pelo fato de esse assunto fazer parte do currículo do Ministério da Educação? Para mim é coisa que, isolada, não significa absolutamente nada. Pior: atrapalha a carreira de muitos jovens.

Como podemos esperar algum resultado do ensino da matemática, se cujas ementas não mencionam aplicações? Ou será que o que consta nas ementas é apenas para ser cobrado nas provas?

Como seria estimulante, para todos os alunos, se o professor mostrasse o quanto é poderoso e fundamental aquilo que estão aprendendo!

A matemática deve ser lecionada no Ensino Fundamental, como algo útil para o aluno, e não como informação exclusiva a ser cobrada em provas e exames finais. Pois, embora não pareça, aquelas aulas sofridas sobre extração de raiz quadrada, há vários anos, onde o professor me mostrava conhecimentos, em matemática, em vez de aplicá-los.

Onde poderia e deveria aplicar a extração da raiz quadrada nas minhas necessidades do dia a dia. Só assim o ensino da matemática do Ensinos Fundamental cumpriria de fato o seu papel, que é o de preparar o aluno para a vida.

Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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Como extrair a raiz quadrada de um número quadrado perfeito sem usar o método tradicional da fatoração?
A matemática deve ser lecionada no Ensino Fundamental, como algo útil para o aluno, e não como informação exclusiva a ser cobrada em provas e exames finais. Pois, embora não pareça, aquelas aulas sofridas sobre extração de raiz quadrada, há vários anos, onde o professor me mostrava conhecimentos, em matemática, em vez de aplicá-los.
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