Usando derivada para calcular raízes aproximadas

Existem algumas formas de se calcular raízes quadradas, cúbicas, etc. Dependo da questão que é proposta para encontrar sua raiz, essa tarefa torna-se um pouco complicada para alunos que estão começando a estudar este conteúdo. Encontrar uma maneira de fácil assimilação, pode ajudar na compreensão.

Existem algumas formas de se calcular raízes quadradas, cúbicas, etc. Dependo da questão que é proposta para encontrar sua raiz, essa tarefa torna-se um pouco complicada para alunos que estão começando a estudar este conteúdo. Encontrar uma maneira de fácil assimilação, pode ajudar na compreensão.

Imagem: Val's Corner

Além da decomposição em fatores primos, a melhor forma de mostrar esse tipo de cálculo a um aluno de nível fundamental, é através do método por tentativas. Veja o exemplo abaixo para o cálculo de $\sqrt{12}$.

• Sabemos que $\sqrt{12}$ é maior do que $3$, porque $3^{2}=3 \cdot 3=9$.
• Sabemos que $\sqrt{12}$ é menor do que $4$, porque $4^{2}4 \cdot 4=16$.

Então $\sqrt{12}$ está entre $3$ e $4$, ou seja:  $3< \sqrt{12} <4$.

Fazendo tentativas com 1 casa decimal, temos que:

$(3,1)^{2}=9,61$

$(3,2)^{2}=10,24$

$(3,3)^{2}=10,89$

$(3,4)^{2}=11,56$

$(3,5)^{2}=12,25$

Comprovando que: $3,4< \sqrt{12} <3,5$.

Se você digitar no buscador da Google, sqrt(12) (que corresponde a $\sqrt{12}$) verá 3.46410161514. Leia Cálculos matemáticos usando o buscador da Google.

Na medida que mudamos o radicando e o índice para números maiores, esse processo torna-se um pouco mais demorado.

Até hoje pessoas que já concluíram sua escolaridade ou que estão cursando faculdade, me perguntam como calcular uma raiz quadrada que não seja exata. Talvez pelo motivo que não foram ensinados de nenhuma forma ou simplesmente esqueceram.

Se você cursa ou cursou alguma faculdade na área de exatas, reconhecerá este tipo de cálculo. Mostrarei um processo implícito de diferenciação para calcular raízes cuja solução não é exata, isto é, não resulta em um número inteiro positivo.

Vamos calcular a raiz quadrada de $10$. Então queremos encontrar o valor da expressão $y=\sqrt{10}$, onde $y$ é raiz quadrada de $10$.

Primeiro passo é escrever a expressão na sua forma geral.

$y=\sqrt{x}$

Diferenciando implicitamente a expressão acima, temos que:

$dy=\cfrac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}\cdot dx$

Sabemos que a raiz quadrada de $9$ é $3$, e tendo isso em conta, deixamos $x=9$. Precisamos avaliar a raiz quadrada de $10$, então $dx=10-9=1$ e, agora, temos todo o necessário para obter uma aproximação para a raiz quadrada de $10$, avaliados da seguinte forma:

$dy=\cfrac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}\cdot dx$
$dy=\cfrac{1}{2 \cdot \sqrt{9}} \cdot 1$
$dy=\cfrac{1}{2 \cdot 3}$
$dy=\cfrac{1}{6}$
$dy \approx 0,16667$

Uma vez que a raiz quadrada de $9$ é $3$, $(3+dy)$ nos dará a aproximação para a raiz quadrada de $10$.

$\sqrt{10} \approx y+dy$
$\sqrt{10} \approx 3+0,16667$
$\sqrt{10} \approx 3,16667$

Teste esse processo para outros valores.