Você consegue encontrar uma maneira de resolvê-lo com aritmética mental?
Em 1895, Nikolay Bogdanov-Belsky pintou o famoso quadro: "Mental Arithmetic" na escola pública de S. Rachinsky.
O problema no quadro negro é $\cfrac{10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}$, você consegue encontrar uma maneira de resolvê-lo com aritmética mental?
Use a sessão de comentários para deixar seu raciocínio. Ah, só publicarei comentários se estiver escrito em Latex. Não sabe escrever em Latex? Use esse editor online e cole os códigos entre cifrão de dólar.
Assim:
Esse comando: $\cfrac{10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}$
Gerou: $\cfrac{10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}$
Teste o que escreveu em tempo real antes de enviar.
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O pensamento inicial não foi o de resolver os quadrados, mas de abrir cada quadrado como sendo $(10 + a_i)^2$ em que $a_i$ é o que supera a base $10$ em cada um dos quadrados no numerador. Assim, desenvolvemos os quadrados das somas e agrupamos os termos:
ResponderExcluir$\cfrac{10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}$
$=\cfrac{10^{2}+(10+1)^{2}+(10+2)^{2}+(10+3)^{2}+(10+4)^{2}}{365}$
$=\cfrac{5 \cdot10^2+20+40+60+80+1+4+9+16}{365}$
$=\cfrac{2 \cdot 365}{365}=2$
Em $(a+a_i)^2$, $a=10$ e $a_i$ já foi mencionado acima. Juntamos todos os $a^2$ (primeiro ao quadrado), juntamos todos os $2 \cdot a \cdot a_i$ e juntamos todos os ${a_i}^2$. Chegamos ao numerador como exatamente o dobro do denominador, simplificamos e obtemos $2$ como resposta.
Olá, Charles!
ExcluirEsse também foi o meu primeiro pensamento.
Valeu!
Sabendo que $(a+b)^2+(a-b)^2=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=2(a^2+b^2)$, temos que
ResponderExcluir[i] $14^2+10^2=(12+2)^2+(12-2)^2=2(12^2+2^2)$
[ii] $13^2+11^2=(12+1)^2+(12-1)^2=2(12^2+1^2)$
[iii] $12^2=12^2$
Somando [i] + [ii] + [iii] membro a membro, temos que
$10^2+11^2+12^2+13^2+14^2=5\cdot 12^2 + 2 \cdot 5$, que equivale a $2 (5\cdot 12\cdot 6 + 5)$.
Mentalmente calculamos o termo entre parênteses: $5\cdot 12=60$, que multiplicado por $6$ dá $360$, e adicionado de $5$ obtemos $365$.
Logo, a soma que tínhamos é igual a $2\cdot 365$, e como queremos o quociente dessa soma por $365$, o resultado é $2$.
Muito bom!
ExcluirVocê conseguiu encontrar essa resposta apenas mentalmente? A ideia principal veio do processo mental?
Abraço!