Por que menos por menos é igual a mais?

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Demonstração simples do porquê o produto de dois números negativos é igual a um número positivo.

Continuando com as demonstrações sobre os porquês desses "jogos de sinais", que são vistos inicialmente no 7º ano do Ensino Fundamental, com a introdução do conjunto dos números inteiros; desta vez mostrarei como é simples perceber o porquê de $-$ por $- = +$ (menos por menos é igual a mais).

Imagine a seguinte situação de um professor dando aula de Matemática.

— Então sempre que multiplicamos qualquer número negativo por outro número negativo o resultado será sempre positivo. Ok turma? Vamos continuar...
— Espera professor! Por que isso acontece? Pergunta um aluno questionando o professor.
— Porque é assim, são regras matemáticas. Responde o professor temendo a pergunta.
— Mas por quê, professor? Não entendi porque simplesmente mudou o sinal.
— Vamos continuar a aula...

Creio que é comum diálogos como este nas aulas de Matemática (inclusive nas minhas aulas). Como sobressair diante desta situação?

Por que menos por menos é igual a mais?

Simples, seja sempre sincero e nunca tente enganar seus alunos, pois o efeito pode ser reverso. No entanto, é necessário estar preparado e pronto para responder quaisquer dúvidas, mesmo que essas dúvidas não sejam possíveis de serem sanadas naquele momento. Pois isso vai depender exclusivamente do amadurecimento de cada turma.

A demonstração abaixo não faz parte do currículo de conteúdos para o Ensino Fundamental e Médio, mas não é impossível dar uma certa noção dessas demonstrações para os alunos. Mostrando assim, que suas dúvidas mais comuns sobre as operações com números inteiros, tem uma justificativa matemática, baseada numa prova e que deve ser aceita como verdadeira.

Leia também:

Demonstração

Por que menos por menos é igual a mais? 

O objetivo será partir do primeiro membro (hipótese) e mostrar que o segundo membro (tese) da expressão logo abaixo existe. Para isso, basta usar algumas propriedades matemáticas elementares. Essas propriedades foram destacadas nos artigos linkados acima.

Em símbolos:

$-(-x)=x$; $\forall x\in \mathbb{R}$

Aplicando o elemento simétrico de $-(-x)$ no primeiro membro temos a seguinte igualdade verdadeira:

$-(-x)+(-x)=0$

Note que a propriedade não fez uso do segundo membro.

Agora na expressão acima, somamos o $x$ (princípio aditivo¹ permite essa operação) em ambos os membros e obtemos:

$-(-x)+(-x)+x=0+x$

No primeiro membro da expressão acima, $x$ é o elemento simétrico de $-x$ e no segundo membro, $0$ é o elemento neutro na adição ($0+x=0$), então temos que:

$-(-x)+0=x$

Aplicando novamente a propriedade de elemento neutro da adição no primeiro membro, temos que:

$-(-x)=x$
c.q.d.


A expressão acima prova a expressão inicial. Portanto, qualquer número negativo multiplicado por outro número negativo, resultará sempre em um número positivo. 

Note que estamos operando apenas com dois fatores. Acima de dois fatores faz-se um agrupamento para aplicar essa propriedade.

Exemplos particulares:

$-(-4)=4$
$(-3).(-4)=12$
$(-1).(-19)=19$


¹ O princípio aditivo permite adicionar qualquer número em ambos os membros sem que a igualdade seja alterada.

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