Cálculo da Taxa de Juros nas compras em prestações usando o Método de Newton-Raphson (parte 2)

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Na parte 1, mostrou-se como calcular a taxa de juros nas compras em prestações iguais e periódicas, quando se recai num polinômio de 2º grau. Confira a segunda parte.

Na parte 1, mostrou-se como calcular a taxa de juros nas compras em prestações iguais e periódicas, quando se recai num polinômio de 2º grau, usando a fórmula Bhaskara.

Nesta parte 2, vai-se usar o método de Newton-Raphson, para encontrar a taxa de juros nas compras em prestações iguais e periódicas, quando se recai num polinômio de grau superior a 2. Nesse caso se usa o método de Newton-Raphson, haja vista que não existe uma fórmula genérica, em matemática financeira, para determinar a taxa de juros numa compra em três ou mais prestações iguais e periódicas ou num empréstimo.

Método de Newton-Raphson, desenvolvido por Isaac Newton e Joseph Raphson, tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, escolhe-se uma aproximação inicial para esta. Após isso, calcula-se a equação da reta tangente (derivada) da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz. Repetindo-se o processo, cria-se um método iterativo para encontrarmos a raiz da função. Em notação matemática, o método de Newton é representado da seguinte forma: $x_{n+1}=x_{n}-\cfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$.[Wikipédia]

Cálculo da Taxa de Juros nas compras em prestações usando o Método de Newton-Raphson (parte 2)

Nesses tipos de problemas procura-se usar uma fórmula que dê uma boa aproximação da taxa de juros a fim de que se possa usar o método de Newton-Raphson. A fórmula que dá uma boa aproximação da taxa de juros numa compra em três ou mais prestações iguais e periódicas ou num empréstimo é a seguinte:

$i=\cfrac{200H(3+H)}{n(3+2H)+3}$          $(1)$

Na qual $i$ é a taxa na forma percentual aproximada por falta.

$H=\cfrac{nR}{PV-E}-1$ é a taxa na forma unitária aproximada por excesso.

$n$: Número de prestações
$R$: Valor de cada prestação
$E$: Entrada (caso exista)
$PV$: Preço à vista

Observação: Tanto em compras em prestações como em empréstimos em prestações, a entrada pode ser igual à prestação ou uma porcentagem do valor à vista ou do empréstimo.

Regra

1º passo)

Ache o valor de $H$.

2º passo)

Substitua o valor de $H$ na fórmula e arredonde o valor de $i$ para o inteiro mais próximo.

3º passo)

Ache o valor da prestação ($R$), com a taxa encontrada no 2º passo, pela fórmula: $R=\cfrac{PV \times i}{1-(1+i)^{-n}}.$

Se o valor da prestação, encontrado pela fórmula, for diferente do valor da prestação dada no problema, apenas nas duas casas decimais, então, a taxa de juros encontrada no 2o passo é a taxa de juros cobrada. Caso contrário vá para o 4º passo. 


4º passo)


Use o método de Newton-Raphson.

Exemplo 1

Uma loja vende um produto à vista por R\$500,00 ou em 3 prestações iguais e mensais de R\$183,60; se a primeira prestação for paga um mês após a compra, qual a taxa mensal cobrada pela loja?

Resolução:


Dados:

$PV=R\$500,00$ (Preço à vista)
$R= R\$183,60$ (valor de cada prestação)
$n=3$ (número de prestações)
$E=0$ (não houve entrada)

1º passo)

$H=\cfrac{3 \times 183,60}{500-0}-1=0,1016$ (Taxa na forma unitária aproxiamda por excesso).

2º passo)

Substituindo o valor de $H$ na fórmula, obtém-se:

$i=\cfrac{200 \times 0,1016(3,1016)}{3(3+2 \times 0,1016)+3}=\cfrac{63,024512}{12,6096}=4,99\% \simeq 5\%$.

3º passo)

$R=\cfrac{500 \times 0,05}{1-(1+0,05)^{-3}}=R\$ 183,60$.

Como o valor da prestação, encontrado pela fórmula, é igual ao valor da prestação da loja, logo, a taxa de juros encontrada no 2º passo é a taxa de juros cobrada, ou seja, a loja está cobrando uma taxa de $5\%$ a.m.

Exemplo 2

Uma loja vende um produto à vista por R\$1.000,00 ou a prazo em 3 prestações iguais e mensais de R\$441,61. Se a primeira prestação for paga um mês após a compra, qual a taxa de juros cobrada pela loja?

Resolução:


Dados:

$P = R\$1.000,00$ (Preço à vista)
$R = R\$441,61$ (valor de cada prestação)
$n = 3$ (número de prestações)
$E = 0$ (não houve entrada)

1º passo)

$H=\cfrac{3 \times 441,61}{1000-0}-1=0,32483$

2º passo)

Substituindo o valor de $H$ na equação, obtém-se:

$i=\cfrac{200 \times 0,32483 \times (3+0,32483)}{3(3+2 \times 0,32483)+3}=15,48\%.$

Calculemos o valor da prestação com a taxa de $15,48\%$ a.a.

3º passo)

$R=\cfrac{1000 \times 0,1548}{1-(1-1,1548)^{-3}}=R\$ 441,45$.

Como o valor da prestação calculado com a fórmula é $R\$0,16$ menor que o valor da prestação cobrada pelo Banco, logo, o Banco está cobrando uma taxa um pouco maior, em centésimo.

Calculemos com a fórmula o valor da prestação com uma taxa de $15,5\%$ a.m.

$R=\cfrac{1000 \times 0,155}{1-(1-1,155)^{-3}}=R\$ 441,61$. Resultado que bate com o valor de cada prestação.

Portanto, o Banco está cobrando uma taxa de $15,5\%$ a.m.

Exemplo 3

Um determinado Banco empresta R\$10.000,00 para serem pagos em 4 prestações iguais e anuais de R\$8.804,60; se a primeira prestação for paga um ano após o empréstimo, qual a taxa anual que está sendo cobrada pelo Banco?

Resolução:


Dados:

$VE = R\$10.000,00$ (Valor do empréstimo)
$R = R\$8.804,60,00$ (valor de cada prestação)
$n = 4$ (número de prestações)
$E = 0$ (não houve entrada)

1º passo)

$H=\cfrac{4 \times 8804,60}{1000-0}-1=2,52184$

2º passo)

Substituindo o valor de $H$ na equação, obtém-se:

$i=\cfrac{200 \times 2,52184 \times (5,52184)}{4(3+2 \times 2,52184)+3}=79\%.$

3º passo)

$R=\cfrac{10000 \times 0,79}{1-(1+0,79)^{-4}}=R\$ 8752,00$.

Como o valor da prestação, encontrado pela fórmula, é menor que o valor da prestação do Banco, logo, a taxa de juros encontrada no 2º passo não é a taxa de juros cobrada, ou seja, o Banco está cobrando uma taxa um pouco maior que $79\%$ a.a. Vá para o 4º passo.

Para usar o método de Newton-Raphson temos que encontrar um polinômio envolvendo as prestações e por meio desse polinômio achar uma taxa aproximada. Vamos descapitalizar as prestações, ou seja, excluir os juros delas.

Descapitalizando a 4º prestação: $R_{4}=8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{4}} \right )$

Descapitalizando a 3º prestação: $R_{3}=8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{3}} \right )$

Descapitalizando a 2º prestação: $R_{2}=8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{2}} \right )$

Descapitalizando a 1º prestação: $R_{1}=8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{1}} \right )$

Somando $R_{4}$, $R_{3}$, $R_{2}$ e $R_{1}$ e igualando a $10000$, obtém-se:

$8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{4}} \right )+8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{3}} \right )+8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{2}} \right )+8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{1}} \right )=1000$

$8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{4}} \right )+8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{3}} \right )+8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{2}} \right )+8804,60\left ( \cfrac{1}{(1+i)^{1}} \right )-10000=0$$(2)$

Designando $\cfrac{1}{1+i}=x$, obtém-se:

$8804,60x^{4}+8804,60x^{3}+8804,60x^{2}+8804,60x^{1}-10000=0$

Pondo $8804,60$ em evidência, obtém-se:

$8804,60(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x^{1})=10000$ ou $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x^{1}-\cfrac{10000}{8804,60}=0$.

$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x^{1}-1,13577=0$ ou $f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x^{1}-1,13577$.

Uma compra em prestações iguais e periódicas, sem entrada, sempre se vai cair no seguinte modelo:

$f(x)=x^{n}+x^{n-1}+x^{n-2}+...+x-\cfrac{P}{R}$

Uma compra em prestações iguais e periódicas, com entrada, sempre se vai cair no seguinte modelo:

$f(x)=x^{n}+x^{n-1}+x^{n-2}+...+x-\cfrac{P-E}{R}$, (onde $E$ é o valor da entrada)

4º passo)

A fórmula desenvolvida por Newton-Raphson é a seguinte:

$y_{K+1}=x_{K}-\cfrac{f(x_{K})}{f'(x_{K})}$

Como para encontrar o modelo, designemos $\cfrac{1}{1+i}=x$ e como $i=0,79\%$a.a. (Taxa na forma unitária), logo:

$x=\cfrac{1}{1+i}=\cfrac{1}{1+0,79}=0,558659$ ou $x_{0}=(k=0)=0,558659$ (Raiz aproximada do polinômio)

Dados:

$f(x_{0})=f\left ( x_{0}^{4} \right )+f\left ( x_{0}^{3} \right )+f\left ( x_{0}^{2} \right )+f\left ( x_{0}^{} \right )-1,13577$

$f'(x_{0})=f\left ( 4x_{0}^{3} \right )+f\left ( 3x_{0}^{2} \right )+f\left ( 2x_{0}^{} \right )+1$ (Derivada de $f(x_{0})$).

$y_{1}=x_{0}-\cfrac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}=\cfrac{\left ( x_{0} \right )^{4}+\left ( x_{0} \right )^{3}+\left ( x_{0} \right )^{2}+\left ( x_{0} \right )^{}-1,13577}{\left ( 4x_{0} \right )^{3}+\left ( 3x_{0} \right )^{2}+\left ( 2x_{0} \right )^{}+1}$          $(3)$

Substituindo o valor de x_0 = 0,558659 na (3), obtém-se:

$y_{1}=0,558659-\cfrac{\left ( 0,558659 \right )^{4}+\left ( 0,558659 \right )^{3}+\left ( 0,558659 \right )^{2}+\left ( 0,558659 \right )^{}-1,13577}{4(0,558659)^{3}+ 3(0,558659)^{2}+2(0,558659) ^{}+1}$

Como $y_{1}=0,556859$, logo, $0,556859=\cfrac{1}{1+i}$ e $i=0,7958$ (Taxa na forma unitária). Multiplicando por $100$, tem-se:

$i=100 \times 0,7958=79,58\%$ a.a. (Taxa na forma de percentual).

$R=\cfrac{10000 \times 0,7958}{1-(1,7958)^{-4}}=R\$ 804,60$.

Conclusão

Como o valor da prestação calculado com a fórmula é igual à prestação do Banco, logo, o Banco está cobrando uma taxa de $79,58\%$ a.a. Se o Banco está cobrando uma taxa de $79,58\%$ a.a., pergunta-se: qual a taxa mensal que o Banco está cobrando?


Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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COMENTÁRIOS

BLOGGER: 5
  1. Muito bom o artigo. Desejo parabenizá-lo.

    Contudo tenho 3 dúvidas sobre o mesmo:

    1°) De onde vem esta equação (1) utilizada para cálculo da taxa i? Onde ela é encontrada?
    i = 200H(3+H) / [n(3+2H)+3] onde H = nR/(VP-E)-1

    2°) Quem é o autor desta equação?

    3°) Ela foi utilizada nos casos do valor presente (VP). Qual seria a fórmula para cálculo da taxa i para os casos do valor futuro (VF)?

    Grato
    Luiz
    29/04/17

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. A fórmula foi deduzida por Evans, matemático da Universidade de Havard, usando uma matemática muito avançada.

      Para calcular a taxa de juros do valor futuro não há fórmula, haja vista que se você fizer uma aplicação de R\$ 500,00 hoje, outra de R\$ 500,00 no fim do primeiro mês, outra de R\$ 500,00 no fim do terceiro mês e assim por diante durante, por exemplo, seis meses, basta ir ao Banco, após 30 dias da aplicação e pedir o saldo.

      Suponha que após um mês o saldo seja R\$ 515,00. Como $515=500.(1+i)^{1}$, logo, $i=3\%$ ao mês. Se a taxa variar de mês para mês, para saber a taxa mensal, basta achar a taxa mensal equivalente à taxa semestral.

      Sebá.

      PS: O comentário enviado pelo autor da postagem estava sem comandos em Latex. O mesmo foi editado sem alteração pelo administrador do blog.

      Excluir
    2. Caro Autor do Artigo

      Apenas Evans, é muito vago, se não informar em que livro ou artigo, e data, tal fórmula foi publicada.

      Segundo seu raciocínio, se for para ter o trabalho de ir ao banco, não há necessidade de fórmula nenhuma, nem para FV nem para PV.

      Luiz

      Excluir
    3. Eu verifiquei no trabalho original de Evans, de 1946 e verifiquei que lá não consta tal equação. O que será que houve?

      Luiz

      Excluir
  2. Olá boa noite, li sua publicação sobre o método de Newton para cálculo de juros com muitas parcelas me ajudou muito.
    Mas estou com dúvidas em fazer o mesmo para o método da secante.
    Poderia me auxiliar?
    Para que eu conclua esse processo que estou trabalhando para aprender?
    Obrigada desde já pela atenção, depois de muito lhe seguir tomei coragem para voltar a estudar e estou fazendo mestrado, obrigada por tudo sempre.

    ResponderExcluir

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Prof. Edigley Alexandre - O blog para professores e estudantes de Matemática: Cálculo da Taxa de Juros nas compras em prestações usando o Método de Newton-Raphson (parte 2)
Cálculo da Taxa de Juros nas compras em prestações usando o Método de Newton-Raphson (parte 2)
Na parte 1, mostrou-se como calcular a taxa de juros nas compras em prestações iguais e periódicas, quando se recai num polinômio de 2º grau. Confira a segunda parte.
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