A equação do segundo grau por trás da receita máxima de uma empresa

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Para que serve, realmente, a equação do 2º grau? Existem muitos problemas com os quais nos defrontamos no dia a dia que podem ser resolvidos por meio da equação do 2º grau.

Para que serve, realmente, a equação do 2º grau? Talvez você responda: se pensar nessa pergunta baseando-me naquilo que me “ensinaram” nas escolas “chatas” da vida, afirmaria: PARA NADA! No entanto, pensando melhor sobre o assunto, responderia: PARA SER COBRADA NAS PROVAS!

Porém, meditando compenetradamente no tema, diria: TAÍ ALGO QUE REALMENTE NÃO SEI?

Não sei se o aluno que está frequentando, ou aquele que já frequentou a escola do Ensino Fundamental, concorda com a resposta. Sinceramente, concordo. Concordo, porque durante o período que frequentei a escola do Ensino Fundamental (antigos primário e ginásio) em momento algum tive a oportunidade de ver, em sala de aula, uma só aplicação da equação do 2º grau.

Existem muitos problemas com os quais nos defrontamos no dia a dia que podem ser resolvidos por meio da equação do 2º grau. No final desse artigo há mais exemplos.

A equação do segundo grau por trás da receita máxima de uma empresa

Por que o aluno tem aversão ou desinteresse pela matemática?




a) a aversão que o aluno tem à matemática, decorre da distância que o ensino da matemática guarda da realidade em que vive;

b) já que o aluno não consegue fazer a conexão entre o que aprende e suas necessidades do dia a dia, daí vem o desinteresse e, em consequência, a versão à matemática;

Para que ensinar a resolver a equação do 2º grau, somente pelo fato de esse assunto fazer parte do currículo do Ministério da Educação? Para mim é coisa que, isolada, não significa absolutamente nada. Pior: atrapalha a carreira de muitos jovens.

Como podemos esperar algum resultado do ensino da matemática do Ensino Fundamental, se cujas ementas não mencionam aplicações? Ou será que o que consta nas ementas é apenas para ser cobrado nas provas?

Se o professor mostrasse o quanto é poderoso e fundamental aquilo que estão aprendendo, temos plena certeza de que, futuramente, duas coisas iriam ocorrer nas escolas do Ensino Fundamental:

a) a distância iria diminuir bastante, entre o ensino da matemática e a realidade em que vivem os alunos;

b) o aluno iria conseguir fazer a conexão entre o que aprendeu e suas necessidades do dia a dia. Daí, então, o interesse pela matemática e, consequentemente, o gosto por ela.

A seguir vamos apresentar um problema com o qual muitos empresários se defrontam no seu dia a dia que pode ser solucionado por meio da equação do 2º grau.

Flagrante da vida real

O custo para produzir um certo produto é ${R$ 3,00}$. Se esse produto for vendido ao preço de ${R$ 6,00}$, são vendidas mensalmente, 3000 unidades do produto. O empresário, por experiência própria, vem observando o seguinte: quando aumenta o preço de ${R$ 1,00}$, vende 250 unidades mensalmente a menos. O empresário deseja saber:

Pergunta 1) qual o maior preço que deverá cobrar, a fim de obter a máxima receita?
Pergunta 2) quantas unidades deverá produzir, mensalmente, a fim de obter a máxima receita?
Pergunta 3) qual o maior preço que deverá cobrar, a fim de obter o máximo lucro?
Pergunta 4) quantas unidades deverá produzir, mensalmente, a fim de obter o máximo lucro?

Resolução:

a) Sem usar a modelagem matemática (Investigando o problema).
b) Usando a modelagem matemática.

Solução 1) Sejam: $p$, $q$ e $R$, respectivamente, preço, quantidade e receita (o mesmo que arrecadação). Como a receita é preço vezes a quantidade, logo, $R=p \cdot q$.

p q R
R$ 6,00 3000 R$ 18.000,00
R$ 7,00 2750 R$ 19.250,00
R$ 8,00 2500 R$ 20.000,00
R$ 9,00 2250 R$ 20.250,00
R$ 10,00 2000 R$ 20.000,00


Note que: para o preço de ${R$9,00}$ a receita atinge o máximo, ou seja, o empresário deve vender 2250 unidades do produto para obter a maior receita a qual é de ${R$20.250,00}$. Encontramos a quantidade de produtos que o empresário deve vender para obter a máxima receita, após encontrar uma lista de várias receitas.

Veremos a seguir como a modelagem matemática é uma ferramenta muito útil para se encontrar o valor máximo com os assuntos das equações do 1º e 2º graus vistos no Ensino Fundamental. Quando você, caro leitor, estudou a equação do primeiro grau, viu que dois pontos determinam uma reta. Na coluna de $p$ e $q$ vamos escolher os seguintes pontos:

$(p, q)$    e    $(p, q)$
$(6, 3000)$ e $(7, 2750)$

A fórmula $\cfrac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}=\cfrac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}$ dá a equação de primeiro grau.

Seja $q$ a quantidade e $p$ o preço. A fórmula da equação de 1º grau fica: $\cfrac{p-p_{0}}{p_{1}-p_{0}}=\cfrac{q-q_{0}}{q_{1}-q_{0}}$.     (1)

Substituindo os valores de cada ponto na (1), obtém-se:

$\cfrac{p-6}{7-6}=\cfrac{q-3000}{2750-3000}$
$(p-6) \cdot (2750-3000)=(7-6) \cdot (q-3000)$
$(p-6) \cdot (-250)=(1) \cdot (q-3000)$
$q=-250 \cdot p+4500$                                    (2)

A equação (2) é o modelo matemático para a quantidade em função do preço.

Como a receita $(R)$ é igual ao preço $(p)$ vezes a quantidade $(q)$, ou seja, $R=p \cdot q$, logo multiplicando ambos os membros da equação (2) por $q$, obtém-se:

$p \cdot q = – 250q \cdot q + 4500 \cdot q$
$R = – 250 \cdot q 2 + 4500 \cdot q$               (3)

A equação (3) é o modelo matemático da receita total da empresa.

Já que a equação (3) é do 2º grau, logo, seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente de $x^{2}$ é negativo, então, a receita total atinge o máximo no vértice da parábola. Como o vértice da parábola é dado por:

$V_{x}=\cfrac{-b}{2a}$, e como $a=-250$ e $b=4500$, logo:
$V_{x}=\cfrac{-4500}{2 \cdot (-250)}$
$V_{x}=9$

Portanto, $x=9$.

Resposta: O maior preço que a empresa deverá cobrar a fim de obter a máxima receita é ${R$9,00}$. E para esse preço, o valor máximo da receita total é:

$R_{t}=-250 \cdot (9)^{2}+4500 \cdot (9) = {R$20.250,00}$

Solução 2) $q=-250 \cdot (9)+4500 = 2250$ unidades.

Resposta: A fim de obter a máxima receita, a empresa deverá produzir e vender 2250 unidades.

Solução 3) Como o lucro total é igual à diferença entre a receita total e o custo total $(C_{t})$, logo, $L_{t}=R_{t}-C_{t}$.

Já que a empresa gasta ${R$3,00}$ para produzir cada unidade do produto, logo, o custo total é: $C_{t}=3 \cdot q$. Como $q=-250 \cdot p+4500$, então,

$C_{t}=3 \cdot (-250 \cdot p+4500)$
$C_{t}=-750 \cdot p+13500$              (4)

A equação (4) é o modelo matemático do custo total da empresa.

Como $L_{t}=R_{t}-C_{t}$, então,

$L_{t}=-250 \cdot p^{2}+4500 \cdot p-(-750 \cdot p+13500)$
$L_{t}=-250 \cdot p^{2}+5250 \cdot p-13500$                           (5)

A equação (5) é o modelo matemático do lucro total da empresa.

Já que a equação (5) é do 2º grau, logo, seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente de $x^{2}$ é negativo, então, o lucro atinge o máximo no vértice da parábola.

Como $a=-250$ e $b=5250$, logo:

$V_{x}=\cfrac{-5250}{2 \cdot (-250)}$
$V_{x}=10,5$

Resposta: O maior preço que a empresa deverá cobrar, a fim de obter o máximo lucro, é de ${R$10,50}$. E para esse preço o valor máximo do lucro total é:

$L_{t}=-250 \cdot (10,5)^{2} + 5250 \cdot (10,5) -13500 = {R$14.062,50}$

Solução 4) $q=-250 \cdot (10,5) + 4500 = 1875$ unidades.

Resposta: A fim de obter o máximo lucro, a empresa deverá produzir e vender 1875 unidades.

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Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.
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