Conheça um dos teoremas mais utilizados na Geometria Espacial: o Teorema de Euler.

Essa relação matemática não é aplicada a qualquer tipo de sólido geométrico. Para utilizarmos o Teorema de Euler, o poliedro precisa ser convexo. Assim, podemos chamar também um poliedro convexo de poliedro euleriano, ou seja, que a relação de Euler pode ser aplicada. Entretanto existem alguns sólidos não convexos que o teorema pode ser utilizado, mas não é tão comum.

Antes de estudarmos o Teorema de Euler, precisamos entender em que setor da Matemática ele é aplicado e qual sua importância. Assim, um dos principais ramos da geometria espacial diz respeito ao estudo de poliedros. Esse tipo de estrutura sugere ao estudante uma boa capacidade de abstração e entendimento de figuras em três dimensões.

Nesse sentido, existem alguns conceitos os quais são de suma importância entender antes de prosseguir com os estudos. E um deles é o de poliedro.

O que são os poliedros?

Os poliedros são figuras tridimensionais, ou seja, possuem altura, largura e profundidade. Além disso eles são sólidos geométricos formados por três elementos: vértices, arestas e faces. Podemos classificar um poliedro como regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes (semelhantes).

Leituras complementares:

• Analise poliedros com este widget.
• Como criar poliedros, planificá-los e animá-los usando o GeoGebra.
• Quiz matemático 2: Poliedros.

Também podemos classificar os poliedros como convexos se a superfície que compreende suas faces, arestas e vértices não se interceptam e o segmento de linha que une quaisquer dois pontos do poliedro esteja contido no interior ou na superfície.

Existem diversos poliedros bastante conhecidos como o hexaedro (cubo) e o tetraedro (figura semelhante a uma pirâmide).

Teorema de Euler: uma relação entre faces, vértices e arestas

Depois dessa introdução sobre sólidos geométricos, analisaremos agora uma relação entre as faces, os vértices e as arestas de um poliedro, a chamada Relação de Euler. Nesse teorema, o número de vértices somado ao número de faces será igual ao número de arestas acrescido de dois.

$V + F = A + 2$

Leituras complementares:

• Matemático do Dia: Google homenageia Leonhard Euler.
• Wallpaper matemático 14: Euler.

Situações em que podemos utilizar o Teorema de Euler

Essa relação matemática não é aplicada a qualquer tipo de sólido geométrico. Para utilizarmos o Teorema de Euler, o poliedro precisa ser convexo. Assim, podemos chamar também um poliedro convexo de poliedro euleriano, ou seja, que a relação de Euler pode ser aplicada. Entretanto existem alguns sólidos não convexos que o teorema pode ser utilizado, mas não é tão comum.

Exemplo de exercícios envolvendo o Teorema de Euler

Para entendermos melhor ao assunto estudado, veremos dois tipos de exercícios e suas respectivas resoluções.

Exemplo 1

Um poliedro convexo é formado por $12$ arestas e $8$ faces.

Qual o número de vértices desse sólido?

Resolução

É uma questão típica de aplicação do Teorema de Euler, já que envolve a quantidade de faces, vértices e arestas.

Assim, temos:

Quantidade de arestas: $12$
Quantidade de faces: $8$
Quantidade de vértices: $V$

Aplicando a relação:

$V + F = A + 2$
$V + 8 = 12 + 2$
$V + 8 = 14$
$V = 14 – 8$
$V = 6$

Assim, o poliedro terá $6$ vértices.

Exemplo 2

Um poliedro convexo é formado por $6$ faces triangulares, $3$ faces quadrangulares e $1$ face hexagonal.

Qual o número de vértices desse poliedro?

Resolução

Essa questão não informa o número de arestas diretamente. Precisamos calculá-lo em relação ao número de lados, aplicando a seguinte fórmula:

$A=\cfrac{\text {número de lados}}{2}$

Calculando o número de lados:

$6$ faces triangulares: $6 \cdot  3 = 18$ lados
$3$ faces quadrangulares: $3 \cdot  4 = 12$ lados
$1$ face hexagonal: $1 \cdot 6 = 6$ lados

Total de lados: $18 + 12 + 6 = 36$ lados

Assim, o número de arestas será $\cfrac{36}{2}=18$ arestas

Calculando o número de faces:

$6 + 3 + 1 = 10$ faces

Aplicando o Teorema de Euler:

$V + F = A + 2$
$V + 10 = 18 + 2$
$V + 10 = 20$
$V = 20 – 10$
$V = 10$

O poliedro terá $10$ vértices.

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Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado José Costa, formado em ciências da computação, desenvolvedor de aplicativos e jogos para a plataforma Android. Também é professor voluntário de Matemática para reforço escolar.

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