Seguindo a alternância dos desafios matemáticos, agora é hora de exercitar nossos conhecimento de Geometria Euclidiana.
Seguindo a alternância dos desafios matemáticos, agora é hora de exercitar nossos conhecimentos de Geometria Euclidiana. Me detenho na maioria das vezes aos desafios geométricos, pois são os que mais chamam a atenção por sua beleza algébrica por trás dos desenhos.
Nível: Fundamental/Médio
A figura abaixo é composta por duas circunferências tangentes externamente no ponto $C$ (centro $A$ e $B$) e um triângulo formado pelos pontos $D$, $E$ e $F$. O diâmetro $\overline{DE}$ é perpendicular ao segmento de reta $\overline{BF}$ no ponto $B$. O ponto $H$ pertence a circunferência de centro $A$. Se o segmento de reta $\overline{GH}$ é igual a $5$ e $\overline{BH}$ é igual $3$, calcule a área do triângulo $\Delta DEF$.
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Para melhor entendimento, recomendo escrever sua solução em algum editor LaTeX e cole o código em seu comentário. Existem várias maneiras de usar esse tipo de editor.
Bom divertimento! :D
Para melhor entendimento, recomendo escrever sua solução em algum editor LaTeX e cole o código em seu comentário. Existem várias maneiras de usar esse tipo de editor.
Bom divertimento! :D
Seja $r$ o raio da circunferência de centro $B$ e $R$ o raio da circunferência de centro $A$. Temos que a área do triângulo $DEF$ é dada por:
ResponderExcluir$S = \cfrac{DE \cdot BF}{2} = \cfrac{2r \cdot (2R + r)}{2} = r \cdot (2R + r) ={ r }^{ 2 } + 2Rr$
Agora, usando a potência de ponto (ponto $B$) temos a igualdade:
$\overline { BH } \cdot \overline { BG } =\overline { BC } \cdot \overline { BF }$
$3\cdot (3+5)= r\cdot \left( r+ 2R \right)$
$\ 24 = { r }^{ 2 } + 2Rr$
Mas perceba que ${ r }^{ 2 } + 2Rr = S$ (área do triângulo $DEF$)
Então, a área do triângulo $DEF = 24$
É isso?
Olá, Charles!
ExcluirAí é covardia para você hein rsrs.
Em 2013 eu resolvi de uma outra forma, que agora não consegui lembrar. A sua saída para o problema foi muito boa.
Adoro respostas comentadas.
Um abraço!
Pois sim!
ExcluirEstou sempre falando aos alunos e mostrando nas correções a importância de escrever nas resoluções de exercícios. Eles se prendem na mecanização, no padrão, na fórmula e se esquecem de justificar, explicar, deixar claro o seu pensamento no procedimento escolhido.
Falta muito disso no ensino e aprendizagem de Matemática.