Demonstração simples do porquê o produto de dois números negativos é igual a um número positivo.
Continuando com as demonstrações sobre os porquês desses "jogos de sinais", que são vistos inicialmente no 7º ano do Ensino Fundamental, com a introdução do conjunto dos números inteiros; desta vez mostrarei como é simples perceber o porquê de $-$ por $- = +$ (menos por menos é igual a mais).
Imagine a seguinte situação de um professor dando aula de Matemática.
— Então sempre que multiplicamos qualquer número negativo por outro número negativo o resultado será sempre positivo. Ok turma? Vamos continuar...
— Espera professor! Por que isso acontece? Pergunta um aluno questionando o professor.
— Porque é assim, são regras matemáticas. Responde o professor temendo a pergunta.
— Mas por quê, professor? Não entendi porque simplesmente mudou o sinal.
— Vamos continuar a aula...
— Vamos continuar a aula...
Creio que é comum diálogos como este nas aulas de Matemática (inclusive nas minhas aulas). Como sobressair diante desta situação?
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A demonstração abaixo não faz parte do currículo de conteúdos para o Ensino Fundamental e Médio, mas não é impossível dar uma certa noção dessas demonstrações para os alunos. Mostrando assim, que suas dúvidas mais comuns sobre as operações com números inteiros, tem uma justificativa matemática, baseada numa prova e que deve ser aceita como verdadeira.
Leia também:
Demonstração
Por que menos por menos é igual a mais?
O objetivo será partir do primeiro membro (hipótese) e mostrar que o segundo membro (tese) da expressão logo abaixo existe. Para isso, basta usar algumas propriedades matemáticas elementares. Essas propriedades foram destacadas nos artigos linkados acima.
Em símbolos:
$-(-x)=x$; $\forall x\in \mathbb{R}$
Aplicando o elemento simétrico de $-(-x)$ no primeiro membro temos a seguinte igualdade verdadeira:
$-(-x)+(-x)=0$
Note que a propriedade não fez uso do segundo membro.
Agora na expressão acima, somamos o $x$ (princípio aditivo¹ permite essa operação) em ambos os membros e obtemos:
$-(-x)+(-x)+x=0+x$
No primeiro membro da expressão acima, $x$ é o elemento simétrico de $-x$ e no segundo membro, $0$ é o elemento neutro na adição ($0+x=x$), então temos que:
$-(-x)+0=x$
Aplicando novamente a propriedade de elemento neutro da adição no primeiro membro, temos que:
$-(-x)=x$
c.q.d.
A expressão acima prova a expressão inicial. Portanto, qualquer número negativo multiplicado por outro número negativo, resultará sempre em um número positivo.
Note que estamos operando apenas com dois fatores. Acima de dois fatores faz-se um agrupamento para aplicar essa propriedade.
Exemplos particulares:
$-(-4)=4$
$(-3).(-4)=12$
$(-1).(-19)=19$
$-(-4)=4$
$(-3).(-4)=12$
$(-1).(-19)=19$
¹ O princípio aditivo permite adicionar qualquer número em ambos os membros sem que a igualdade seja alterada.
Ainda não entendi.
ResponderExcluirOlá, Mayra!
ExcluirTalvez aqui no modo texto não te ajude tanto. Pesquise por vídeos no Youtube que trazem essa mesma ideia.
Um abraço!
Boa tarde, eu fiz essa pergunta a 10 anos atrás e 3 professores de matemática da UEFS. Nao conseguiram me responder. No livro a HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, tem uma sessão que se chama HERMENÊUTICA onde lá existem regras criadas para dar sentido e que por acaso ainda não têm comprovação matemática o menos vezes menos se incluem nisso.
ExcluirQual o(a(s)) autor(a(s)) desse livro, por favor?
ExcluirA hermenêutica é uma palavra muito associada a Teologia Bíblica, mas é um campo de estudo que se dedica a analisar a interpretação de textos e suas conexões com o contexto histórico e cultural em que foram criados. No contexto da história da matemática, a hermenêutica é utilizada para examinar e compreender o progresso da matemática ao longo dos anos, bem como como as ideias e teorias matemáticas foram moldadas pelas circunstâncias históricas e culturais em que surgiram.
ExcluirNão sei qual livro se refere, mas neste contexto matemático, suportamente eu imagino que se refira aos axiomas matemáticos, como alguns que citei nest post, onde eles não precisam de demonstração matemática, para ser aceitos.
Estou tentando ajudar meu filho e continua também não entendendo...
ResponderExcluirAh!
ExcluirEste tipo de abordagem não é adequado para estudantes do 7º ano, quando os mesmo começam a estudar números inteiros. Verifique o livro didático do seu filho, tenho a certeza que lá tem um método didático mais próximo da maturidade matemática do seu filho.
Um abraço!
cara valeu isso ajudou muito no meu trabalho escolar
ResponderExcluirSensacional!!
ResponderExcluirBoa tarde Vitor!
ResponderExcluirQuem seria o autor do livro??
Tenho uma dúvida, sim, - multiplicado por - é positivo, e isso foi demonstrado, mas como isso seria aplicado a um problema real? Como multiplicar dois termos negativos daria positivo na realidade? Eu gostaria de saber porque para mim as vezes a matemática parece desconexa da realidade...
ResponderExcluirMultiplicação é soma de parcelas iguais. $(-1)+(-1)+(-1)=3 \cdot (-1)$. Mercado financeiro se aplicada diariamente ao fazer somas de saldos negativos.
ExcluirA Matemática não se torna uma realidade apenas se tiver aplicação. O que sempre pode ser feito é uma cotidianização de conteúdos matemáticos com fatos palpáveis em nossa volta.
O problema é quando o palpável não é possível por diversos fatores.
Os professores têm dificuldades de demonstrar para os alunos do ensino básico pq é muito complexo e os alunos não tem condições de compreender, só no ensino superior. Não é pq os professores não sabem.
ResponderExcluirEntendo você. Os alunos do médio não tem condições por diversos motivos, um deles é a sobrecarga de conteúdos. Obrigado por estar aqui.
ExcluirSensacional, obrigada!! Consegui achar outras explicações, mas não usaram linguagem formal da matemática, com sua explicação, tudo ficou claro.
ResponderExcluirSó tenho uma pequena observação: no 7º paragrafo da parte Demonstração. o elemento neutro está 0 + x = 0, mas, na verdade, era para ser 0 + x = x, certo?
Olá, Marina! Caramba! Este post é de 2012 e neste tempo todo somente você viu esse erro.
ExcluirObrigado por avisar.
Abração!