Como dividir um cubo em três cubos

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O objetivo deste trabalho é tentar ressaltar a importância da pesquisa científica, e especificamente matemática, sobre os fatos relevantes envolvendo o Último Teorema de Fermat.

O objetivo deste trabalho é tentar ressaltar a importância da pesquisa científica, e especificamente matemática, sobre os fatos relevantes envolvendo o Último Teorema de Fermat.

Com a apresentação desses fatos, tenta-se mostrar que a matemática é uma importante aliada para o benefício da sociedade visto que suas descobertas têm aplicação prática, mesmo que não seja imediata, ajudando a compreender fenômenos físicos, químicos, biológicos etc., que estão intimamente ligados ao nosso cotidiano, e do qual dependemos para viver e progredir como sociedade.

O Último Teorema de Fermat foi utilizado como exemplo, a fim de mostrar como a matemática pode ser instigante e desafiadora, sendo uma ciência viva e dinâmica, e tentar desvincular dela a imagem de algo enfadonho e inútil; uma forma branda de tortura. Deve ficar claro na mente de quem ler este trabalho, que não é a matemática enfadonha ou inútil, e se é essa a imagem que a pessoa tem, isso se deve a maneira como a matemática foi apresentada a ela.

Esperamos que se possa compreender a relevância da matemática para o desenvolvimento do mundo contemporâneo, não a culpada por prováveis dificuldades no sistema educativo.

Como dividir um cubo em três cubos

Fermat, analisando observações a respeito do teorema de Pitágoras, se depara com a equação $x^{2}+y^{2}=z^{2}$. Substituindo o $2$ por $3$ percebeu que não havia solução, e substituindo o valor da potência por números maiores que $3$ a equação continuava não apresentando solução. A partir daí chegou a uma outra equação mais geral $x^{n}+y^{n}=z^{n}$, onde $n$ representa $3$, $4$, $5$, ... que também não possuíam solução, ou seja, Fermat pegou um problema específico e o transformou em algo mais amplo capaz de representar uma gama maior de soluções que ainda precisavam ser demonstradas, já que $n$ não está definido, a não ser pelo fato de ser maior que $2$, sendo $x$, $y$ e $z$ números inteiros positivos.

Fermat, então, escreveu a seguinte nota:

É impossível para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ou uma quarta potência ser escrita como a soma de duas quartas potências ou, em geral, para qualquer número que é uma potência maior do que a segunda, ser escrito como a soma de duas potências com o mesmo expoente.

Ao que se sabe, Fermat teria encontrado uma solução para o problema, como se observa na seguinte nota atribuída a ele:

Descobri uma demonstração maravilhosa desta proposição que, no entanto, não cabe nas margens deste livro.

O problema é que, como se sabe, Fermat tinha o costume de anotar suas observações margens dos livros que pesquisava não tendo, portanto, a preocupação de formalizar considerações. Portanto o mistério de qual teria sido a tal “demonstração” de Fermat dificuldade em se encontrar a solução foram suficientes para manter o interesse matemáticos sobre o tema por mais de 350 anos.

Após ter sido objeto de fervorosas pesquisas durante mais de 350 anos, o qual atiçou a curiosidade de todos, ele foi finalmente demonstrado em 1995 pelo matemático britânico Andrew Wiles. A grande maioria dos matemáticos acredita hoje que Fermat estava enganado: a prova utiliza ferramentas matemáticas bastante elaboradas da Teoria dos números — abrangendo curvas elípticas, formas modulares e representações galoissianas (termo derivado de Évariste Galois, matemático francês) — as quais ainda não existiam na época em que viveu Fermat.

Mais precisamente, Wiles provou um caso particular (para curvas ditas semi-estáveis) da Conjectura de Shimura-Taniyama-Weil, pois se sabia que já havia algum tempo que esse caso implicava o teorema.

Esse teorema, no momento, não tem aplicação nenhuma; ele toma um valor importante, no entanto, devido às ideias e às ferramentas matemáticas que foram criadas e desenvolvidas para prová-lo.

Pela demonstração dada, em 1995 por Andrew Wiles ao Último Teorema de Fermat, é impossível dividir um cubo em dois; mas é possível dividir um cubo em três cubos.Vamos mostrar a seguir, que a solução em inteiros para a equação $x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}$ é dada por: $(3k)^{3}+(4k)^{3}+(5k)^{3}=(6k)^{3}$, na qual: $k$ é um inteiro positivo.

Técnica de Sebá para resolver a equação $x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}$ em números inteiros positivos

A equação de Fermat é: $x^{n}+y^{n}=z^{n}$.

Substituamos $n=3$ na equação de Fermat e escolhamos valores para $x$, $y$ e $z$:

Para $x=1$, $y = 2$ e $z = 3$, então, $1^{3} + 2^{3} < 3^{3}$
Para $x = 2$, $y = 3$ e $z = 4$, então, $2^{3} + 3^{3} < 4^{3}$
Para $x = 3$, $y = 4$ e $z = 5$, então, $3^{3} + 4^{3} < 5^{3}$

Nota-se que em cada uma das desigualdade há uma folga no membro da esquerda. Vamos chamar essa folga de $s^{3}$ . Então temos:

$1^{3} + 2^{3} + s^{3} = 3^{3}$
$2^{3} + 3^{3} + s^{3} = 4^{3}$
$3^{3} + 4^{3} + s^{3} = 5^{3}$

O difícil, agora, é encontrar o valor de $s^{3}$, tal que o membro da esquerda seja igual ao da direita. Como a equação de Fermat $x^{3} + y^{3} = z^{3}$ é uma variante da equação $x^{2} + y^{2} = z^{2}$, vamos tentar encontrar uma solução da equação $x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}$ por meio da solução da equação $x^{2} + y^{2} = z^{2}$.

Escolhamos os dois primeiros elementos do terno pitagórico primitivo $(3, 4, 5)$ e elevemos ambos ao cubo:

$3^{3}+4^{3} < w^{3}$
$91 < w^{3}$
$91+s^{3}=w^{3}$
$91=w^{3}-s^{3}$

Com o auxílio do Wolfram Alpha, obteve-se: $w = 6$ e $s = 5$. Agora temos:

$91 + 125 = 216$
$3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 6^{3}$

Resposta: $x = 3$, $y = 4$, $z = 5$ e $w = 6$.

Multiplicando o terno pitagórico primitivo $(3, 4, 5)$ por $2$ e $3$, obtém-se os dois ternos pitagóricos não primitivos: $(6, 8, 10)$ e $(9, 12, 15)$.

Escolhamos os dois elementos do terno pitagórico não primitivo $(6, 8, 10)$ e elevemos ambos ao cubo:

$6^{3}+8^{3} < w^{3}$
$728 < w^{3}$
$728+s^{3}=w^{3}$
$728=w^{3}-s^{3}$

Com o auxílio do Wolfram Alpha, obteve-se: $w = 9$ e $s = 1$. Agora temos:

$728 + 1^{3} = 9^{3}$
$6^{3} + 8^{3} + 10^{3} = 12^{3}$

Resposta: $x = 6$, $y = 8$, $z = 10$ e $w = 12$.

Escolhamos os dois elementos do terno pitagórico não primitivo $(9, 12, 15)$ e elevemos ambos ao cubo:

$9^{3}+12^{3} < w^{3}$
$2457 < w^{3}$
$2457+s^{3}=w^{3}$

Com o auxílio do Wolfram Alpha, obteve-se: $w = 18$ e $s = 15$. Agora temos:

$2457 + 15^{3} = 18^{3}$
$9^{3} + 12^{3} + 15^{3} = 18^{3}$

Resposta: $x = 9$,  $y = 12$, $z = 15$ e $w = 18$.

Pode-se escrever as equações $6^{3} + 8^{3} + 10^{3} = 12^{3}$ e $9^{3} + 12^{3} + 15^{3} = 18^{3}$ da seguinte maneira:

$(3 \cdot 2)^{3} + (4 \cdot 2)^{3} + (5 \cdot 2)^{3} = (6 \cdot 2)^{3}$
$(3 \cdot 3)^{3} + (4 \cdot 3)^{3} + (5\cdot 3)^{3} = (6 \cdot 3)^{3}$

Pelas maneiras como foram escritas as equações $6^{3} + 8^{3} + 10^{3} = 12^{3}$ e $9^{3} + 12^{3} + 15^{3} = 18^{3}$, pode se concluir que a solução geral da equação $x^{3} + y^{3} + z^{3} = w^{3}$ é dada por:

$(3k)^{3} + (4k)^{3} + (5k)^{3} = (6k)^{3}$, $k$ inteiro positivo.

Eliminando os parênteses, obtém-se: $216k^{3} = 216k^{3}$ (F.A.D.).

Flagrante da vida real

Uma empresa, especializada na fabricação de caixas d’água cúbica, recebeu as duas seguintes encomendas: seis caixas d’água com as dimensões em números inteiros positivos e atendendo as seguintes exigências:

A) 1ª Encomenda: três caixas d’água cuja soma dos volumes seja $5832$ litros;
B) 2ª Encomenda: três caixas d’água cuja soma dos volumes seja $46656$ litros.

Pergunta-se: qual a capacidade, em litros, de cada caixa d’água?

A) Resolução:

Verifiquemos se o número $5832$ é um cubo perfeito: $\sqrt[3]{5832}=18$.

Como 5832 é um cubo perfeito, logo:

$6k = 18$ e $k = 3$
$(3k)^{3} + (4k)^{3} + (5k)^{3} = (6k)^{3}$
$(3 \cdot 3)^{3} + (4 \cdot 3)^{3} + (5 \cdot 3)^{3} = (6 \cdot 3)^{3}$
$9^{3} + 12^{3} + 15^{3} = 18^{3}$

$729 + 1728 + 3375 = 5832$
$5832 = 5832$

Resposta:

1ª encomenda: capacidade, em litros, de cada caixa d’água: $729$ litros, $1728$ litros e $3375$ litros.

B) Resolução:

Verifiquemos se o número $46656$ é um cubo perfeito: $\sqrt[3]{46656}=36$.

Como 46656 é um cubo perfeito, logo:

$6k =36$ e $k = 6$
$(3k)^{3} + (4k)^{3} + (5k)^{3} = (6k)^{3}$
$(3 \cdot 6)^{3} + (4 \cdot 6)^{3} + (5 \cdot 6)^{3} = (6 \cdot 6)^{3}$
$18^{3} + 24^{3} + 30^{3} = 36^{3}$

$5832 + 13824 + 27000 = 46656$
$46656 = 46656$

Resposta:

2ª encomenda: capacidade, em litros, de cada caixa d’água: $5832$ litros, $13824$ litros e $27000$ litros.

Não acredite em afirmativas não demonstradas$^{(1)}$

Um bom exemplo que ilustra por que matemáticos se recusam a ser convencidos por alguns exemplos ou pela evidência de computadores é o caso da conjectura de Euler. Euler afirmou que não há soluções entre os inteiros para uma equação não muito diferente da de Fermat:

$$x^{4} + y^{4} + z^{4} = w^{4}$$
Durante 200 anos ninguém pôde provar a conjectura de Euler, mas por outro lado, ninguém podia negá-la encontrando um contra-exemplo. Primeiro, cálculos manuais e, depois, anos de computação eletrônica não conseguiram encontrar uma solução. A ausência de um exemplo negativo era apontada como uma forte evidência a favor da conjectura. Então, em 1988, Naom Elkies da Universidade de Harvard descobriu a seguinte solução:

$$(2.682.440)^{4} + (15.365.639)^{4} + (18.796.760)^{4} = (20.615.673)^{4}$$
Apesar de todas as evidências, a conjectura de Euler revelou-se falsa. De fato, Elkies provou que existem infinitas soluções para a equação. A moral da história é que não se pode usar a evidência dos milhões iniciais para provar uma conjectura referente a todos os números.

Mas a natureza enganadora da conjectura de Euler não é nada comparada com a chamada “conjectura do número superestimado de primos”. Examinando-se números cada vez maiores, torna-se se claro que os números primos ficam cada vez mais difíceis de ser achados.

Por exemplo, entre $0$ e $100$ existem $25$ números primos, mas entre $10.000.000$ e $10.000.100$ existem apenas 2 números primos.

Em 1791, quando tinha apenas quatorze anos de idade, Carl Friedrich Gauss previu, de modo aproximado, a frequência com que os números primos diminuiriam. A fórmula sugerida por Gauss, de fato, aproxima bem o número de primos, mas parecia superestimar levemente a verdadeira distribuição dos primos.

Procurando-se todos os primos até um milhão, um bilhão ou um trilhão sempre mostrava-se que a fórmula de Gauss era levemente generosa e os matemáticos foram tentados a acreditar que isso aconteceria para todos os números até o infinito. Daí nasceu a conjectura do "número superestimado de primos".




Então, em 1914, J. E. Littlewood, colaborador de G. H. Hardy em Cambridge, mostrou que para um N suficientemente grande a fórmula de Gauss iria subestimar o número de primos. Em 1955 S. Skewes mostrou que isso aconteceria pouco antes de se chegar ao número:

Número além da imaginação

Um número além da imaginação e de qualquer aplicação prática.

$(1)$ Instituto de Física da USP - Curso de Física matemática I.

Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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