Desafios matemáticos #31

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Seguindo a alternância dos desafios matemáticos, agora é hora de exercitar nossos conhecimento de Geometria Euclidiana.

Seguindo a alternância dos desafios matemáticos, agora é hora de exercitar nossos conhecimentos de Geometria Euclidiana. Me detenho na maioria das vezes aos desafios geométricos, pois são os que mais chamam a atenção por sua beleza algébrica por trás dos desenhos.

 Nível: Fundamental/Médio 

A figura abaixo é composta por duas circunferências tangentes externamente no ponto $C$ (centro $A$ e $B$) e um triângulo formado pelos pontos $D$, $E$ e $F$. O diâmetro $\overline{DE}$ é perpendicular ao segmento de reta $\overline{BF}$ no ponto $B$. O ponto $H$ pertence a circunferência de centro $A$. Se o segmento de reta $\overline{GH}$ é igual a $5$ e $\overline{BH}$ é igual $3$, calcule a área do triângulo $\Delta DEF$
Desafios matemáticos #31

Quer tentar? Deixe um comentário neste artigo com a sua resposta devidamente fundamentada. Respostas diretas e sem justificativas serão publicadas, mas não aceitas.

Para melhor entendimento, recomendo escrever sua solução em algum editor LaTeX e cole o código em seu comentário. Existem várias maneiras de usar esse tipo de editor.

Bom divertimento! :D

COMENTÁRIOS

BLOGGER: 3
  1. Seja $r$ o raio da circunferência de centro $B$ e $R$ o raio da circunferência de centro $A$. Temos que a área do triângulo $DEF$ é dada por:

    $S = \cfrac{DE \cdot BF}{2} = \cfrac{2r \cdot (2R + r)}{2} = r \cdot (2R + r) ={ r }^{ 2 } + 2Rr$

    Agora, usando a potência de ponto (ponto $B$) temos a igualdade:

    $\overline { BH } \cdot \overline { BG } =\overline { BC } \cdot \overline { BF }$

    $3\cdot (3+5)= r\cdot \left( r+ 2R \right)$

    $\ 24 = { r }^{ 2 } + 2Rr$


    Mas perceba que ${ r }^{ 2 } + 2Rr = S$ (área do triângulo $DEF$)

    Então, a área do triângulo $DEF = 24$

    É isso?

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    Respostas
    1. Olá, Charles!

      Aí é covardia para você hein rsrs.

      Em 2013 eu resolvi de uma outra forma, que agora não consegui lembrar. A sua saída para o problema foi muito boa.

      Adoro respostas comentadas.

      Um abraço!

      Excluir
    2. Pois sim!

      Estou sempre falando aos alunos e mostrando nas correções a importância de escrever nas resoluções de exercícios. Eles se prendem na mecanização, no padrão, na fórmula e se esquecem de justificar, explicar, deixar claro o seu pensamento no procedimento escolhido.

      Falta muito disso no ensino e aprendizagem de Matemática.

      Excluir

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Desafios matemáticos #31
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