Demonstrações abstratas nas aulas de Matemática. Sim ou não?

Trabalhar com demonstrações matemáticas é um processo complexo, pois obviamente exige dos alunos uma abstração além das teorias matemáticas já estudadas. E para alunos do Ensino Fundamental 2 nem se fala. No entanto não é impossível, desde que o professor esteja disposto e corajoso para encarar esse fardo.

A resposta é sim e não!

Abstração e abstração matemática são coisas distintas, porém caminham unidas. A abstração natural de um indivíduo pode surgir com o tempo, é um amadurecimento natural com o passar dos anos. Já abstração matemática, além de exigir o amadurecimento natural, exige também que o indivíduo esteja preparado para essa convivência.

Trabalhar com demonstrações matemáticas é um processo complexo, pois obviamente exige dos alunos uma abstração além das teorias matemáticas já estudadas. E para alunos do Ensino Fundamental 2 nem se fala. No entanto não é impossível, desde que o professor esteja disposto e corajoso para encarar esse fardo. Caso contrário, estará fadado a jogar uma fórmula no quadro e pedi que os alunos a decorem, sem no mínimo um trabalho de convencimento.

O que é uma demonstração matemática (ou Prova matemática)?

Em matemática, uma prova é uma demonstração de que, dados certos axiomas, algum enunciado de interesse é necessariamente verdadeiro. Utiliza como base premissas intrínsecas a um modelo conceitual e um silogismo que, a partir de uma série de operações, chega ao resultado. [Segundo o Wikipédia]

No artigo Como "nasce" uma fórmula matemática? destaquei alguns tipos de provas matemáticas.

E alunos do Fundamental 2 estudam axiomas, premissas, silogismo, operações, etc.? Sim! Elemento neutro, distributividade, associatividade, comutatividade, elemento inverso, elemento oposto, são axiomas. São verdades absolutas sem a necessidade de prova. Acreditar nelas é um ato de fé.

Premissas são argumentos que servem de base para iniciar um raciocínio, e, mais tarde, chegar em uma conclusão. Silogismo são raciocínios, ideias, que são baseadas em premissas. Isso também é estudado no Fundamental 2.

Comumente os livros didáticos trazem algumas demonstrações matemáticas. Geralmente as mais famosas, como a fórmula de Bhákara que não é Bháskara.

Por que é importante utilizar demonstrações matemáticas em sala de aula?

Exercitar a demonstração, muitas vezes, pode ser um exercício de iniciar e praticar um pouco de abstração matemática. O pensamento dedutivo presente na Geometria é um exemplo que é possível trabalhar um pouco de abstração matemática. No entanto, a tarefa torna-se complexa quando não é possível usar mais dedução do que abstração algébrica.

Exemplo para o Ensino Fundamental 2:

1º) Como "provar" que o algoritmo $D=\cfrac{n \cdot (n-3)}{2}$ nos dá a quantidade de diagonais de um polígono convexo?

O que significa $(n – 3)$? Por que multiplicamos $n$ com $(n – 3)$? Por que dividir por $2$?

Resposta: na fórmula $n$ representa o número de lados e $(n – 3)$ representa o número de diagonais que  é possível traçar apenas de um único vértice e a divisão por $2$ serve para excluir a duplicidade de diagonais em um polígono.

A resposta acima é um raciocínio claro e dedutivo. Esse raciocínio deve ser iniciado com o triângulo, depois com o quadrado, depois pentágono, em seguida com o hexágono e por fim começa o debate entre o professor e os alunos em busca de escrever uma fórmula matemática verdadeira que sustenta em qualquer polígono convexo escolhido.

Aqui não será desenvolvida uma demonstração matemática e sim abstração matemática e deduções geométricas baseadas em premissas que os alunos conhecem. Daí então é possível se convencer de que $D=\cfrac{n \cdot (n-3)}{2}$ realmente funciona.


Exemplo para o Ensino Fundamental 2:

2º) Como "provar" que o algoritmo $x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$ calcula as raízes que qualquer equação do 2º grau?

Nesse caso será preciso muita abstração algébrica para convencer e demonstrar que ela realmente funciona. Um processo sistemático e rigoroso deve ser destrinchado passa a passo rumo ao entendimento final das premissas, operações e conclusão.

No artigo A dedução da fórmula de Bháskara escrito por Kleber Kilhian do blog O Baricentro da Mente, você pode conferir como funciona esse processo. Não deixe de ler.


Exemplo para o Ensino Fundamental 2 (9º ano):

3º) Como convencer e provar que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero?

Já esse processo de convencimento exige uma demonstração, da qual pode ser explorada pelos alunos do 9º ano, por exemplo. Ela é simples e exige apenas algumas operações básicas com os axiomas que já cometei nessa postagem.

Se quiser conhecer o processo basta acessar o artigo Por que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero?

Exemplo para o Ensino Fundamenta 2 e Médio:

4º) Por que $\sqrt{2}$ não é um número racional?

Esse processo de convencimento exige uma demonstração mais cautelosa, porém não complexa. Se um aluno nunca praticou antes uma demonstração matemática, é comum ficar perdido no começo. Para esse caso podemos seguir assim, sempre citando propriedades matemáticas que já foram exploradas em aulas anteriores ou em anos anteriores.

Para essa demonstração podemos usar a prova por contradição, onde é mostrado que se algum enunciado fosse verdadeiro, ocorreria uma contradição lógica, e portanto o enunciado deve ser falso.

Para esse processo, escrevi um arquivo separado dessa postagem para que ela não ficasse mais longa. Clique no botão abaixo para lê-la no Google Drive em formato PDF.

Ver demonstração
Sugestão de leitura: Para que servem os números irracionais? Além das fórmulas de perímetro, áreas e volumes.

Concluindo

Trabalhar demonstrações matemáticas em sala de aula é critério do professor, mediante a necessidade de convencer um aluno ou um grupo de alunos que uma determinada afirmação matemática é realmente verdadeira ou falsa. O contraponto crucial é a falta de tempo hábil para que seja trabalhado as demonstrações de forma satisfatória.

O convencimento pode se dar por meio da demonstração matemática rigorosa, por dedução ou pelo critério da autoridade, onde o professor em sala de aula é respaldado por um outro professor (matemático) que provou matematicamente, que uma dada afirmação (algoritmo ou fórmula) é verdadeira.

Você trabalha com demonstrações matemáticas em suas aulas? Deixe-me saber através da enquete abaixo (botão) ou comente essa postagem na sessão de comentários do blog.

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