Conjecturas sobre ternos pitagóricos primitivos

E o que são ternos pitagóricos primitivos?

Antes de ser apresentadas as conjecturas, vamos primeiro explicar o que são ternos pitagóricos primitivos. Diz-se que um terno $(a, b, c)$ é pitagórico primitivo, se $a$, $b$ e $c$ são inteiros positivos, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ e, além disso, o $mdc(a, b) = 1$.

Se um terno pitagórico for primitivo, então:

a) $a$ e $c$ são sempre ímpares e $b$ é sempre par;

b) $c$ é sempre um número composto ímpar ou um número primo ímpar da forma $4x+1$; se $c$ for um número composto ímpar, ele pode ser escrito como soma de dois quadrados de inteiros positivos de uma ou mais maneiras diferentes; se $c$ for um primo ímpar da forma $4x+1$, segundo Fermat, ele pode ser escrito como soma dos quadrados de dois inteiros positivos de uma única maneira.

Exemplos:

1) $(3, 4, 5)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $3$, $4$ e $5$ são inteiros positivos, $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ e, além disso, $mdc(3, 4) = 1$. Note que $c = 5$; e como $5$ é um primo da forma $4x + 1$, logo, $5 = 2^{2}+ 1^{2}$.

2) $(5, 12, 13)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $5$, $12$ e $13$ são inteiros positivos, $5^{2}+12^{2}=13^{2}$ e, além disso, $mdc(5, 12) = 1$. Note que $c = 13$; e como $13$ é um primo da forma $4x + 1$, logo, $13 = 3^{2}+ 2^{2}$.

3) $(39, 52, 65)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $39$, $52$ e $65$ são inteiros positivos, $39^{2}+52^{2}=65^{2}$ e, além disso, $mdc(39, 52) = 1$. Note que $c = 65$; como $65$ é um número composto, logo, $65 = 7^{2}+ 4^{2} = 8^{2} + 1^{2}$.

E assim por diante.

Conjectura (Sebá 1) – Se $(a, b, c)$ é um terno pitagórico primitivo e $c$ é um número composto ímpar, então $c = pq$, onde $p$ e $q$ são primos ímpares da forma $4x + 1$.

Exemplos:

1) $(21, 220, 221)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $21$, $220$ e $221$ são inteiros positivos, $21^{2}+220^{2}=221^{2}$ e, além disso, $mdc(21, 220) = 1$. Note que $c$ pode ser decomposto em dois primos cada um da forma $4x +1$, ou seja, $221 = 13 \cdot 17$.

2) $(152, 345, 377)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $152$, $345$ e $377$ são inteiros positivos, $152^{2}+345^{2}=377^{2}$ e, além disso, $mdc(152, 345) = 1$. Note que $c$ pode ser decomposto em dois primos cada um da forma $4x +1$, ou seja, $377 = 13 \cdot 29$.

Conjectura (Sebá 2) – Se $a$ for ímpar e $c=\cfrac{a^{2}+1}{2}$ for um primo da forma $4x + 1$, então, podemos escrever $c$ como soma de dois quadrados de inteiros positivos: $c=x^{2}+y^{2}$, $c=\cfrac{a+1}{2}$, $y=x-1$ e $b=c-1$.

1) Seja $a=5$; como $a$ é ímpar, logo: $c=\cfrac{5^{2}+1}{2}=13$. Como $13$ é um número primo da forma $4x+1$, logo: $x=\cfrac{a+1}{2}=\cfrac{5+1}{2}=3$ e $y=3-1=2$. Portanto, $13=3^{2}+2^{2}$ e $b=13-1=12$. O terno $(5, 12, 13)$ é pitagórico primitivo.

2) Seja $a=9$; como $a$ é ímpar, logo: $c=\cfrac{9^{2}+1}{2}=41$. Como $41$ é um número primo da forma $4x+1$, logo: $x=\cfrac{a+1}{2}=\cfrac{9+1}{2}=5$ e $y=5-1=4$. Portanto, $41=5^{2}+4^{2}$ e $b=41-1=40$. O terno $(9, 40, 41)$ é pitagórico primitivo.

3) Seja $a=11$; como $a$ é ímpar, logo: $c=\cfrac{11^{2}+1}{2}=61$. Como $61$ é um número primo da forma $4x+1$, logo: $x=\cfrac{a+1}{2}=\cfrac{11+1}{2}=6$ e $y=6-1=5$. Portanto, $61=6^{2}+5^{2}$ e $b=61-1=60$. O terno $(11, 60, 61)$ é pitagórico primitivo.

E assim por diante.

No próximo artigo veremos como escrever um número composto ímpar como soma de dois quadrados de inteiros positivos. Acesse o artigo através do botão abaixo.

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Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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