Entendendo porque 0,999... é igual a 1

Não é mágica.

Quando começa os estudos de dízimas periódicas, geralmente no 9º ano, umas das curiosidades mais discutidas pelos próprios alunos, é a respeito do número $0,999999999999999999...$ E aí professor, porque esse número é igual a $1$?

Uma das situações mais comuns que os professores mostram (não confunda com demonstram) aos seus alunos, para justificar esse fato, é aquele famoso cálculo trivial.

Para mais argumentos acesse o artigo 10 argumentos matemáticos de que 0,999... é igual a 1.

Acompanhe.

Assim: 

Faça $X = 0,999...$

Se $X = 0,999...$, então $10.X = 9,999...$ (aplicando o princípio multiplicativo)

Agora, subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos:

$9.X = 9,000...$

Resolvendo essa simples equação chegamos em:

$X=1$.  Mas $X$ não era igual a $0,999...$?

Um outro argumento que podemos usar para mostrar esse fato, é usando um outro número decimal como base de teoria.

Assim:  

O número $0,1111...=\cfrac{1}{9}$, certo?

Multiplicarmos ambos os lados por $9$, obtemos $0,9999 ... =1$.

Você pode também mencionar que com outros argumentos semelhantes, a cada número racional com uma expansão decimal. 

Por exemplo, o número racional $\cfrac{20}{7}$ pode ser representado como $0,35$, que é o mesmo que $0,35000...$ ou $0,34999...$.

Muitos alunos não entendem bem esses argumentos e acham que é algum tipo de mágica, sem fundamento algum, uma vez que eles não têm uma ideia clara do que uma expansão decimal representa. Não acredito que um número pode ter duas representações diferentes.

Podemos tentar esclarecer isso explicando o que significa uma representação decimal. Lembre-se que o dígito em cada lugar de uma expansão decimal é associado com uma potência (positiva ou negativa) de 10. O espaço ocupado pelo k-ésimo à esquerda do decimal corresponde à potência $10^{k}$. O espaço pelo k-ésimo à direita do decimal corresponde à potência $10^{-k}$ ou ${ \left( \cfrac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ k }$.

Se os dígitos em cada lugar são multiplicados por sua potência correspondente de $10$, e, em seguida, somados, obtém-se o número real que é representado por essa expansão decimal.

Assim, a expansão decimal $0,9999...$ na verdade, representa a soma infinita $\cfrac { 9 }{ 10 } +\cfrac { 9 }{ 100 } +\cfrac { 9 }{ 1000 } +\cfrac { 9 }{ 10000 } +\cdot \cdot \cdot$ que pode ser resumido como uma série geométrica para obter o número $1$. Note-se que tem uma representação decimal $1,000...$ que é apenas $1+\cfrac { 0 }{ 10 } +\cfrac { 0 }{ 100 } +\cfrac { 0 }{ 1000 } +\cfrac { 0 }{ 10000 } +\cdot \cdot \cdot$ por isso, se percebe que as expansões decimais são apenas um código para uma soma infinita, pode ser menos surpreendente que duas somas infinitas pode ter a mesma soma.

Portanto $0,999... = 1$.

Isto é Matemática

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