Cálculo da Taxa de Juros nas compras em prestações usando Fórmula de Bhaskara (parte 1)

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Na vida real há muitas situações nas quais o consumidor é desrespeitado nas suas relações com o sistema financeiro ou com o comércio em geral, mas os casos mais frequentes são as taxas de juros abusivas cobradas tanto nos empréstimos em prestações como nas compras em prestações.

Na vida real há muitas situações nas quais o consumidor é desrespeitado nas suas relações com o sistema financeiro ou com o comércio em geral, mas os casos mais frequentes são as taxas de juros abusivas cobradas tanto nos empréstimos em prestações como nas compras em prestações.

Para o consumidor se defender dessas armadilhas, é necessário que ele tenha em mãos uma ferramenta para determinação da taxa de juros embutida num empréstimo em prestações iguais e periódicas ou numa compra em prestações iguais e periódicas. É o que se vai ver nos exemplos a seguir.

Aproveite e acesse o artigo Cálculo da Taxa de Juros nas compras em prestações usando Fórmula de Bhaskara (parte 2).

Cálculo da Taxa de Juros nas compras em prestações usando Fórmula de Bhaskara (parte 1)

Exemplo 1

Uma loja vende um produto à vista por R\$500,00 ou em 2 prestações iguais e mensais de R\$257,52. Se a primeira prestação for paga um mês após a compra, qual a taxa mensal cobrada pela loja?

Resolução:

Toda compra em prestações o vendedor usa juros compostos. O montante em juros compostos é dado pela seguinte fórmula:
$M=C.(1+i)^{t}$
Onde:

$M$: Montante, valor futuro ou valor final.
$C$: Capital inicial, valor presente ou valor à vista.
$i$: taxa de juros.
$t$: tempo ou período.

Decorrido um mês, o comprador vai pagar a 1ª prestação. O vendedor ao receber os R\$257,52, da 1ª prestação, ele não vai guardá-los no cofre; ele vai a uma instituição financeira e aplica os R\$257,52 a uma certa taxa de juros por um determinado tempo.

Já que a venda do produto foi em duas prestações mensais, logo, o contrato da compra termina após dois meses. Quando o vendedor receber o valor da 1ª prestação ele vai aplicar os R\$257,52 por um mês, ou seja, (2-1).

Seja:

$P_{1}$ = Valor da 1ª prestação.
$P_{2}$ = Valor da 2ª prestação.

Como a 1ª prestação vai ser paga um mês após a compra, logo: o montante da 1ª prestação no fim do 2º mês é dado por:

$M_{P1}=257,52.(1+i)^{2-1}$ ou $M_{P1}=257,52.(1+i)$

O montante da 2ª prestação no fim do 2º mês é dado por:

$M_{P2}=257,52.(1+i)^{2-2}$ ou $M_{P2}=257,52.(1+i)^{0}$ ou $M_{P2}=257,52$.

O montante do valor à vista no fim do 2º mês é dado por:

$M_{c}=500.(1+i)^{2}$

Como o montante do valor à vista, obrigatoriamente, tem que ser igual ao montante das duas prestações, logo:

$M_{C}=M_{P1}+M_{P2}$
$500.(1+i)^{2}=257,52.(1+i)+257,52$
$500.(1+i)^{2}-257,52.(1+i)-257,52=0$       $(1)$

Designando $(1+i)=x$  e substituindo na $(1)$, obtém-se: $500.x^{2}-257,52.x-257,52=0$.
      
Já que a equação é do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara e uma calculadora, obtém-se: $x = 1,0199874$. Como $(1+i)=x$, logo, $1+i=1,0199874$ e $i≅0,02$ (taxa de juros na forma unitária). Multiplicando por 100, obtém-se: $0,02.100=2\%$ (taxa na forma percentual).

Verificação:

$500.(1 + 0,02)^{2}-257,52.(1+0,02)-257,52=0,0096≅0$

Resposta:

A loja está cobrando uma taxa mensal de 2%.

Observação:

Se a raiz quadrada do discriminante não for exata, use todas as casas decimais que aparecem no visor da calculadora. Da mesma forma use todas as casas decimais do valor de $x$.

O modelo geral, para uma compra em duas prestações iguais, a primeira prestação paga um mês após a compra, é:
$C.(1+i)^{2}-P.(1+i)-P=0$

Exemplo 2

Outra loja vende o mesmo produto à vista por R\$600,00 ou em 2 prestações iguais e mensais de R\$322,69. Se a primeira prestação for paga um mês após a compra, qual a taxa mensal cobrada pela loja?

Resolução:

Dados:

$C=R\$600,00$
$P=R\$322,69$
$t=2$
$i=?$

Substituindo os dados no modelo geral, obtém-se:

$600.(1+i)^{2}-322,69.(1+i)-322,69=0$

Já que a equação é do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara e uma calculadora, obtém-se: $x=1,0500154$.

Como $(1+i)=x$, logo, $1+i=1,0500154$ e $i≅0,05$ (taxa de juros na forma unitária). Multiplicando por $100$, obtém-se: $0,05.100=5\%$ (taxa na forma percentual).

Verificação: 

$600.(1+0,05)^{2}-322,69.(1+0,05)-322,69=0,001≅0$

Resposta:

A loja está cobrando uma taxa mensal de 5%.

Exemplo 3

Numa outra loja vende-se o mesmo produto à vista por R\$500,00 ou em 3 prestações iguais e mensais de R\$176,47. Se a 1ª prestação for dada como entrada, qual a taxa mensal cobrada pela loja?

Resolução:

Como a 1ª prestação é dada como entrada, logo, o preço à vista será subtraído de R\$176,47. Nesse caso o modelo geral é:

$[(C-P)].(1+i)^{2}-P(1+i)-P=0$.

Substituindo os dados no modelo geral, obtém-se:

$[(500-176,47)].(1+i)^{2}-P(1+i)-P=0$
$323,53.(1+i)^{2}-176,47.(1+i)-176,47=0$

Já que a equação é do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara e uma calculadora, obtém-se: $x=1,0600193$.

Como $(1+i)=x$, logo, $1+i=1,0600193$ e $i≅ 0,06$ (taxa de juros na forma unitária). Multiplicando por 100, obtém-se: $0,06.100=6\%$ (taxa na forma percentual).

Verificação:

$323,53.(1+0,06)^{2}-176,47.(1+0,06)-176,47=0,001≅0$.

Resposta:

A loja está cobrando uma taxa mensal de 6%.

Concluindo

Comparando as respostas do exemplo 1 com a resposta do exemplo 3, nota-se que uma compra em prestações iguais com entrada igual ao valor da prestação, a taxa é maior que uma compra em prestações sem entrada. A taxa do exemplo 3 foi três vezes maior do que a taxa do exemplo 1.


Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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Cálculo da Taxa de Juros nas compras em prestações usando Fórmula de Bhaskara (parte 1)
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