Demonstrações abstratas nas aulas de Matemática. Sim ou não?

COMPARTILHE:

Trabalhar com demonstrações matemáticas é um processo complexo, pois obviamente exige dos alunos uma abstração além das teorias matemáticas já estudadas. E para alunos do Ensino Fundamental 2 nem se fala. No entanto não é impossível, desde que o professor esteja disposto e corajoso para encarar esse fardo.

A resposta é sim e não!

Abstração e abstração matemática são coisas distintas, porém caminham unidas. A abstração natural de um indivíduo pode surgir com o tempo, é um amadurecimento natural com o passar dos anos. Já abstração matemática, além de exigir o amadurecimento natural, exige também que o indivíduo esteja preparado para essa convivência.

Trabalhar com demonstrações matemáticas é um processo complexo, pois obviamente exige dos alunos uma abstração além das teorias matemáticas já estudadas. E para alunos do Ensino Fundamental 2 nem se fala. No entanto não é impossível, desde que o professor esteja disposto e corajoso para encarar esse fardo. Caso contrário, estará fadado a jogar uma fórmula no quadro e pedi que os alunos a decorem, sem no mínimo um trabalho de convencimento.

O que é uma demonstração matemática (ou Prova matemática)?

Em matemática, uma prova é uma demonstração de que, dados certos axiomas, algum enunciado de interesse é necessariamente verdadeiro. Utiliza como base premissas intrínsecas a um modelo conceitual e um silogismo que, a partir de uma série de operações, chega ao resultado. [Segundo o Wikipédia]

Demonstrações abstratas nas aulas de Matemática. Sim ou não?

No artigo Como "nasce" uma fórmula matemática? destaquei alguns tipos de provas matemáticas.

E alunos do Fundamental 2 estudam axiomas, premissas, silogismo, operações, etc.? Sim! Elemento neutro, distributividade, associatividade, comutatividade, elemento inverso, elemento oposto, são axiomas. São verdades absolutas sem a necessidade de prova. Acreditar nelas é um ato de fé.

Premissas são argumentos que servem de base para iniciar um raciocínio, e, mais tarde, chegar em uma conclusão. Silogismo são raciocínios, ideias, que são baseadas em premissas. Isso também é estudado no Fundamental 2.

Comumente os livros didáticos trazem algumas demonstrações matemáticas. Geralmente as mais famosas, como a fórmula de Bhákara que não é Bháskara.

Por que é importante utilizar demonstrações matemáticas em sala de aula?

Exercitar a demonstração, muitas vezes, pode ser um exercício de iniciar e praticar um pouco de abstração matemática. O pensamento dedutivo presente na Geometria é um exemplo que é possível trabalhar um pouco de abstração matemática. No entanto, a tarefa torna-se complexa quando não é possível usar mais dedução do que abstração algébrica.

Exemplo para o Ensino Fundamental 2:

1º) Como "provar" que o algoritmo $D=\cfrac{n \cdot (n-3)}{2}$ nos dá a quantidade de diagonais de um polígono convexo?


O que significa $(n – 3)$? Por que multiplicamos $n$ com $(n – 3)$? Por que dividir por $2$?

Resposta: na fórmula $n$ representa o número de lados e $(n – 3)$ representa o número de diagonais que  é possível traçar apenas de um único vértice e a divisão por $2$ serve para excluir a duplicidade de diagonais em um polígono.

A resposta acima é um raciocínio claro e dedutivo. Esse raciocínio deve ser iniciado com o triângulo, depois com o quadrado, depois pentágono, em seguida com o hexágono e por fim começa o debate entre o professor e os alunos em busca de escrever uma fórmula matemática verdadeira que sustenta em qualquer polígono convexo escolhido.

Aqui não será desenvolvida uma demonstração matemática e sim abstração matemática e deduções geométricas baseadas em premissas que os alunos conhecem. Daí então é possível se convencer de que $D=\cfrac{n \cdot (n-3)}{2}$ realmente funciona.


Exemplo para o Ensino Fundamental 2:

2º) Como "provar" que o algoritmo $x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$ calcula as raízes que qualquer equação do 2º grau?


Nesse caso será preciso muita abstração algébrica para convencer e demonstrar que ela realmente funciona. Um processo sistemático e rigoroso deve ser destrinchado passa a passo rumo ao entendimento final das premissas, operações e conclusão.

No artigo A dedução da fórmula de Bháskara escrito por Kleber Kilhian do blog O Baricentro da Mente, você pode conferir como funciona esse processo. Não deixe de ler.


Exemplo para o Ensino Fundamental 2 (9º ano):

3º) Como convencer e provar que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero?


Já esse processo de convencimento exige uma demonstração, da qual pode ser explorada pelos alunos do 9º ano, por exemplo. Ela é simples e exige apenas algumas operações básicas com os axiomas que já cometei nessa postagem.

Se quiser conhecer o processo basta acessar o artigo Por que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero?


Exemplo para o Ensino Fundamenta 2 e Médio:

4º) Por que $\sqrt{2}$ não é um número racional?


Esse processo de convencimento exige uma demonstração mais cautelosa, porém não complexa. Se um aluno nunca praticou antes uma demonstração matemática, é comum ficar perdido no começo. Para esse caso podemos seguir assim, sempre citando propriedades matemáticas que já foram exploradas em aulas anteriores ou em anos anteriores.

Para essa demonstração podemos usar a prova por contradição, onde é mostrado que se algum enunciado fosse verdadeiro, ocorreria uma contradição lógica, e portanto o enunciado deve ser falso.

Para esse processo, escrevi um arquivo separado dessa postagem para que ela não ficasse mais longa. Clique no botão abaixo para lê-la no Google Drive em formato PDF.

Ver demonstração

Sugestão de leitura: Para que servem os números irracionais? Além das fórmulas de perímetro, áreas e volumes.

Concluindo

Trabalhar demonstrações matemáticas em sala de aula é critério do professor, mediante a necessidade de convencer um aluno ou um grupo de alunos que uma determinada afirmação matemática é realmente verdadeira ou falsa. O contraponto crucial é a falta de tempo hábil para que seja trabalhado as demonstrações de forma satisfatória.

O convencimento pode se dar por meio da demonstração matemática rigorosa, por dedução ou pelo critério da autoridade, onde o professor em sala de aula é respaldado por um outro professor (matemático) que provou matematicamente, que uma dada afirmação (algoritmo ou fórmula) é verdadeira.

Você trabalha com demonstrações matemáticas em suas aulas? Deixe-me saber através da enquete abaixo (botão) ou comente essa postagem na sessão de comentários do blog.

Responder enquete

COMENTÁRIOS

BLOGGER: 8
  1. Marlon Tenorioabril 15, 2018

    Meu caro, senti falta do teorema de Pitágoras. Acho q ele tb eh dos mais simples para demonstrar, Não?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá, Marlon!

      Tem razão. É um dos mais famosos e quem diversas formas de demonstrá-lo, seja algebricamente ou geometricamente.

      Confesso que não veio ele em mente quando escrevia.

      Um abraço!

      Excluir
  2. Acredito ser muito difícil não trabalhar com demonstrações, por mais simples que seja, quando se quer ensinar matemática. Sempre procuro mostrar aos meus alunos a importância em provar, seja através de algoritmos, de desenhos ou outra forma que tenha coerência, os resultados encontrados nas atividades. Muitas vezes o aluno coloca a resposta, mas não mostra como encontrou o resultado e então cobro a eles. Se não vira decoreba.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá, Prof. Luiz!

      Creio que tudo depende de como os alunos tem contato com a Matemática no 6º ano em diante. É uma série crítica e que pode trazer sérias consequências, caso não trabalhamos da forma correta.

      Obrigado pelo comentário.

      Abraço!

      Excluir
  3. Nas aulas de Física que ministro sempre faço a demonstração matemática da fórmula

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá, Medeiros!

      Nas aulas de Física é melhor ainda. E se for em laboratório para realizar alguma atividade prática, os alunos ganham muito.

      Obrigado por vir aqui.

      Abraço!

      Excluir
  4. Muito bom mesmo. Vejo que o grande complicador de demonstrar fórmulas é o tempo. No entanto, creio que aquelas que sejam de maior simplicidade possam ser apresentadas e se possível, acompanhada com um pouco de história da matemática. Isso ajuda a mostrar que as fórmulas não vieram do nada, pois havia muito pensamento e energia gasta em cada uma delas.

    Um forte abraço!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Kleber,

      Quanto a integração das aulas com a História da Matemática sempre é possível e os alunos gostam disso. O problema é que nem todos professores gostam. Falar de algo sem entusiasmo e querer a atenção de todos é contraditório demais.

      Abraço, meu amigo!

      Excluir

Nome

android,27,aplicações matemáticas,119,Aprender Matemática,31,Artigo Convidado,50,Biologia,1,blog,49,Blogger,3,Camisetas de exatas,4,Carl Sagan Day,1,chrome,9,cinema,12,Concursos,3,Curiosidades matemáticas,102,curso online,10,Desafios matemáticos,44,destaque,1,determinantes,3,Dia do Estudante,1,Dia do Professor,10,Diario Escolar Digital,5,Dica de economia,4,dica de livro,32,Dica para professor,43,divulgação,61,E-book,4,Editorial,21,educação,106,ENEM,1,ensino,138,Entrevista,8,eventos,19,excel,24,extensões,11,Facebook,8,feira do livro,4,firefox,2,frações,6,funções,14,geogebra,80,GifsMatemáticos,5,google,42,história da matemática,40,humor,58,IMO,2,InternetJusta,1,iOS,18,iPad,7,iPhone,3,jogos,27,Katex,1,Latex,20,LibreOffice,12,linux,48,Livro GeoGebra,6,Mapa Mental,1,Matemática e profissões,20,Matemático do dia,27,Materiais GeoGebra,23,Mathjax,2,Netflix,7,Noticias,132,OBMEP,1,One Strange Rock,1,Papel milimetrado,5,Papel Quadriculado,1,Pi Day,16,piadas matemáticas,13,PodCast,4,política,3,premiações,7,professor,6,promoção,13,Quiz,22,Resenhas de Livros,1,Resposta Desafios,1,Sebastião Vieira,22,software,18,Software Livre,50,Tabuada,5,TCC,17,Telegram,8,TexMath,4,TIC,33,Top artigos,4,ubuntu,15,Videos,104,wallpapers matemáticos,23,Widgets,26,windows,40,wolfram alpha,30,Youtube,16,
ltr
item
Prof. Edigley Alexandre - O blog para professores e estudantes de Matemática: Demonstrações abstratas nas aulas de Matemática. Sim ou não?
Demonstrações abstratas nas aulas de Matemática. Sim ou não?
Trabalhar com demonstrações matemáticas é um processo complexo, pois obviamente exige dos alunos uma abstração além das teorias matemáticas já estudadas. E para alunos do Ensino Fundamental 2 nem se fala. No entanto não é impossível, desde que o professor esteja disposto e corajoso para encarar esse fardo.
https://1.bp.blogspot.com/-1EPi8UYJSqo/WtJrgBxZrzI/AAAAAAAA63o/SjGZ9XsrcvowlgAzR_6SnDrDBSw8lDFHwCLcBGAs/s1600/demonstracoes-abstratas-nas-aulas-de-matematica-sim-ou-nao.png
https://1.bp.blogspot.com/-1EPi8UYJSqo/WtJrgBxZrzI/AAAAAAAA63o/SjGZ9XsrcvowlgAzR_6SnDrDBSw8lDFHwCLcBGAs/s72-c/demonstracoes-abstratas-nas-aulas-de-matematica-sim-ou-nao.png
Prof. Edigley Alexandre - O blog para professores e estudantes de Matemática
https://www.prof-edigleyalexandre.com/2018/04/demonstracoes-abstratas-nas-aulas-de-matematica-sim-ou-nao.html
https://www.prof-edigleyalexandre.com/
https://www.prof-edigleyalexandre.com/
https://www.prof-edigleyalexandre.com/2018/04/demonstracoes-abstratas-nas-aulas-de-matematica-sim-ou-nao.html
true
125900602153146940
UTF-8
Carregar mais posts Não foram encontrados posts VER TODOS Leia mais Responder Cancelar resposta Delete Por Início PÁGINAS POSTS VER TODOS RECOMENDADOS PARA VOCÊ CATEGORIA ARQUIVO PESQUISE TODOS OS POSTS Não foi encontrada nenhuma correspondência de postagem com sua solicitação VOLTAR Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Jan Fev Mar Abr Maio Jun Jul Ago Set Out Nov Dez agora mesmo 1 minuto atrás $$1$$ minutes ago 1 hora atrás $$1$$ hours ago Ontem $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago mais de 5 semanas atrás Seguidores Seguir ESTE CONTEÚDO PREMIUM ESTÁ BLOQUEADO PASSO 1: Compartilhar em uma rede social PASSO 2: Clique no link da sua rede social Copiar todo o código Selecioinar todo o código Todos os códigos foram copiados para a área de transferência Não é possível copiar os códigos / textos, pressione [CTRL] + [C] (ou CMD + C com Mac) para copiar