Primeiro os parênteses, depois os colchetes e por último as chaves. Qual a razão para esta ordem?

Professor, por que existe esta ordem para resolver expressões numéricas? E se eu usasse apenas um destes símbolos, a expressão que escrevi está errada?

O palíndromo em 21 de dezembro de 2012

O que a Matemática ainda não responde

O valor correto de $\pi$ (Pi) não é 3,14

Museu de Matemática de Manhattan

Na resolução de expressões numéricas que envolvem os símbolos de parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, existe uma razão para usar e ordenar estes símbolos? Na última aula que dei sobre o assunto, muitos alunos me interrogaram sobre o porquê desta ordem e da necessidade destes três símbolos. Reclamavam que algumas expressões eram um pouco extensas.

Professor, por que existe esta ordem para resolver expressões numéricas? E se eu usasse apenas um destes símbolos, a expressão que escrevi está errada? Foram ótimas perguntas que geraram ótimas discussões.

Depois de muito debater sobre o tema durante a aula e chegar em algumas conclusões, surgiu a ideia de escrever este artigo. Nele mostrarei a razão de usar estes símbolos e o que aconteceria se não utilizássemos. Mas antes, observe esta expressão numérica.

Qual a resposta para esta expressão? 144? 4, talvez? ou 56? Pense nisso e compartilhe a sua resposta para a rede social que estiver usando no momento. Esta imagem aparecerá automaticamente com a descrição do artigo.

A razão

A única finalidade para o uso destes símbolos é a melhor organização das operações aritméticas. Não importa se a ordem de resolução depende de usar o ( ), [ ] e { }. Imagine se não existisse o [ ] e a { }, há algum problema na utilização de apenas o ( )? Claro que não.

Observe:

$\{3+5 \times 6 \div [9-4 \times 2 - (10-2) \times 3] -11\}=$

ou

$(3+5 \times 6 \div (9-4 \times 2 - (10-2) \times 3) -11)=$

Há alguma semelhança na escrita? Há algum problema que impossibilitaria a resolução desta expressão numérica? Não. Mas dependendo do tamanho da expressão, usar apenas um símbolo pode tornar o cálculo meio confuso (mesmo se destacar o tamanho dos parênteses) para alunos que estão começando a estudar expressões numéricas. Futuramente pode se tornar ainda mais confuso com o uso de números fracionários e outros números na medida que avançam os conteúdos.

A razão para o uso destes símbolos está em um dos axiomas matemáticos — a distributividade da multiplicação em relação a adição ou a subtração. O parênteses ( ) é uma convenção utilizada para destacar qual a primeira operação que será realizada, assim como o [ ]  é a segunda ordem e { } é a última ordem.

De fato se escrevêssemos: $a + b \times c$ como $(a + b) \times c$ ou $a + (b \times c)$, poderíamos sempre começar pela multiplicação, pois a propriedade distributiva assegura que $(a + b) \times c = a \times c + b \times c$. Mas em $a + (b \times c)$ não é possível começar a calcular pela adição. Na ausência do parênteses é comum que os cálculos comecem sempre pelas multiplicações e divisões.

Todas estas conclusões foram encontradas na medida que os conteúdos matemáticos avançaram. A partir da exemplificação das propriedades matemáticas: comutativa, associativa, distributiva, elemento neutro, elemento simétrico, etc.

Para finalizar, é possível resolver a multiplicação antes da potenciação?

Ah, e sobre a imagem que contém uma expressão no começo do artigo, dizem que um professor do MIT (Instituto de Tecnologia de Massachusetts), defende a teoria que não há apenas uma resposta.

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