Cálculo da Taxa de Juros nas compras em prestações usando o Método de Newton-Raphson (parte 2)

Na parte 1, mostrou-se como calcular a taxa de juros nas compras em prestações iguais e periódicas, quando se recai num polinômio de 2º grau. Confira a segunda parte.

Na parte 1, mostrou-se como calcular a taxa de juros nas compras em prestações iguais e periódicas, quando se recai num polinômio de 2º grau, usando a fórmula Bhaskara.

Nesta parte 2, vai-se usar o método de Newton-Raphson, para encontrar a taxa de juros nas compras em prestações iguais e periódicas, quando se recai num polinômio de grau superior a 2. Nesse caso se usa o método de Newton-Raphson, haja vista que não existe uma fórmula genérica, em matemática financeira, para determinar a taxa de juros numa compra em três ou mais prestações iguais e periódicas ou num empréstimo.

O Método de Newton-Raphson, desenvolvido por Isaac Newton e Joseph Raphson, tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, escolhe-se uma aproximação inicial para esta. Após isso, calcula-se a equação da reta tangente (derivada) da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz. Repetindo-se o processo, cria-se um método iterativo para encontrarmos a raiz da função. Em notação matemática, o método de Newton é representado da seguinte forma: $x_{n+1}=x_{n}-\cfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$.[Wikipédia]

Nesses tipos de problemas procura-se usar uma fórmula que dê uma boa aproximação da taxa de juros a fim de que se possa usar o método de Newton-Raphson. A fórmula que dá uma boa aproximação da taxa de juros numa compra em três ou mais prestações iguais e periódicas ou num empréstimo é a seguinte:

$i=\cfrac{200H(3+H)}{n(3+2H)+3}$          $(1)$

Na qual $i$ é a taxa na forma percentual aproximada por falta.

$H=\cfrac{nR}{PV-E}-1$ é a taxa na forma unitária aproximada por excesso.

$n$: Número de prestações
$R$: Valor de cada prestação
$E$: Entrada (caso exista)
$PV$: Preço à vista

Observação: Tanto em compras em prestações como em empréstimos em prestações, a entrada pode ser igual à prestação ou uma porcentagem do valor à vista ou do empréstimo.

Regra

1º passo)

Ache o valor de $H$.

2º passo)

Substitua o valor de $H$ na fórmula e arredonde o valor de $i$ para o inteiro mais próximo.

3º passo)

Ache o valor da prestação ($R$), com a taxa encontrada no 2º passo, pela fórmula: $R=\cfrac{PV \times i}{1-(1+i)^{-n}}.$

Se o valor da prestação, encontrado pela fórmula, for diferente do valor da prestação dada no problema, apenas nas duas casas decimais, então, a taxa de juros encontrada no 2o passo é a taxa de juros cobrada. Caso contrário vá para o 4º passo. 

4º passo)

Use o método de Newton-Raphson.

Exemplo 1

Uma loja vende um produto à vista por R\$500,00 ou em 3 prestações iguais e mensais de R\$183,60; se a primeira prestação for paga um mês após a compra, qual a taxa mensal cobrada pela loja?

Resolução:

Dados:

$PV=R\$500,00$ (Preço à vista)
$R= R\$183,60$ (valor de cada prestação)
$n=3$ (número de prestações)
$E=0$ (não houve entrada)

1º passo)

$H=\cfrac{3 \times 183,60}{500-0}-1=0,1016$ (Taxa na forma unitária aproxiamda por excesso).

2º passo)

Substituindo o valor de $H$ na fórmula, obtém-se:

$i=\cfrac{200 \times 0,1016(3,1016)}{3(3+2 \times 0,1016)+3}=\cfrac{63,024512}{12,6096}=4,99\% \simeq 5\%$.

3º passo)

$R=\cfrac{500 \times 0,05}{1-(1+0,05)^{-3}}=R\$ 183,60$.

Como o valor da prestação, encontrado pela fórmula, é igual ao valor da prestação da loja, logo, a taxa de juros encontrada no 2º passo é a taxa de juros cobrada, ou seja, a loja está cobrando uma taxa de $5\%$ a.m.

Exemplo 2

Uma loja vende um produto à vista por R\$1.000,00 ou a prazo em 3 prestações iguais e mensais de R\$441,61. Se a primeira prestação for paga um mês após a compra, qual a taxa de juros cobrada pela loja?

Resolução:

Dados:

$P = R\$1.000,00$ (Preço à vista)
$R = R\$441,61$ (valor de cada prestação)
$n = 3$ (número de prestações)
$E = 0$ (não houve entrada)

1º passo)

$H=\cfrac{3 \times 441,61}{1000-0}-1=0,32483$

2º passo)

Substituindo o valor de $H$ na equação, obtém-se:

$i=\cfrac{200 \times 0,32483 \times (3+0,32483)}{3(3+2 \times 0,32483)+3}=15,48\%.$

Calculemos o valor da prestação com a taxa de $15,48\%$ a.a.

3º passo)

$R=\cfrac{1000 \times 0,1548}{1-(1-1,1548)^{-3}}=R\$ 441,45$.

Como o valor da prestação calculado com a fórmula é $R\$0,16$ menor que o valor da prestação cobrada pelo Banco, logo, o Banco está cobrando uma taxa um pouco maior, em centésimo.

Calculemos com a fórmula o valor da prestação com uma taxa de $15,5\%$ a.m.

$R=\cfrac{1000 \times 0,155}{1-(1-1,155)^{-3}}=R\$ 441,61$. Resultado que bate com o valor de cada prestação.

Portanto, o Banco está cobrando uma taxa de $15,5\%$ a.m.

Exemplo 3

Um determinado Banco empresta R\$10.000,00 para serem pagos em 4 prestações iguais e anuais de R\$8.804,60; se a primeira prestação for paga um ano após o empréstimo, qual a taxa anual que está sendo cobrada pelo Banco?

Resolução:

Dados:

$VE = R\$10.000,00$ (Valor do empréstimo)
$R = R\$8.804,60,00$ (valor de cada prestação)
$n = 4$ (número de prestações)
$E = 0$ (não houve entrada)

1º passo)

$H=\cfrac{4 \times 8804,60}{1000-0}-1=2,52184$

2º passo)

Substituindo o valor de $H$ na equação, obtém-se:

$i=\cfrac{200 \times 2,52184 \times (5,52184)}{4(3+2 \times 2,52184)+3}=79\%.$

3º passo)

$R=\cfrac{10000 \times 0,79}{1-(1+0,79)^{-4}}=R\$ 8752,00$.

Como o valor da prestação, encontrado pela fórmula, é menor que o valor da prestação do Banco, logo, a taxa de juros encontrada no 2º passo não é a taxa de juros cobrada, ou seja, o Banco está cobrando uma taxa um pouco maior que $79\%$ a.a. Vá para o 4º passo.

Para usar o método de Newton-Raphson temos que encontrar um polinômio envolvendo as prestações e por meio desse polinômio achar uma taxa aproximada. Vamos descapitalizar as prestações, ou seja, excluir os juros delas.

Descapitalizando a 4º prestação: $R_{4}=8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{4}} \right )$

Descapitalizando a 3º prestação: $R_{3}=8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{3}} \right )$

Descapitalizando a 2º prestação: $R_{2}=8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{2}} \right )$

Descapitalizando a 1º prestação: $R_{1}=8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{1}} \right )$

Somando $R_{4}$, $R_{3}$, $R_{2}$ e $R_{1}$ e igualando a $10000$, obtém-se:

$8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{4}} \right )+8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{3}} \right )+8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{2}} \right )+8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{1}} \right )=1000$

$8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{4}} \right )+8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{3}} \right )+8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{2}} \right )+8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{1}} \right )-10000=0$$(2)$

Designando $\cfrac{1}{1+i}=x$, obtém-se:

$8804,60x^{4}+8804,60x^{3}+8804,60x^{2}+8804,60x^{1}-10000=0$

Pondo $8804,60$ em evidência, obtém-se:

$8804,60(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x^{1})=10000$ ou $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x^{1}-\cfrac{10000}{8804,60}=0$.

$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x^{1}-1,13577=0$ ou $f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x^{1}-1,13577$.

Uma compra em prestações iguais e periódicas, sem entrada, sempre se vai cair no seguinte modelo:

$f(x)=x^{n}+x^{n-1}+x^{n-2}+...+x-\cfrac{P}{R}$

Uma compra em prestações iguais e periódicas, com entrada, sempre se vai cair no seguinte modelo:

$f(x)=x^{n}+x^{n-1}+x^{n-2}+...+x-\cfrac{P-E}{R}$, (onde $E$ é o valor da entrada)

4º passo)

A fórmula desenvolvida por Newton-Raphson é a seguinte:

$y_{K+1}=x_{K}-\cfrac{f(x_{K})}{f'(x_{K})}$

Como para encontrar o modelo, designemos $\cfrac{1}{1+i}=x$ e como $i=0,79\%$a.a. (Taxa na forma unitária), logo:

$x=\cfrac{1}{1+i}=\cfrac{1}{1+0,79}=0,558659$ ou $x_{0}=(k=0)=0,558659$ (Raiz aproximada do polinômio)

Dados:

$f(x_{0})=f\left ( x_{0}^{4} \right )+f\left ( x_{0}^{3} \right )+f\left ( x_{0}^{2} \right )+f\left ( x_{0}^{} \right )-1,13577$

$f'(x_{0})=f\left ( 4x_{0}^{3} \right )+f\left ( 3x_{0}^{2} \right )+f\left ( 2x_{0}^{} \right )+1$ (Derivada de $f(x_{0})$).

$y_{1}=x_{0}-\cfrac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}=\cfrac{\left ( x_{0} \right )^{4}+\left ( x_{0} \right )^{3}+\left ( x_{0} \right )^{2}+\left ( x_{0} \right )^{}-1,13577}{\left ( 4x_{0} \right )^{3}+\left ( 3x_{0} \right )^{2}+\left ( 2x_{0} \right )^{}+1}$          $(3)$

Substituindo o valor de x_0 = 0,558659 na (3), obtém-se:

$y_{1}=0,558659-\cfrac{\left ( 0,558659 \right )^{4}+\left ( 0,558659 \right )^{3}+\left ( 0,558659 \right )^{2}+\left ( 0,558659 \right )^{}-1,13577}{4(0,558659)^{3}+ 3(0,558659)^{2}+2(0,558659) ^{}+1}$

Como $y_{1}=0,556859$, logo, $0,556859=\cfrac{1}{1+i}$ e $i=0,7958$ (Taxa na forma unitária). Multiplicando por $100$, tem-se:

$i=100 \times 0,7958=79,58\%$ a.a. (Taxa na forma de percentual).

$R=\cfrac{10000 \times 0,7958}{1-(1,7958)^{-4}}=R\$ 804,60$.

Conclusão

Como o valor da prestação calculado com a fórmula é igual à prestação do Banco, logo, o Banco está cobrando uma taxa de $79,58\%$ a.a. Se o Banco está cobrando uma taxa de $79,58\%$ a.a., pergunta-se: qual a taxa mensal que o Banco está cobrando?

Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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