O que acredito ser as bases da Matemática

Lembro-me ainda hoje, nos tempos de faculdade, nas discussões que tínhamos em grupos, sobre as dificuldades de muitos de nós em relação a muitos dos temas que estudávamos. Muitas vezes questionávamos nossa "formação Matemática". Falávamos que nos faltava conhecimento. Que chegávamos na faculdade com déficit de conhecimento. Que nos faltava "base Matemática".

Lembro-me ainda hoje, nos tempos de faculdade, nas discussões que tínhamos em grupos, sobre as dificuldades de muitos de nós em relação a muitos dos temas que estudávamos. Muitas vezes questionávamos nossa "formação Matemática". Falávamos que nos faltava conhecimento. Que chegávamos na faculdade com déficit de conhecimento. Que nos faltava "base Matemática".

E eu acreditei nisso por algum tempo.

Depois, ao fim de minha graduação, eu criei um blog de Matemática. Queria expor minhas ideias e queria, de alguma forma, poder ajudar os estudantes.

A intenção era boa, mas acho que havia uma certa arrogância nesse pensamento.

Relembrando as conversas que tive lá no início da faculdade, principalmente com um amigo em particular (que até hoje, 15 anos após formados, ainda temos um bons debates), cheguei à conclusão que ainda me faltava a tal base Matemática. Mas olhem, vejam só!

É claro que neste momento a exigência era outra: eu queria escrever artigos para ajudar estudantes de licenciatura em Matemática e isso exigia um conhecimento maior do que eu acreditava que tinha. Era necessário uma compreensão mais aprofundada sobre integrais e derivadas, por exemplo.

Mas hoje, sem querer ser pretensioso demais, posso dizer que tenho uma certa bagagem matemática que me permite fazer algumas análises sobre essa base Matemática que mencionei antes.

De todo o conhecimento que adquirimos em nosso aprendizado fundamental e médio, os conceitos basicamente se resumem à Aritmética, Álgebra e Geometria. Na imagem abaixo, esses conceitos estão representados pela multiplicação $7 \cdot 8$, pela fórmula de Bháskara para encontrar raízes de uma equação quadrática e pelo Teorema de Pitágoras, que relaciona os três lados de um triângulo retângulo de forma sublime, respectivamente.

Tenho certeza que alguns de vocês estarão pensando que uma divisão de números decimais na chave é muito mais difícil do que a multiplicação $7 \cdot 8$. Eu também acho. Mas a tabuada é fundamental. E uma multiplicação pode ser entendida somando quantidades iguais $n$ vezes. Então essa multiplicação traz todo um entendimento de conceitos pré definidos, que são estendidos no decorrer dos anos de nossas vidas de estudante.

Quando estudamos funções quadráticas, ou de segundo grau, como preferirem, supõe-se que já passamos pelas funções lineares e, consequentemente, por questões como coeficiente angular, linear, reta tangente, gráficos no plano cartesiano, funções crescentes e decrescentes,… O ápice é encontrar os zeros da função, ou seja, os valores que, quando atribuímos a $x$, resulta em $0$. A tentativa e erro é um método válido, mas não muito eficaz.

Para resolver essa questão, não digo facilmente, mas rapidamente, utilizamos hoje uma fórmula fechada, atribuída a Bháskara, mas muito antes dele o método já era utilizado para este fim. O que fazemos é transformar a função quadrática em uma equação. E como fazemos isso? Simples: basta substituímos o $f(x)$ por $0$.

Se tivermos uma função do tipo:

$f(x) = ax^{2} + bx +c$

Para transformá-la em uma equação quadrática, fazemos:

$ax^{2} + bx + c = 0$

O que temos agora é uma igualdade. Pense em uma balança de pratos, onde o fulcro é o sinal de igualdade. De um lado temos uma quantidade igual a zero; da outra letras que representam a variável $x$ e as constantes. E para que essa balança permaneça equilibrada, devemos descobrir quais números que, atribuídos a essa variável, leva a expressão $ax^{2} + bx +c$ ser igual a zero.

A fórmula para a equação quadrática relaciona os coeficientes $a$, $b$ e $c$ de forma relativamente simples:

$x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$

Vejam que maravilha! Quantos conceitos aritméticos e algébricos temos aqui?

A simplicidade dessa fórmula de certa forma esconde a beleza de toda a Matemática envolvida. Sugiro a leitura do artigo: A dedução da fórmula de Bháskara.

É claro que essa fórmula tem origens geométricas, mas quanta álgebra e quanto esforço intelectual foi necessário para chegar a esse ponto!

O teorema de Pitágoras, por sua vez, é uma das relações mais belas da Matemática. Diz que o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados de seus catetos, em linguagem Matemática:

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

Onde $a$ é a hipotenusa e os catetos são $b$ e $c$.

Quando falamos em "quadrados" nos referimos a uma área, então é intuitivo pensar em um triângulo retângulo e quadrados desenhados sobre seus lados:

Vejam que fica fácil comprovar visualmente que o teorema é válido.

Existem centenas de demonstrações do teorema de Pitágoras e para para cada uma delas é utilizada desde uma Matemática mais básica até uma Matemática mais sofisticada.

Uma variação do teorema pitagórico é o conhecido Último Teorema de Fermat (UTF), que, no lugar do expoente $2$ nas constantes $a$, $b$ e $c$, foi generalizada para um número natural $n$ maior que $2$:

$a^{n} =b^{n}+c^{n}$

Fermat afirmou em 1637 que neste caso a equação não tem solução se $n$ for um número inteiro maior que dois.

Esse problema foi alvo de grandes especulações desde então, mas nenhum matemático havia conseguido uma demonstração efetiva para o UTF. Nem mesmo o maior gênio do século XVIII, Leonhard Euler, conseguiu demonstrá-lo, apesar de fazer grandes avanços nesse sentido.

Quem teve a proeza de demonstrar o Último Teorema de Fermat foi o matemático Andrew Wiles, após sete anos de intenso estudo, praticamente isolado do mundo. Mas mesmo assim foi encontrado um erro pela comunidade matemática que avaliava seus manuscritos, sendo corrigido e reapresentado quatorzes meses depois.

Wiles descobriu que, se demonstrasse a conjectura de Taniyama-Shimura, conseguiria demonstrar o UTF. Para isso, utilizou a sofisticada Matemática inventada apenas no século XIX por outro gênio, Évarist Galóis, que, talvez, poucos consigam compreender. Vejam que nem mesmo Euler conseguiria essa demonstração, uma vez que a Matemática necessária ainda nem havia sido inventada.

Por fim, o que eu quis passar com toda essa história é que, voltando às bases Matemáticas, se você compreender os conceitos sobre as operações Matemáticas, sobre o Teorema de Pitágoras e a fórmula para a equação quadrática, acredito que terá uma base Matemática suficiente para seguir adiante, pois para cada um desses conceitos, existem muitos outros dando suporte. Não fique apenas na superfície, resolvendo exercícios e acreditando que é suficiente. Se dedique. Entenda o conceito. Os frutos virão pela dedicação ou pela genialidade.

E nas sábias palavras do maior cientista que já passou por esta parte da Galáxia, pelo menos na minha modesta opinião:

“Se cheguei até aqui foi porque me apoiei em ombros de gigantes.”

Mais sugestões de leitura:

• A Matemática por trás dos tamanhos das TVs (uma bela aplicação do Teorema de Pitágoras)
• Como treinei meu cérebro para me tornar fluente em Matemática (um bom exemplo sobre base matemática para seguir na faculdade)

Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Kleber Kilhian, criador do blog O Baricentro da Mente.

Envie um artigo Ajude o blog