Qual o seu interesse em aprender como se escreve um número composto como soma de dois quadrados de inteiros positivos?
O objetivo do presente trabalho é apresentar uma regra simples para se escrever um número composto como soma de dois quadrados de inteiros positivos. O leitor (ou aluno) pode perguntar a si mesmo: “o que motivou o autor a escrever essa regra”.

Esse artigo trás a segunda parte sobre o que foi mencionado no artigo Conjecturas sobre ternos pitagóricos primitivos.

O que me motivou, foram resultados de pesquisas feitas em três idiomas (português, espanhol e inglês), em livros de teoria elementar dos números. O leitor só encontra nesses livros: teoremas de Fermat (sobre primos da forma $4x + 1$) e fórmulas de Euclides (que geram ternos pitagóricos primitivos). Após as demonstrações dos teoremas de Fermat e das fórmulas de Euclides, os autores não apresentam nem uma (uma só) aplicação numa situação-problemas, dos teoremas de Fermat e dos primos da forma $4x + 1$.

Após ler esses livros pôde-se constatar que os teóricos dos números (são os especialistas em teoria dos números), são uns verdadeiros massacradores de cérebros. Antes de apresentar a regra, iremos responder a seguinte pergunta:

Regra para escrever um número composto como a soma de dois quadrados de inteiros positivos

Qual o interesse do leitor em aprender como se escreve um número composto como soma de dois quadrados de inteiros positivos?

O autor do presente trabalho já viu problemas em olimpíadas nacional e internacional no qual era dada apenas a medida da hipotenusa e se pedia para achar as medidas dos dois catetos.

A regra para escrever um número composto como soma de dois quadrados de inteiros positivos só será apresentada, quando o leitor tomar conhecimento do que seja terno pitagórico primitivo e não primitivo e, além disso, quando for apresentada a regra para escrever um número primo da forma $4x+1$ como soma de dois quadrados de inteiros positivos.

Ternos Pitagóricos Primitivos versus Ternos Pitagóricos não Primitivos

Se $a$, $b$ e $c$ são três números inteiros positivos que satisfazem a equação $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, então, ($a$, $b$ e $c$) é um terno pitagórico. Se, além disso, o $mdc (a, b) = 1$, o terno ($a$, $b$ e $c$) é chamado terno pitagórico primitivo. Se o $mdc (a, b)>1$, o terno ($a$, $b$ e $c$) é chamado terno pitagórico não primitivo.

Existem três fórmulas desenvolvidas por Euclides, as quais geram apenas ternos pitagóricos primitivos. São elas:
  • $a = x^{2}-y^{2}$ (um dos catetos)
  • $b = 2 \cdot x \cdot y$ (o outro cateto)
  • $c = x^{2}+y^{2}$ (hipotenusa)

Onde: $x$, $y$ e $z$ números naturais, $x > y$, $x$ e $y$ de paridades opostas.

Teorema 1 (Fermat). Todo primo da forma $4x +1$ pode ser escrito como soma de dois quadrados de inteiros positivos de maneira única.

Teorema 2 (Fermat). Nenhum primo da forma $4x+3$ pode ser escrito como soma de dois quadrados de inteiros positivos.

Teorema 3 (Fermat). Um número natural $N$ é a soma de dois quadrados de inteiros positivos se e somente se todo divisor primo de $N$ da forma $4k + 3$ aparecer com o expoente par na fatoração de $N$ como produto de primos.

Vejamos quais os números primos da forma $4x + 1$ e $4x + 3$ maiores que $1$ e menores que $100$:

$x$ $4x+1$ $4x+3$
0 1 3
1 5 7
2 9 11
3 13 15
4 17 19
5 21 23
6 25 27
7 29 31
8 33 35
9 37 39
10 41 43
11 45 47
12 49 51
13 53 55
14 57 59
15 61 63
16 65 67
17 69 71
18 73 75
19 77 79
20 81 83
21 85 87
22 89 91
23 93 95
24 97 99

Números primos da forma $4x + 1$: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89 e 97.

Números primos da forma $4x + 3$: 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71,79 e 83.

Se $a$, $b$ e $c$ forem um terno pitagórico primitivo, então, $c$ é um primo ($p$) da forma $4x+1$ ou um composto ($C$) da forma $p_{1} \cdot p_{2} \cdot p_{3}... p_{n}$, onde $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{n}$ são primos da forma $4x + 1$.

Exemplos:

Exemplo 01) Se $c=5$ (hipotenusa), então:

$a = x^{2}-y^{2} = 2^{2}-1^{2} = 3$

$b = 2 \cdot x \cdot y = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$

$c = x^{2}+ y^{2} = 2^{2} + 1^{2} = 5$ (Primo da forma $4x + 1$)

O terno $(a,b,c)=(3, 4, 5)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $mdc(3, 4) =1$.

Exemplo 02) Se $c=13$ (hipotenusa), então:

$a = x^{2}-y^{2} = 3^{2}-2^{2} = 5$

$b = 2 \cdot x \cdot y = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$

$c = x^{2}+ y^{2} = 3^{2} + 2^{2} = 13$ (Primo da forma $4x + 1$)

O terno $(a,b,c)=(5, 12, 13)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $mdc(5,12) =1$.

$C = p_{1} \cdot p_{2}= 5 \cdot 13 = 65 = (2^{2} + 1^{2} ) \cdot (3^{2} + 2^{2})$.

Aplicando números complexos, obtém-se:

$(2^{2} + 1^{2}) \cdot (3^{2} + 2^{2}) = (2+i)(3+2i) = 4 + 7i$. Logo, $x = 7$ e $y = 4$.

Portanto: $65 = 7^{2} + 4^{2}$.

$a = x^{2} – y^{2} = 7^{2} – 4^{2} = 33$
$b = 2 \cdot x \cdot y = 2 \cdot 7 \cdot 4 = 56$
$c = x^{2} + y^{2} = 7^{2} + 4^{2} = 65$ (Produto de dois primos da forma $4x + 1$: $5$ e $13$)

O terno $(a, b, c) = (33, 56, 65)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $mdc(33, 56) = 1$.

Será que existe outra maneira de escrever $65$ como soma de dois quadrados de inteiros positivos? Vejamos:

Trocando o sinal de $2 + i$ ou de $3 + 2i$. Troquemos o sinal de $2 + i$:

$(2 − i)(3 + 2i) = 8 + i$
$65 = 8^{2} + 1^{2}$

Conclusão: O número 65 pode ser escrito como soma de dois quadrados de inteiros positivos de duas maneiras distintas: $65 = 7^{2} + 4^{2} = 8^{2} + 1^{2}$.

Usando as fórmulas de Euclides mais uma vez, obtém-se:

$a = x^{2} – y^{2} = 8^{2} – 1^{2} = 63$
$b = 2 \cdot x \cdot y = 2 \cdot 8 \cdot 1 = 16$
$c = x^{2} + y^{2} = 8^{2} + 1^{2} = 65$

O terno $(a, b, c) = (63, 16, 65)$ é também um terno pitagórico primitivo, haja vista que $mdc(63, 16) =1$.

Como todo número composto pode ser decomposto em fatores primos, logo, segundo Fermat, se na decomposição de um número composto existir um primo da forma $4x + 3$ com expoente ímpar, esse composto não pode ser escrito como soma de dois quadrados de inteiros positivos, consequentemente, esse composto não pode ser hipotenusa de um triângulo retângulo.

Exemplos de compostos que podem ser escritos como soma de dois quadrados de inteiros positivos:

$18 = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 3^{2} \cdot 2$ (Os fatores primos de $18$ são $3$ e $2$, o expoente de $3$ é par e $2$ pode ser escrito como soma de dois quadrados de inteiros positivos).

$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^{2} \cdot 5$ (Os fatores primos de 45 são 3 e 5, o expoente de 3 é par e 5 pode ser escrito como soma de dois quadrados de inteiros positivos).

$490 = 7 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2 = 7^{2} \cdot 10$ (Os fatores primos de $490$ são $7$, $5$ e $2$, o expoente de $7$ é par e $10$ pode ser escrito como soma de dois quadrados de inteiros positivos).

E assim por diante.

Exemplos de compostos que não podem ser escritos como soma de dois quadrados de inteiros positivos:

$6 = 3 \cdot 2$ (Os fatores primos de $6$ são $3$ e $2$, mas o expoente de $3$ é impar)
$15 = 3 \cdot 5$ (Os fatores primos de $15$ são $3$ e $5$, mas o expoente de $3$ é ímpar)
$3773 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 11 = 7^{3} \cdot 11$ (Os fatores primos de $3773$ são $7$ e $11$, mas o expoente de $7$ é impar)
$135 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^{3} \cdot 5$ (Os fatores primos de $135$ são $3$ e $5$, mas o expoente de $3$ é impar)

A seguir vamos mostrar como se escreve um primo da forma $4x +1$ como soma de dois quadrados de inteiros positivos pela regra de Sebá.

Regra de Sebá

Se $p = x^{2} + y^{2}$, então, como $p$ é ímpar, se $x$ for ímpar, $y$ será par; e se $x$ for par, $y$ será ímpar. Vamos supor que $x$ seja par.

Como o último algarismo de um número primo pode ser $1$, $3$, $7$ ou $9$, logo:

a) Se o último algarismo de um primo da forma $4x + 1$ for $1$, testar $x$ terminado em zero, $4$ e $6$;

b) Se o último algarismo de um primo da forma $4x + 1$ for $3$, testar $x$ terminado em $2$ e $8$;

c) Se o último algarismo de um primo da forma $4x + 1$ for $7$, testar $x$ terminado em $4$ e $6$;

d) Se o último algarismo de um primo da forma $4x + 1$ for $9$, testar $x$ terminado em zero, $2$ e $8$.

Já que $p = x^{2} + y^{2}$, logo, $y=\sqrt{p-x^{2}}$.

Vá subtraindo $x^{2}$ de $p$; quando $p-x^{2}$ for um quadrado perfeito, pare, esse é o valor de $y$.

Exemplos:

Exemplo 01) Sabendo-se que o primo p = 4001 escreva-o como soma de dois quadrados de inteiros positivos.

a) sem usar a regra de Sebá;

b) usando a regra de Sebá.

Resolução:

Verifiquemos se $4001$ é um primo da forma $4x+1$. Se $p$ é um primo da forma $4x+1$, então, $p = 4x+1$ e $x=\cfrac{p-1}{4}$.

Portanto, se $p$ for um primo da forma $4x+1$, então, $p-1$ é divisível por $4$.

Como $4001-1$ é divisível por $4$, logo, $4001$ é um primo da forma $4x + 1$.

Já que $\sqrt{4001} = 63,25$ [Parte inteira ($PI$) $63$]. Como x é par, vamos considerar $PI = 62$.

a) Como $x$ é par, vamos testar: $x = 2, 4, 6, ... 58, 60$ e $62$ ($29$ números).

$4001-2^{2} = 3997$ (Não é quadrado perfeito ou NQP)
$4001-4^{2} = 3985$ (NQP)
$4001-6^{2} = 3965$ (NQP)
-----------------------------------------------------
$4001-40^{2} = 2401 = 49^{2}$ (É Quadrado Perfeito)

Portanto, $4001 = 49^{2} + 40^{2}$.

Foi necessário testar $20$ números.

b) Como $p = 4001$ termina com o algarismo $1$, pela regra de Sebá, basta testar os números terminados em zero, $4$ e $6$. Logo, basta testar: $x = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 4, 14, 24, 34, 44, 54, 6, 16, 26, 36, 46$ e $56$ ($18$ números).

$4001-10^{2} = 3901$ (Não é quadrado perfeito ou NQP)
$4001-20^{2} = 3601$ (NQP)
$4001-30^{2} = 3101$ (NQP)
-----------------------------------------------------
$4001-40^{2} = 2401 = 49^{2}$ (É Quadrado Perfeito)

Portanto, $4001 = 49^{2} + 40^{2}$.

Foi necessário testar apenas $4$ números.

Exemplo 02) Sabendo-se que o primo p = 89 é a medida da hipotenusa de um triângulo pitagórico (as medidas dos lados são números inteiros), encontre as medidas dos catetos.

Resolução:

Como $89-1$ é divisível por $4$, logo, $89$ é um primo da forma $4x + 1$. Já que $\sqrt{89}=9,43$ [Parte inteira ($PI$) $9$]. Como $x$ é par, vamos considerar $PI = 8$. Como $p = 89$ termina com o algarismo $9$, pela regra de Sebá, basta testar os números pares menores ou igual a $8$ terminados em zero, $2$ e $8$. Como $10 > 8$, logo, basta testar: $x = 2$ e $8$.

$89-2^{2} = 85$ (NQP)
$89-8^{2}= 25$ (QP)

Portanto, $89 = 8^{2} + 5^{2}$.

Usando as fórmulas de Euclides, obtém-se:

$a = x^{2}-y^{2}= 8^{2}-5^{2} = 39$
$b = 2 \cdot x \cdot y = 2 \cdot 8 \cdot 5 = 80$
$c = x^{2} + y^{2} = 8^{2} + 5^{2}= 89$

O terno $(a, b, c) = (39, 80, 89)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $mdc(39, 80) =1$.

Portanto, as medidas dos catetos são: $a=39$ (cateto menor) e $b=80$ (cateto maior).

Exemplo 03) Sabendo-se que o primo p = 241 é a medida da hipotenusa de um triângulo pitagórico,  encontre as medidas dos catetos.

Resolução:

Como $241-1$ é divisível por $4$, logo, $241$ é um primo da forma $4x + 1$.

Já que $\sqrt{241} = 15,52$. [Parte inteira ($PI$) $15$]. Como $x$ é par, vamos considerar $PI = 14$.

Como $p = 241$ termina com o algarismo $1$, pela regra de Sebá, basta testar os números pares menores ou igual a $14$ terminados em zero, $4$ e $6$. Como $20 > 14$, logo, basta testar: $x = 10, 4, 14$ e $6$.

$241-10^{2}= 141$ (NQP)

$241-4^{2}= 225$ (QP)

Portanto, $241 = 15^{2} + 4^{2}$

Usando as fórmulas de Euclides, obtém-se:

$a = x^{2}-y^{2}= 15^{2}-4^{2}= 209$
$b = 2 \cdot x \cdot y = 2 \cdot 15 \cdot 4 = 120$
$c = x^{2} + y^{2} = 15^{2} + 4^{2}= 241$

O terno $(a, b, c) = (120, 209, 241)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que mdc(120, 209)=1.

Portanto, as medidas dos catetos são: $120$ (cateto menor) e $209$ (cateto maior).

Exemplo 04) Sabendo-se que o primo p = 317 é a medida da hipotenusa de um triângulo pitagórico, encontre as medidas dos catetos.

Resolução:

Como $317-1$ é divisível por $4$, logo, $317$ é um primo da forma $4x + 1$.

Já que $\sqrt{317} = 17,8$. [Parte inteira ($PI$) $17$]. Como $x$ é par, vamos considerar $PI = 16$. Já que $p = 317$ termina com o algarismo $7$, pela regra de Sebá, basta testar os números pares menores ou igual a $16$ terminados em $4$ e $6$. Logo, basta testar: $x = 4, 14, 6$ e $16$.

$317-4^{2} = 301$ (NQP)

$317-14^{2} = 121$ (QP)

Portanto, $317 = 14^{2} + 11^{2}$

Usando as fórmulas de Euclides, obtém-se:

$a = x^{2}-y^{2} = 14^{2}-11^{2} = 75$
$b = 2 \cdot x \cdot y = 2 \cdot 14 \cdot 11 = 308$
$c = x^{2} + y^{2} = 14^{2} + 11^{2} = 317$

O terno $(a, b, c) = (75, 308, 317)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $mdc(75, 308) =1$.

Portanto, as medidas dos catetos são: $a=39$ (cateto menor) e $b=80$ (cateto maior).

Exemplo 05) Sabendo-se que o composto $C = 493$ é a medida da hipotenusa de um triângulo pitagórico, encontre as medidas dos catetos.

Resolução:

Fatorando o número $493$. Obtém-se: $493 = 17 \cdot 29$. Como $17-1$ e $29-1$ são divisíveis por $4$, logo, os primos $17$ e $29$ são da forma $4x + 1$ e, consequentemente, podem ser escritos como soma dos quadrados de dois inteiros positivos.

Já que $\sqrt{17}= 4,12$ [Parte inteira ($PI$) $4$]. Já que $p = 17$ termina com o algarismo $7$, pela regra de Sebá, basta testar os números pares menores ou igual a $4$ terminados em $4$ e $6$. Logo, basta testar: $x = 4$.

$17-4^{2} = 1$ (QP)

Portanto, $17 = 4^{2} + 1^{2}$

Já que $\sqrt{29} = 5,38$ [Parte inteira ($PI$) $5$]. Já que $p = 29$ termina com o algarismo $9$, pela regra de Sebá, basta testar os números pares menores ou igual a $5$ terminados em zero, $2$ e $8$. Logo, basta testar: $x = 5$.

$29-5^{2} = 4$ (QP)

Portanto, $29 = 5^{2} + 2^{2}$

Usando as fórmulas de Euclides, obtém-se:

$a = x^{2}-y^{2} = 5^{2}-2^{2}= 21$
$b = 2 \cdot x \cdot y = 2 \cdot 5 \cdot 2 = 20$
$c = x^{2} + y^{2} = 5^{2} + 2^{2} = 29$

O terno $(a, b, c) = (21, 20, 29)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $mdc(21, 20) =1$.

Portanto, as medidas dos catetos são: $20$ (cateto menor) e $21$ (cateto maior).

$C = p_{1} \cdot p_{2} = 17 \cdot 29 = 493 = (4^{2} + 1^{2} ) \cdot (5^{2} + 2^{2})$.

Aplicando números complexos, obtém-se:

$(4^{2} + 1^{2}) \cdot (5^{2} + 2^{2}) = (4+i) \cdot (5+2i) = 18 + 13i$. Logo, $x = 18$ e $y = 13$.

Portanto: $493 = 18^{2} + 13^{2}$.

$a = x^{2}-y^{2}= 18^{2}-13^{2}= 155$
$b = 2 \cdot x \cdot y = 2 \cdot 18 \cdot 13 = 468$
$c = x^{2} + y^{2} = 18^{2} + 13^{2} = 493$

O terno $(a, b, c) = (155, 468, 493)$ é um terno pitagórico primitivo, haja vista que $mdc(155, 468) = 1$.

Será que existe outra maneira de escrever $493$ como soma de dois quadrados de inteiros positivos?

Vejamos:

Trocando o sinal de $4 + i$ ou de $5 + 2i$, troquemos o sinal de $4 + i$:

$(4 − i) \cdot (5 + 2i) = 22 + 3i$

$493 = 22 2 + 3 2$.

Conclusão:

O número $493$ pode ser escrito como soma de dois quadrados de inteiros positivos de duas maneiras distintas:

$493=18^{2}+13^{2}= 22^{2} + 3^{2}$.

Usando as fórmulas de Euclides mais uma vez, obtém-se:

$a = x^{2}-y^{2}= 22^{2}-3^{2}= 475$
$b = 2 \cdot x \cdot y = 2 \cdot 22 \cdot 3 =132$
$c = x^{2} + y^{2} = 22^{2} + 3^{2} = 493$

O terno $(a, b, c) = (475, 132, 493)$ é também um terno pitagórico primitivo, haja vista que $mdc(63,16) =1$.

Exemplo 06) Sabendo-se que o composto $C = 178$ é a medida da hipotenusa de um triângulo pitagórico, encontre as medidas dos catetos.

Fatorando 178, obtém-se:

$178 = 2 \cdot 89$; $178 = 2 \cdot 89 = (1^{2} + 1^{2}) \cdot (8^{2} + 5^{2})$

Aplicando números complexos, obtém-se:

$(1^{2} + 1^{2}) \cdot (8^{2} + 5^{2}) = (1+i) \cdot (8+5i) = 3 + 13i$. Logo, $x = 13$ e $y = 3$.

Portanto: $178 = 13^{2} + 3^{2}$.

Usando as fórmulas de Euclides mais uma vez, obtém-se:

$a = x^{2}-y^{2} = 13^{2}-3^{2} = 160$
$b = 2 \cdot x \cdot y = 2 \cdot 13 \cdot 3 = 78$
$c = x^{2} + y^{2} = 13^{2} + 3^{2} = 178$

O terno $(a, b, c) = (160, 78, 178)$ é um terno pitagórico não primitivo, haja vista que $mdc(160,78) = 2$; $2>1$.

Exemplo 07) Sabendo-se que o composto $C = 637$ é a medida da hipotenusa de um triângulo pitagórico, encontre as medidas dos catetos.

Fatorando $2597$, obtém-se:

$2597 = 7 \cdot 7 \cdot 53$; $2597 =7^{2} \cdot (7^{2} + 2^{2}) = 49^{2} + 14^{2}$

Portanto: $2597 = 49^{2} + 14^{2}$.

Usando as fórmulas de Euclides, obtém-se:

$a = x^{2}-y^{2}= 49^{2}-14^{2} = 2205$
$b = 2 \cdot x \cdot y = 2 \cdot 49 \cdot 14 = 1372$
$c = x^{2} + y^{2} = 49^{2} + 14^{2} = 2597$

O terno $(a, b, c) = (2205, 1372, 2597)$ é um terno pitagórico não primitivo, haja vista que $mdc(2205, 1372) = 49$; $49>1$.

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Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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