Nessa postagem é mostrada as consequências para alunos que são aversos ao pensamento do raciocínio lógico e abstrato por trás das propriedades de algumas fórmulas matemáticas. Também mostro como é complicado reverter esse processo, quando um adulto aprendeu desde cedo que é melhor usar Bhaskara do que fatorar.
É muito comum ver alunos resolvendo equações do 2º grau (ou quadrática) aplicando diretamente o algoritmo $x=\cfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}$, onde $\Delta=b^{2}-4 \cdot a \cdot c$. Não é errado, mas a persistência desse hábito pode trazer consequências muito ruins para quem se acostuma a utilizar fórmulas matemáticas para resolver qualquer tipo de problema.

Não entenda que não gosto dessas lindas equações que foram desenvolvidas e provadas por matemáticos brilhantes ao longo dos tempos. O problema é que muitas vezes alguns desses algoritmos são jogados no quadro sem nenhum tipo de justificativa ou origem. Tentar entendê-lo, abstraí-lo, estudar sua demonstração e analisar suas condições de existência é muito mais importante do que apenas substituir alguns valores.

Nessa postagem é mostrada as consequências para alunos que são aversos ao pensamento do raciocínio lógico e abstrato por trás das propriedades de algumas fórmulas matemáticas. Também mostro como é complicado reverter esse processo, quando um adulto aprendeu desde cedo que é melhor usar $x=\cfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}$ do que fatorar.

Numa pesquisa que levantei (26 de março de 2016) no Google+ com uma amostra de 1856 votos, perguntei: Você sabe resolver problemas matemáticos sem usar fórmulas matemáticas? Veja as porcentagens das alternativas para essa enquete.

Participe da enquete

Se você está pensando em cursar Matemática, Economia, Química, Física, Biologia, Informática, qualquer Engenharia, etc., leia essa postagem como uma espécie de alerta. Esse artigo trata apenas um exemplo específico, tente imaginar outras situações onde o ato de não aplicar fatoração e suas propriedades matemáticas pode atrapalhar muito.

Por que é importante aprender a fatorar polinômios de 2º grau em vez de usar a fórmula de Bhaskara?

Sempre há tempo para corrigir erros? É uma pergunta fácil de responder dependendo do contexto em que estamos inseridos. Separei 3 situações para mostrar o óbvio que muitos não enxergam, não querem enxergar ou ainda desdenham. Muitas vezes não é de propósito.





Situação óbvia 1 - Aluno do Ensino Fundamental II

Se não aprende a Tabuada, não aprenderá as quatro operações. Se não aprende as quatro operações, não aprenderá potenciação e radiciação. Se não aprende potenciação e radiciação, não aprenderá todas as operações matemáticas estudadas até então que utilizam potenciação e radiciação. Se não aprende equação do 1º grau, não aprenderá a do 2º grau.

E por aí vai.


Situação óbvia 2 - Aluno do Ensino Médio

Se não aprende ou esquece o que estudou no Fundamenta II, não aprenderá conteúdos bem específicos do Ensino Médio, como Função, por exemplo. Ou terá grande dificuldade para avançar de forma satisfatória.

A ficha cai quando é sentido o baque no Ensino Superior; isso posso garantir com certeza absoluta, conforme relato no artigo Como treinei meu cérebro para me tornar fluente em Matemática. No meu caso obtive sucesso pois realmente lutei muito. Leia o artigo e depois retorne para esse ponto. Fará mais sentido ainda o que explico aqui.


Situação 3 - Aluno do Ensino Superior

Nessa situação engloba tudo, é claro. Mas no caso dessa postagem me refiro especificamente as equações polinomiais do 2º grau. Se você é acadêmico de algum dos cursos superiores que citei aqui, com certeza já se deparou com algum desses exercícios abaixo.
  1. Construa o gráfico da função $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}-4x+3 & se & x\geq 0\\ x^{2}+4x+3 & se & x<0 \end{matrix}\right.$
  2. Resolva a equação $|x^2-5x-6|=2x+6$ em reais.
  3. Construa o gráfico da função $f(x)=|x^2+5x-6|$.
  4. Resolva, em $\mathbb{R}$, a inequação modular $|x^{2}-5x+5|<1$.
  5. Qual o valor real de $x$ para a equação exponencial $2 \cdot 2^{2x}-6 \cdot 2^{x}-8=0$?
  6. Calcule $\displaystyle \lim _{ x\rightarrow -2 }{ \frac { { x }^{ 2 }-x-6 }{ { x }^{ 2 }-4 }  } $. Nesse caso, substituir $-2$ não vai funcionar, pois teremos uma indeterminação $\cfrac{0}{0}$.

Essas são apenas algumas situações mais simples onde a aplicação da fatoração é importantíssima para auxiliar na rapidez de resposta para a questão e assim ganhar tempo para outras questões mais complexas.

Imagina o tamanho dos cálculos para apenas esses 6 exemplos, aplicando a fórmula de Bhaskara, como um meio para chegar a resposta final. Sem falar que as chances de você errar um sinal e acabar errando tudo aumentam muito.



Tome o exemplo 1 como comparação

Com Bhaskara

Observe o quanto pode ser trabalhoso construir o gráfico de $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}-4x+3 & se & x\geq 0\\ x^{2}+4x+3 & se & x<0 \end{matrix}\right.$ usando Bhaskara.

1º caso: $x^{2}-4x+3$ se $x\geq 0$

Para construir o gráfico de $f(x)$ (sem usar tabelinhas) precisaremos de:
  • Identificar os coeficientes da função;
  • Calcular $\Delta$;
  • Zeros da função (onde intercepta o eixo $X$);
  • Coeficiente de $c$ (onde intercepta o eixo $Y$);
  • Vértice da parábola.

Os coeficientes de $x^{2}-4x+3$ são:
$a=+1$, concavidade voltada para cima, pois $a>0$
$b=-4$
$c=+3$

Delta:
$\Delta=b^{2}-4 \cdot a \cdot c$
$\Delta=(-4)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 3$
$\Delta=16-12$
$\Delta=4$

Zeros da função:
$x=\cfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}$
$x=\cfrac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$
$x=\cfrac{4 \pm 2}{2}$ $\Rightarrow$ $x_{1}=\cfrac{4+2}{2}=\cfrac{6}{2}=3$ ou $x_{2}=\cfrac{4-2}{2}=\cfrac{2}{2}=1$

Intercepta o eixo $Y$:
$c=3$ $\Rightarrow$ $(0;3) \in O_{y}$.

Vértice da parábola:
$V_{x}=\cfrac{-b}{2 \cdot a}=\cfrac{-(-4)}{2 \cdot 1}=\cfrac{4}{2}=2$
$V_{y}=\cfrac{-\Delta}{4 \cdot a}=\cfrac{-4}{4 \cdot 1}=\cfrac{-4}{4}=-1$

$V(V_{x};V_{y})$ $\Rightarrow$ $V(2;-1)$

2º caso: $x^{2}+4x+3$ se $x<0$

Os coeficientes de $x^{2}+4x+3$ são:
$a=+1$, concavidade voltada para cima, pois $a>0$
$b=+4$
$c=+3$

Delta:
$\Delta=b^{2}-4 \cdot a \cdot c$
$\Delta=4^{2}-4 \cdot 1 \cdot 3$
$\Delta=16-12$
$\Delta=4$

Zeros da função:
$x=\cfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}$
$x=\cfrac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$
$x=\cfrac{-4 \pm 2}{2}$ $\Rightarrow$ $x_{1}=\cfrac{-4+2}{2}=\cfrac{-2}{2}=-1$ ou $x_{2}=\cfrac{-4-2}{2}=\cfrac{-6}{2}=-3$

Intercepta o eixo $Y$:
$c=3$ $\Rightarrow$ $(0;3) \in O_{y}$.

Vértice da parábola:
$V_{x}=\cfrac{-b}{2 \cdot a}=\cfrac{-4}{2 \cdot 1}=\cfrac{-4}{2}=-2$
$V_{y}=\cfrac{-\Delta}{4 \cdot a}=\cfrac{-4}{4 \cdot 1}=\cfrac{-4}{4}=-1$

$V(V_{x};V_{y})$ $\Rightarrow$ $V(-2;-1)$

Aplicando as condições em cada parte da função temos o gráfico abaixo.

Gráfico da função f(x) no GeoGebra

Usando fatoração

Observe o quanto pode ser mais rápido construir o gráfico de $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}-4x+3 & se & x\geq 0\\ x^{2}+4x+3 & se & x<0 \end{matrix}\right.$ fatorando a função.

1º caso: $x^{2}-4x+3$ se $x\geq 0$

Fatorando $x^{2}-4x+3$ quando $x^{2}-4x+3=0$. Sabemos (ou era pra saber) que o produto das raízes é igual ao coeficiente de $c$ e soma das raízes é o oposto de $b$. Logo: $(x_{1}-1) \cdot (x_{2}-3)=0$ $\Rightarrow$ $x_{1}-1=0$ ou $x_{2}-3=0$ $\Rightarrow$ $x_{1}=1$ ou $x_{2}=3$.

Somente nesse passo você já pode evitar muitas linhas de cálculo. E podemos resumir mais ainda evitando de calcular o $V_{y}$ que usa o $\Delta$. Como?

$V_{x}=\cfrac{-b}{2 \cdot a}=\cfrac{-(-4)}{2 \cdot 1}=\cfrac{4}{2}=2$. Agora basta calcular $f(V_{x})$, já que $V_{y}$ é a imagem de $V_{x}$.

Assim: $f(2)=2^{2}-4 \cdot 2+3$ $\Rightarrow$ $f(2)=4-8+3$ $\Rightarrow$ $f(2)=-1$. Ou seja, $V_{y}=-1$. Pronto!

2º caso: $x^{2}+4x+3$ se $x<0$

Fatorando $x^{2}+4x+3$ quando $x^{2}+4x+3=0$. Sabemos (ou era pra saber) que a produto das raízes é igual ao coeficiente de $c$ e soma das raízes é o oposto de $b$. Logo: $(x_{1}+1) \cdot (x_{2}+3)=0$ $\Rightarrow$ $x_{1}+1=0$ ou $x_{2}+3=0$ $\Rightarrow$ $x_{1}=-1$ ou $x_{2}=-3$.

Somente nesse passo você já pode evitar muitas linhas de cálculo. E podemos resumir mais ainda evitando de calcular o $V_{y}$ que usa o $\Delta$. Como?

$V_{x}=\cfrac{-b}{2 \cdot a}=\cfrac{-4}{2 \cdot 1}=\cfrac{-4}{2}=-2$. Agora basta calcular $f(V_{x})$, já que $V_{y}$ é a imagem de $V_{x}$.

Assim: $f(-2)=(-2)^{2}+4 \cdot (-2)+3$ $\Rightarrow$ $f(-2)=4-8+3$ $\Rightarrow$ $f(-2)=-1$. Ou seja, $V_{y}=-1$. Pronto!

Para construir o gráfico de $f(x)$ (sem usar tabelinhas) precisaremos de apenas:
  • Zeros da função (onde intercepta o eixo $X$);
  • Coeficiente de $c$ (onde intercepta o eixo $Y$);
  • Vértice da parábola.
Gráfico de f(x) criado no GeoGebra

Os gráficos mostrados nessas imagens foram gerados utilizando um comando bem simples no GeoGebra. Se quiser conhecê-lo e aplicar em seus estudos, basta acessar o vídeo demonstrativo em Aprenda a construir gráficos de funções reais de uma variável usando o comando SE do GeoGebra [vídeo].

Os exemplos citados aqui são até simples quando se comparados com exercícios mais avançados de Cálculo Diferencial e Integral. Mesmo assim note que há uma economia de cálculos que pode te ajudar muito nesses exercícios tornando-os mais práticos e rápidos de resolver.

No exemplo 6, onde $\displaystyle \lim _{ x\rightarrow -2 }{ \frac { { x }^{ 2 }-x-6 }{ { x }^{ 2 }-4 }  } $, substituir $-2$ não funcionará, pois teremos uma indeterminação $\cfrac{0}{0}$. Também não ajudará usar $x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$. Para calcular esse limite é obrigatório a fatoração do numerador e denominador dessa função.

A ideia desse post surgiu no momento em que ajudo meu irmão (cursa Economia) e sente dificuldades quanto a fatoração de equações polinomiais. É comum e aceitável, pois o mesmo não estuda tais conteúdos há muito tempo. Mas tenho a certeza que o professor na faculdade não achará nada aceitável.

Por isso só resta "correr atrás do prejuízo". Pelo menos é o que ouvia na época da faculdade: "se vire!".


Por que é tão complicado reverter esse processo?

Infelizmente a resposta é simples: acomodação.

O processo de aprendizagem sobre fatoração de equações polinomiais deve ser gradativo. Aprender tudo em algumas horas é uma tarefa complicada para aqueles que estão enferrujados na Matemática. Algumas pessoas simplesmente acham melhor continuar no certo em vez de trocar pelo duvidoso. Mesmo que o duvidoso seja um modo mais prático e rápido.

Quer mais um exemplo? Peça para um estudante do 9º ano do Ensino Fundamental II ou para um calouro de algum curso de exatas, calcular a solução real da equação $-3x^{2}+2x+1=0$ por meio da fatoração.

Imagino que muitos tentarão logo de cara usar $x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$.

Aprenda a fatorar equações e esqueça de Bhaskara!

Escrevi um artigo bem detalhado que leva o título da frase acima. Esse processo deveria ser gradativo, mas com muito esforço é possível conseguir. Se você não se sente confortável em estudar com apenas texto, recomendo os ótimos vídeos sobre fatoração do professor Ferreto.

Ler artigo agora Assistir vídeos
Bons estudos!

Edigley Alexandre

Edigley Alexandre

Graduado em Matemática pelo DME na UERN em 2007, leciona Geometria, Matemática e Física. Blogueiro Part-Time desde 2007. Membro do Google+ Create em Português. Seu interesse é compartilhar conhecimento matemático interligado à Tecnologia da Informação e Comunicação, assim como artigos de opinião sobre Educação, Matemática e Educação Matemática.

Os comentários serão moderados pelo autor do blog. Respondo todas as segundas-feiras, terças-feiras e finais de semana.

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2 comentários:

  1. "Sabemos (ou era pra saber) que a produto das raízes é igual ao coeficiente de c e soma das raízes é o oposto de b":
    Aprendi na antiga 8ª série, mas logo essa informação "caiu no esquecimento". Sempre me perguntei, porque não usamos essa "facilidade"!
    Sou um dos inquietos com a forma que as escolas (principalmente as públicas) ensinam (ou desensinam) essa que para mim é (ou deveria ser) a ciência do RACIOCÍNIO.

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    1. Olá, Jair!

      Por falta de aplicação, prática ou diversos outros motivos. Também sou um dos inquietos quanto a nossa grade curricular. Não sei o que acontecerá com todas essas mudanças adotadas pelo MEC.

      Abraço!

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