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Camisetas Exatas

Você consegue encontrar uma maneira de resolvê-lo com aritmética mental?
Em 1895, Nikolay Bogdanov-Belsky pintou o famoso quadro: "Mental Arithmetic" na escola pública de S. Rachinsky.

Aritmética mental. Você consegue resolver esse pequeno problema?

O problema no quadro negro é $\cfrac{10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}$, você consegue encontrar uma maneira de resolvê-lo com aritmética mental?

Mental Arithmetic

Use a sessão de comentários para deixar seu raciocínio. Ah, só publicarei comentários se estiver escrito em Latex. Não sabe escrever em Latex? Use esse editor online e cole os códigos entre cifrão de dólar.

Assim:

Esse comando: $\cfrac{10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}$

Gerou: $\cfrac{10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}$

Teste o que escreveu em tempo real antes de enviar.
Edigley Alexandre

Edigley Alexandre

Graduado em Matemática pelo DME na UERN em 2007, leciona Geometria, Matemática e Física. Blogueiro Part-Time desde 2007. Membro do extinto Google+ Create em Português. Seu interesse é compartilhar conhecimento matemático interligado à Tecnologia da Informação e Comunicação, assim como artigos de opinião sobre Educação, Matemática e Educação Matemática.

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4 comentários:

  1. O pensamento inicial não foi o de resolver os quadrados, mas de abrir cada quadrado como sendo $(10 + a_i)^2$ em que $a_i$ é o que supera a base $10$ em cada um dos quadrados no numerador. Assim, desenvolvemos os quadrados das somas e agrupamos os termos:
    $\cfrac{10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}$
    $=\cfrac{10^{2}+(10+1)^{2}+(10+2)^{2}+(10+3)^{2}+(10+4)^{2}}{365}$
    $=\cfrac{5 \cdot10^2+20+40+60+80+1+4+9+16}{365}$
    $=\cfrac{2 \cdot 365}{365}=2$

    Em $(a+a_i)^2$, $a=10$ e $a_i$ já foi mencionado acima. Juntamos todos os $a^2$ (primeiro ao quadrado), juntamos todos os $2 \cdot a \cdot a_i$ e juntamos todos os ${a_i}^2$. Chegamos ao numerador como exatamente o dobro do denominador, simplificamos e obtemos $2$ como resposta.

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    1. Olá, Charles!

      Esse também foi o meu primeiro pensamento.

      Valeu!

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  2. Sabendo que $(a+b)^2+(a-b)^2=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=2(a^2+b^2)$, temos que

    [i] $14^2+10^2=(12+2)^2+(12-2)^2=2(12^2+2^2)$

    [ii] $13^2+11^2=(12+1)^2+(12-1)^2=2(12^2+1^2)$

    [iii] $12^2=12^2$

    Somando [i] + [ii] + [iii] membro a membro, temos que
    $10^2+11^2+12^2+13^2+14^2=5\cdot 12^2 + 2 \cdot 5$, que equivale a $2 (5\cdot 12\cdot 6 + 5)$.

    Mentalmente calculamos o termo entre parênteses: $5\cdot 12=60$, que multiplicado por $6$ dá $360$, e adicionado de $5$ obtemos $365$.

    Logo, a soma que tínhamos é igual a $2\cdot 365$, e como queremos o quociente dessa soma por $365$, o resultado é $2$.

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    1. Muito bom!

      Você conseguiu encontrar essa resposta apenas mentalmente? A ideia principal veio do processo mental?

      Abraço!

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