Nesta postagem apresento uma lista de 7 erros mais comuns de quem tenta aprender Matemática e acaba falhando, por conta de equívocos ocasionados por outros erros, seja do professor ou do próprio aluno. Tais equívocos não são apenas puramente matemáticos, mas de atitudes.
Recebo muitos e-mails me perguntando o que é preciso para aprender Matemática de uma vez por todas. Já li comentários em diversas redes sociais de pessoas que tentam aprender Matemática e acabam desistindo, muitos até mesmo externam a sua frustração de forma emocionada, como no artigo Como treinei meu cérebro para me tornar fluente em Matemática.

Por favor, escreva comentários com simbologia matemática em Latex, caso contrário não será publicado. Facilita a interpretação matemática. Deixei claro que os erros apontados aqui são cometidos por alunos de nível fundamental. Portando, não podemos utilizar o conjunto dos números complexos como argumento. Atualização (17/03/17)

São pessoas que tem o desejo de aprender Matemática e não conseguem. Particularmente, eu admiro essas pessoas, pois mesmo não tendo habilidades com os números, se esforçam para conseguir seu objetivo, apenas porque admiram o poder da Matemática. Diferentemente de muitos que acham que ela é inútil.

Aprender Matemática, neste ponto de vista, quer dizer dominar conteúdos matemáticos abordados em níveis fundamental, médio e superior. A Matemática de verdade está em um nível mais bonito e até mesmo filosófico, que reservo a discussão para outra oportunidade.

Quando falamos em aprender Matemática, de imediato pensamos em cálculos e mais cálculos, conhecido também como "fazer continhas", independentemente do nível.

Os 7 erros mais comuns de quem tenta aprender Matemática e acaba falhando

Nesta postagem apresento uma lista de 7 erros mais comuns de quem tenta aprender Matemática e acaba falhando, por conta de equívocos ocasionados por outros erros, seja do professor ou do próprio aluno. Tais equívocos não são apenas puramente matemáticos, mas de atitudes.

Continue lendo. Fique à vontade para adicionar mais "erros" na sessão de comentários dessa postagem.

Erro 1 - Não compreende as propriedades elementares da Matemática

A Matemática comum que estudamos na escola, está apoiada em alguns pilares. Sem eles praticamente nenhum cálculo matemático poderia prosseguir ou ser justificado. Eles são elementares e começam a ser explorados no inicio do 6º ano do Ensino Fundamental 2.

São eles:
  • P1 - Associatividade: $(x+y)+z=x+(y+z)$ e $(x.y).z=x.(y.z)$.
  • P2 - Comutatividade: $x+y=y+x$ e $x.y=y.x$.
  • P3 - Elementos neutros: Existem dois elementos distintos $0$ e $1$ tais que $x+0=x$ e $x.1=x$.
  • P4 - Inversos: todo $x$ possui um inverso aditivo tal que $x+(-x)=0$ e, se $x\neq 0$, existe também um inverso multiplicativo tal que $x.x^{-1}=1$.
  • P5 - Distributividade: $x.(y+z)=x.y+x.z$.

Cada uma destas propriedades são estudadas em conjuntos numéricos diferentes. Primeiro em Naturais, depois Inteiros, Racionais, Reais, etc.

Mas o que elas fazem? Observe o exemplo:

Fatore a equação $2x^2+8x=0$. Não sei como o seu professor te ensinou, mas o correto é usar a P5. Veja como ficará: $2x.(x+4)=0$. É ou não é a propriedade distributiva do produto em relação a adição?

Como faz? Por que o professor não ensina? Ele ensina sim, no 6º ano, porém os alunos esquecem lá no 9º ano. Entenda melhor sobre esse processo de fatoração lendo o artigo Aprenda a fatorar equações e esqueça de Bhaskara.

Dominar essas propriedades elementares te trará uma base matemática que a princípio não notará, mas que mais tarde fará todo sentido. Estude cada uma delas no momento certo, obedecendo a ordem estudada em cada conjunto numérico. Não tente entender distributividade com números fracionários sem antes aprender com números inteiros.





Erro 2 - Não sabe a tabuada

Memorizar a tabuada não é algo ruim, muito pelo contrário é de grande ajuda. Porém, se você é um aluno do 6º ano do Fundamental 2 e não aprendeu corretamente a tabuada, aí a coisa fica séria. Seu desenvolvimento matemático depende, em parte, de um bom estudo da tabuada.

Afinal, como entenderá os próximos conteúdos matemáticos? Potenciação e Radiciação é um dos conteúdos do 6º ano que mais necessitam da habilidade com a tabuada.

Recomendo que leia o artigo Tabuada Fácil: simplesmente a melhor forma para aprender a tabuada. Vai te ajudar bastante.

Erro 3 - Dependente de calculadora

A calculadora veio para nos ajudar, certo? Certo! Menos em vestibulares, concursos públicos, ENEM, OBMEP e nas avaliações bimestrais na escola que você estuda. Você pode usar a calculadora tranquilamente para agilizar suas tarefas, no entanto, não deixe que você vire um escravo dela. Isso se aplica também para os aplicativos para dispositivos móveis.


Use-a com moderação e pratique todos os tipos de cálculos de forma manual.

Erro 4 - Exagera em macetes matemáticos

Macetes matemáticos são atalhos utilizados em alguns processos afim de chegar em um resultado de forma mais rápida. E isso não quer dizer que será fácil ou difícil.

Por exemplo: Encontre as soluções reais para a equação $x^2+x-20=0$.

Se você só sabe usar a fórmula de Bhaskara, e dependendo da sua habilidade, demorará um pouco para resolvê-la. Se você aprendeu a fatorar equações, encontrará a resposta em menos de 1 minuto.

Mas, fatorar é um macete? Não é! O problema é a forma como alguns ensinam. Um procedimento matemático baseado em propriedades matemáticas absolutas não é um macete. Tente lembrar daqueles riscos eliminando termos em frações, equações, etc., e me entenderá.


Erro 5 - Acredita que Português não tem nada a ver com Matemática

A falsa ideia que não preciso de Português para aprender Matemática deve ser deixada de lado. É comum as atividades escolares e concursos para ingresso em faculdades, aplicar questões de caráter contextualizado e isso significa que dominar de forma satisfatória a Língua Portuguesa faz toda a diferença.

Gosto de exemplos. Vamos para mais um.

 ENEM 2015 - Matemática e suas tecnologias - Questão 136. 1º dia - Caderno Azul 
Um investidor inicia um dia com $x$ ações de uma empresa. No decorrer desse dia, ele efetua apenas dois tipos de operações, comprar ou vender ações. Para realizar essas operações, ele segue estes critérios:

I. vende metade das ações que possui, assim que seu valor fica acima do valor ideal ($V_{i}$);
II. compra a mesma quantidade de ações que possui, assim que seu valor fica abaixo do valor mínimo ($V_{m}$);
III. vende todas as ações que possui, quando seu valor fica acima do valor ótimo ($V_{o}$).

O gráfico apresenta o período de operações e a variação do valor de cada ação, em reais, no decorrer daquele dia e a indicação dos valores ideal, mínimo e ótimo.

ENEM 2015 - Matemática e suas tecnologias - Questão 136.

Quantas operações o investidor fez naquele dia?

a) 3          b) 4          c) 5          d) 6           e) 7

Não é uma questão complicada, porém é necessário um certo conhecimento não somente de interpretação de gráfico, mas também, interpretação de texto. Existem questões matemáticas com texto muito mais extenso; o que acarreta mais tempo para ler, interpretar o texto/problema, analisar os dados retirados do texto, formular expressões aritméticas ou algébricas e só depois solucioná-lo.

Pelo que percebo regularmente, a Semântica é o que mais pega de surpresa, principalmente em provas do ENEM e em outros vestibulares.

O que faço pra melhorar? Leia muito. Exercite a interpretação de textos com mais frequência, não importando se é de Matemática ou outra disciplina. Todos nós somos suscetíveis a falhas ou equívocos, e a sua falta de treinamento pode te prejudicar ainda mais.

Erro 6 - Só utiliza uma fonte de pesquisa

Quanto mais pesquisamos em fontes diferentes, mais aumentamos as nossas possibilidades de sucesso. Não é uma frase feita de pensador. Pode ser uma verdade para você ou uma inverdade para outros.

Para aprender Matemática, fixando exaustivamente somente em uma fonte não é o caminho recomendável. Nem as mentes mais brilhantes da Ciência fizeram assim. Pelo contrário, foi analisando os erros e acertos passados que chegaram em novas conclusões.

Na época da faculdade não aprendi Álgebra Linear, estudando apenas por um livro, como mostro em Os livros que utilizei para estudar Matemática durante toda a graduação. A linguagem de determinados livros podem não ser adequadas para o nível de linguagem que você considera ser ideal e acredita que pode dominar. E é aí que acontece alguns erros.

Se você não cursou um ótimo Ensino Fundamental e Médio, terá enormes dificuldades para estudar Matemática com os livros da coleção Fundamentos de Matemática Elementar de Gelson Iezzi, por exemplo. O nível do material desta coleção não é tão alto assim, porém seus exercícios exigem muito mais esforço.

Portanto, leve sempre em conta que a Matemática deve ser aprendida seguindo etapas rigorosas. Comece pelo simples, depois médio e complete com o nível que julgar mais elevado.

Utilize quantos livros achar necessários e sempre use a internet ao seu favor. Vídeo aulas é uma grande ajuda para alavancar seus estudos. Recomendo que leia o artigo Os melhores canais brasileiros no youtube para estudar Matemática.

Importante: estudar Matemática não é apenas resolver exercícios. Absorva as teorias elementares e, qualquer exercício, independentemente do nível, conseguirá respondê-lo.

Erro 7 - Continuar cometendo equívocos matemáticos triviais

Separei esse tópico por último para listar uma série de erros que alunos (e até professores) cometem nas aulas de Matemática. Não perceber tais equívocos é uma situação muito grave.

Nos artigos A Matemática tradicional ainda funciona e Como ensinar Matemática de forma errada, escrevi que equívocos matemáticos são mais comuns do que imaginamos. Nestes artigos citei alguns erros e a seguir continuo com a lista.

Erro 7.1 - Potenciação: $3^{2}=6$.

Por que 6? Sabemos que é igual a 9. Como acontece esse equívoco? Às vezes, uma frase dita de forma rápida soa confusa para um aluno que nunca estudou potenciação.

Três ao quadrado é igual a 9, pois o três multiplicado duas vezes é igual a 9. [Diz o professor]

Não julgue uma bobagem, pois é muito comum o aluno interpretar de forma equivocada, entendendo: duas vezes três é igual a 6, simplesmente por associar a palavra 'vezes' à multiplicação.

Erro 7.2 - Radiciação: ${ \left( \sqrt { -4 }  \right)  }^{ 2 }=\sqrt{\left ( -4 \right )^{2}}=-4$ (isso é um erro de aluno)

Por que resulta em -4? Sabemos que não existe raiz quadrada real de índice par, de um radicando inteiro negativo. O erro acontece quando se exagera naquela velha mania de "cortar" números.

Por exemplo, para calcular ${\left( \sqrt {4}  \right)}^{2}$, foi ensinado, de forma equivocada, que, bastava cortar o expoente da potência com o índice do radical, e, em seguida, tirava 4 do radicando. Resposta: 4. Ok, funciona! Mas, não para inteiros negativos de índice par. O aluno absorve esse "macete" e aplica de forma errada em qualquer lugar.

Para alunos do 7º ano, não é necessário nenhuma explicação mirabolante, muito menos dar uma aula longa sobre módulo, basta apenas aplicar as propriedades sobre potenciação e/ou radiciação.

Ficaria assim: ${ \left( \sqrt { -4 }  \right)  }^{ 2 }=\sqrt { -4 } \times \sqrt { -4 } =\sqrt { (-4)\times (-4) } =\sqrt { 16 } =4$, pois $4^{2}=4 \times 4=16$.

Para números maiores (índice e expoente), aí sim é recomendável aplicar aquele macete (propriedade da radiciação), porém é importante deixar claro sobre esse "cortar".

Para mais erros que envolvem potenciação e radiciação leia esse TCC publicado em 2007.

Erro 7.3 - Frações

Aprenda suas propriedades e não dependerá de frases decorebas, como: "repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda", "corta o zero de cima com o zero de baixo", "divida o mmc com o denominador da fração e multiplica o resultado pelo numerador da mesma fração", etc.

Exemplos:

1) Divida $\cfrac{3}{2}$ por $\cfrac{5}{3}$. Basta escrever as duas frações com o mesmo denominador, escrevendo-as como frações equivalentes. Desta forma teremos: $\cfrac{3 \times 3}{2 \times 3} \div \cfrac{5 \times 2}{3 \times 2}=\cfrac{9}{6} \div \cfrac{10}{6}=\cfrac{9}{10}$.

2) Multiplique $\cfrac{12000}{100}$ por $\cfrac{250}{1000}$. Como temos uma multiplicação de frações e frações são divisões, podemos simplificá-las, isto é, dividir numerador com denominar por 10, 100, 1000, etc., dependendo da quantidade em cada numerador ou denominador. 

Não existe isso de "cortar zeros". Se ensinado assim, quando o aluno ver $\cfrac{12000}{100}+\cfrac{250}{1000}$, vai "cortar" zeros aonde não pode.

3) Adicione $\cfrac{3}{2}$ com $\cfrac{5}{3}$. Apender a calcular o MMC é importante em alguns casos. Em uma adição simples de frações, basta escrever duas frações equivalentes com o mesmo denominador. Assim, com os denominadores iguais podemos somar os numeradores.

Desta forma teremos: $\cfrac{3 \times 3}{2 \times 3} + \cfrac{5 \times 2}{3 \times 2}=\cfrac{9}{6}+\cfrac{10}{6}=\cfrac{19}{6}$.

Note que, se você usar o processo do MMC dá no mesmo até no modo que é calculado. Por que? Porque é uma propriedade. Podemos simplificar as frações.

Agora faça um exercício mental e pense em quantos outros equívocos matemáticos são cometidos durante as aulas de Matemática todos os dias. A lista seria imensa e não caberia aqui.

Concluindo

Poderia escrever mais dezenas de outros processos (o texto ficaria muito mais longo), cuja a forma como é ensinado ou como é estudado, pode causar confusão na cabeça dos pequeninos que começaram a ver estes processos matemáticos mais elaborados no 6º ano do Ensino Fundamental 2.

A ideia desse artigo não é a de apontar erros, como se eu fosse o melhor professor do mundo. Tenho as minhas falhas e tento todos os dias melhorar, sempre me colocando no lugar do aluno. Afinal, já fui aluno um dia e sei como é complexo estudar Matemática na escola ou sozinho em casa.

Atentar, corrigir e aperfeiçoar cada tópico que você leu, listado neste artigo, não te tornará um expert em Matemática, porém, as suas chances de obter sucesso com ela aumentam significadamente. Sucesso é um sentimento que depende exclusivamente de você.
Edigley Alexandre

Edigley Alexandre

Graduado em Matemática pelo DME na UERN em 2007, leciona Geometria, Matemática e Física. Blogueiro Part-Time desde 2007. Membro do Google+ Create em Português. Seu interesse é compartilhar conhecimento matemático interligado à Tecnologia da Informação e Comunicação, assim como artigos de opinião sobre Educação, Matemática e Educação Matemática.

Os comentários serão moderados pelo autor do blog. Respondo todas as segundas-feiras, terças-feiras e finais de semana.

É muito bom ler comentários, porém atente para algumas regras muito importantes antes de enviar a sua colaboração para este artigo.


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19 comentários:

  1. Muito legal! Vou por em prática tudo que aprendi aqui!! Muito obrigada pelas dicas.

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    1. Olá, Sueli!

      Espero ter ajudado um pouquinho. Recomendo que leia os textos linkados nesse artigo. Eles complementam a base desse texto.

      Obrigado por vir aqui.

      Um abraço!

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  2. Ótimo artigo, parabéns! Por esses conteúdos que fazem abrir nossas mentes para uma reflexão sobre a matemática.
    Todo mundo tem dificuldades em aprender a matemática, mas muitos acabam estudando errado ou foram ensinados a estudar errado, eu penso que a matemática é como se fosse uma escada nós temos subir cada degrau sem pular começando desde do básico até os mais complexos.
    É como a matemática de Cingapura, devagar é que se aprende mais.
    Se realmente pretendemos aprender a matemática devemos construir uma base matemática sólida porque muitos alunos passam de ano sem aprenderem de fato as bases matemáticas ocasionando o famoso estereótipo matemática é chata, difícil, as fórmulas não servem para nada etc.
    A melhor solução para esses problemas é a Autodidática e Persistência.

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    1. Olá, Sidnei!

      Obrigado pelo comentário. Fico feliz por ter gostado.

      Se formos analisar com clareza os problemas da aprendizagem em Matemática no Brasil, chegaremos na conclusão mais óbvia: reforma geral do currículo. Não apenas porque os tempos são outros e temos que nos adequar.

      Na minha época se ensinava como se ensina hoje. E não havia essa discordância geral com a Matemática.

      O problema é complexo demais, simplesmente porque se trata de Brasil. E aqui as coisas não funcionam como queríamos.

      Compartilhamos o mesmo pensamento quanto a base matemática. É o fator que os nossos estudantes mais pecam e sentem o baque quando entram em curso de exatas.

      Obrigado por vir aqui.

      Abraço!

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  3. Belo artigo meu nobre...

    identifiquei diversos erros cometidos por mim e seu artigo será de grande ajuda....agora e utilizar seus artigos para corrigi-los!

    Parabéns de coração.

    Carlos - Ssa - Bahia

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    1. Olá, Calel!

      A lista se aplica para mim também. Todos os dias assumo e corrijo meus erros. Já os acertos tento aperfeiçoar.

      Obrigado pelo gentil comentário.

      Um abraço!

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  4. Eu não sei matemática a partir do oitavo ano do Fundamental, tenho muitos traumas dos professores não me ajudarem, não tirarem dúvidas, de ter sido humilhada em sala de aula. Consegui recentemente entrar em Engenharia de Produção, estou sofrendo muito na parte de Cálculos e de Física, por causa disso. Amo matemática, mas não consigo entender nada do que é falado ou explicado. Nas aulas sempre tenho taquicardia e em casa tentei resolver os exercícios que o professor passou, sem êxito, novamente a taquicardia, e vou mostrar os exercícios em branco para o professor por causa disso. Já tentei ver vídeos no YouTube, mas estudar pela internet não dá certo, os professores falam muito rápido e usam muitos atalhos e eu fico no vácuo.
    Hoje eu tenho certeza de uma coisa, sou analfabeta em exatas.

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  5. Achei interessante alguns erros, mas fiquei em dúvida quanto ao caso da radiciação.

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    1. Olá, Nicholas!

      O 7.2 é um erro de aluno. O post traz erros cometidos por alunos. Não existe $(\sqrt{-4})^{2}=-4$.

      Abraço!

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    2. Como faço para usar notação matemática nas respostas?

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    3. Escreva os comandos entre \$. Teste comandos em tempo real aqui. Use esse site para escrever comandos apenas com o mouse.

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    4. Olá Edigley, a quanto tempo (rsrsrs)!

      Cara eu me identifiquei bastante com esse artigo. Lembrei das dúvidas dos meus alunos e dos equívocos que eles cometiam. Acredito que, na maioria das vezes, os alunos não tem culpa de cometerem esses erros, uma vez que tiveram a "contribuição" de alguns professores ao longo de sua formação acadêmica. É por isso que não julgo esses "deslizes".

      É engraçado como as coisas são! A duas semanas atrás estava falando sobre radiciação e potenciação com meus alunos e lancei, coincidentemente, a seguinte pergunta: Qual o valor de ${ \left( \sqrt { -4 } \right) }^{ 2 }$

      Por incrível que pareça muitos cometeram esse erro por que foram acostumados quase que "desde sempre" que nesses casos bastava cortar o expoente com a raiz por seu índice ser igual a seu expoente.

      Algo simples que pode ser resolvido aplicando a propriedade da potenciação, ou seja:
      $$ { \left( \sqrt { -4 } \right) }^{ 2 }=\sqrt { -4 } \cdot \sqrt { -4 } =\sqrt { (-4)\cdot (-4) } =\sqrt { 16 } =4 $$
      Mas é claro que isso se aplica a alunos até o nível do 2° ano médio, uma vez que conhecem apenas os conjuntos dos números reais.

      Se considerarmos uma turma de 3° ano do ensino médio, depois do 1° semestre, mais ou menos, eles já devem ter algum conhecimento sobre os números complexos o que acarretaria em outras discussões, como por exemplo, raiz quadrada de número negativo. Felizmente isso não vem ao caso nesta situação que você abordou (erro 7.2), pois é bem fácil de perceber que você está trabalhando com o conjunto dos números reais já que isso é dito no artigo em [...] não existe raiz quadrada real de índice par, de um radicando inteiro negativo. [...]

      Mas isso é coisa que acontece e cabe a nós (professores sérios e, realmente dedicados com a matemática) mostrar o caminho correto para os nossos alunos.

      Att. Romirys Cavalcante

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  6. Carlos César de Araújomarço 20, 2017

    (Parte 2 de 2 do comentário.) Matemática e pedagogia não podem ser confundidas. Não podemos ensinar como verdadeiras agora propriedades que mais tarde se mostrarão falsas quando passarmos a extensões sucessivas do universo numérico. Não é preciso ser platonista para perceber que os fatos matemáticos devem permanecer os mesmos independentemente das artimanhas pedagógicas que utilizemos para ensiná-los. E no que diz respeito à radiciação, os fatos relevantes aqui são os seguintes:

    (A) A função raiz quadrada pode ser definida para números negativos de modo a preservar uma boa parte das propriedades que possui para reais não negativos. De fato, a extensão pode ser feita a todo o plano complexo. Mais geralmente, dados um número natural $n$ e um complexo $z$, pode-se definir a raiz $n$-ésima $\textbf{principal}$ de $z$, denotada por $\sqrt[n]{z}$, de modo a ter-se uma função $f_n:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ que é uma $\textbf{extensão}$ da raiz $n$-ésima em $\mathbb{R}$.

    (B) É parte da própria definição de $\sqrt[n]{z}$ que se tenha $(\sqrt[n]{z})^n=z$ para todo $z\in \mathbb{C}$. Em particular, $(\sqrt[n]{-4})^n=-4$ para todo $n$, e não apenas para "números maiores" do que 2, como diz o Prof. Edigley.

    (C) Da definição de $\sqrt[n]{z}$ pode-se concluir, sem muita dificuldade, condições necessárias e suficientes para que se tenha $\sqrt[n]{w\cdot z}=\sqrt[n]{w}\cdot \sqrt[n]{z}$. Tudo depende de como se define o intervalo para o $\textbf{argumento principal}$, $\arg (z)$, de um complexo $z$. Contudo, mesmo sem entrarmos em detalhes aqui, é fácil provar que não se pode ter a igualdade $\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-4}=\sqrt{(-4)\cdot (-4)}$, usada pelo Prof. Edigley. A prova é simples: caso contrário, valeria $\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}$, donde $i^2=1$, contradizendo a própria definição da unidade imaginária $i$.

    (D) Embora se tenha $(\sqrt[n]{z})^n=z$, já não se pode esperar que se tenha, em geral, $\sqrt[n]{z^n}=z$, pois a função potência de expoente $n$ não é injetora.

    Para terminar, observo que no Erro 3, o Prof. Edigley menciona calculadoras, mas se estimulasse os seus leitores a usarem "supercalculadoras" como o Mathematica não demoraria a vê-los descobrir que $(\sqrt{-4})^2=-4$ e muito mais sobre os números reais e complexos! Para quem quiser aprender ainda mais, recomendo como leitura inicial o artigo $\textit{Can your computer do complex analysis?}$, de Helmer Aslaksen, e as referências biblográficas ali contidas.

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  7. Carlos César de Araújomarço 20, 2017

    (Parte 1 de 2 do comentário.) Boa tarde a todos. No intuito único de difundir o conhecimento matemático, desejo fazer algumas observações críticas sobre o o Erro 7.2. Tudo o que direi se baseará em $\textbf{definições}$ e $\textbf{teoremas}$ bem conhecidos na literatura elementar sobre teoria dos números ou análise complexa $-$ embora ainda não sejam tão amplamente compreendidos quanto eu gostaria.

    Para a mais extrema clareza, começarei com uma síntese do texto sobre o Erro 7.2. De acordo com o Prof. Edigley, os fatos aceitos por ele são os seguintes:

    (1) Não é verdade que $(\sqrt{-4})^2=-4$. Para ele, isso é um "erro de aluno" que decorre basicamente de se usar a igualdade $(\sqrt[n]{x})^n=x$ para $x$ negativo e $n$ par, o que, segundo ele, não pode ser feito. O contexto dessa suposta impossibilidade é discutido por mim adiante.

    (2) $(\sqrt{-4})^2=4$. Ou seja, o valor correto de $(\sqrt{-4})^2$ seria $4$, e não $-4$, o qual decorreria do erro do aluno que aprendeu apenas a "cortar" o expoente com o índice da raiz. Mas como o Prof. Edigley evita esse suposto erro e obtém o valor $4$? A resposta vem logo a seguir.

    (3) $\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-4}=\sqrt{(-4)\cdot (-4)}$. O Prof. Edigley usa essa igualdade como uma das "propriedades sobre potenciação e/ou radiciação", dela deduzindo que $(\sqrt{-4})^2=4$. O raciocínio pode ser facilmente acompanhado no texto original, sendo repetido e reforçado por um comentarista recente.

    Ora, será muito fácil $\textbf{provar}$ que todas as três afirmações admitidas pelo Prof. Edigley são falsas. Sim, estão em completo desacordo com o que se sabe sobre números complexos. Contudo, antes de prosseguir, devo ser cauteloso para evitar ser acusado de má interpretação, pois o texto do Prof. Edigley não é claro em muitos pontos. Há uma certa confusão entre matemática e pedagogia. De fato, ele começa dizendo que "não existe" $\sqrt[n]{x}$ se $n$ é par e $x<0$; e adiante faz uma referência a "alunos do 7º ano". Fica evidente, portanto, o contexto pedagógico da discussão: não se está admitindo a existência do conjunto $\mathbb{C}$ dos números complexos. Nesta situação, porém, duas dificuldades tornam-se bem evidentes.

    Primeiro, não se pode esperar que todo aluno desse nível saiba operar corretamente com expressões como $\sqrt{-4}$, pelo simples motivo de ainda não lhe terem sido formalmente $\textbf{definidas}$ nem intuitivamente discutidas. Em particular, não podemos esperar que esse aluno saiba dizer corretamente qual é o valor de $(\sqrt{-4})^2$. Esse aluno não estaria "errando" mais do que Euler e Laplace ao manipularem números complexos e séries infinitas sem sequer possuírem uma definição então aceita de "número real" e de "limite" de uma sequência.

    A segunda dificuldade é mais grave: por um lado, o Prof. Edigley evita números complexos na discussão, mas em seguida, ao deduzir que $(\sqrt{-4})^2=4$, manipula precisamente as expressões cuja existência não admitiu! De fato, ele aceita despreocupadamente a igualdade $$\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=\sqrt{x\cdot y}$$ para $x=y=-4$. Acontece que essa propriedade multiplicativa da raiz quadrada não é verdadeira se $x$ e $y$ forem ambos negativos. Por exemplo, é verdade que $\sqrt{-1}\cdot\sqrt{4}=\sqrt{(-1)\cdot (4)}$, mas não é o caso que $\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-4}=\sqrt{(-4)\cdot (-4)}$. Devido a isso, está errado o cálculo apresentado para o valor de $(\sqrt{-4})^2$.

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    1. Olá, Carlos!

      Me perdoe mas não li nenhum comentário sem a simbologia matemática, anteriormente enviado. Espero que me entenda. São muitas moderações e precisaria de mais tempo para ler longos comentários sem simbologia matemática (e são centenas que ainda nem li). O blog é uma atividade secundária, e faço isso apenas no meu tempo vago. Agora sim, posso te entender claramente.

      Entendo você perfeitamente e concordo com suas afirmações matemáticas. O contexto dessa postagem se aplica aos alunos de nível fundamental 2. Não posso falar de números complexos para alunos de 6º ao 9º ano. Posso fazer comentários, mas não ensinar conceitos de número imaginário.

      O objetivo é mostrar o erro do aluno em nível fundamental, onde seria mais simples ele aplicar a potenciação para resolver a radiciação, em vez de sair cortando tudo.

      Em particular, ${ \left( \sqrt { -4 } \right) }^{ 2 }=\sqrt { -4 } \cdot \sqrt { -4 } =\sqrt { (-4)\cdot (-4) } =\sqrt { 16 } =4$ não está errada nesse nível, mas o aluno tem que ser advertido quando houver radicando positivo e negativo, como você mostrou.

      Concordo com os seus argumentos. Sei que $\sqrt { -4 } =\sqrt { -1 } . \sqrt { 4}=i .\sqrt { 4 }$, e portanto, $\left ( \sqrt{-4} \right )^{2}=-4$.

      O desafio de dar aula para crianças/adolescentes do 6º e 7º é que as abstrações matemáticas não são fáceis de ser assimiladas por elas. Do ponto de vista matemático, você está totalmente certo. Apenas queria que entendesse que não é fácil trabalhar tais conteúdos com alunos que, em alguns casos, chegam no 6º ano sem saber as quatro operações. E a escola joga a responsabilidade quando o aluno não aprende, inteiramente no professor.

      Na aula passada sobre Potenciação e Radiciação tive que utilizar materiais alternativos para fazer com que os alunos entendessem ao memos o conceito de Potenciação e Radiciação. Não foi fácil! A rigorisidade matemática é importante, mas dependete muito do nível de abstraçaõ da turma.

      Entenda que não desmereci em algum momento seus comentários, apenas exigi que publicasse da forma mais organizada possível, como assim o fez.

      Fique a vontade para enviar outras críticas e sugestões nesta e em outras postagens do blog.

      Um abraço!

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    2. Boa tarde, Edgley. Muito obrigado pela resposta. Aproveitarei a oportunidade para lhe fazer quatro perguntas bem simples. Após a publicação das suas respostas eu lhe enviarei um novo comentário retomando o tema da radiciação.

      Suponha que você estivesse ensinando logaritmos a alunos do 1º ano do ensino médio. Para eles, assim como para os alunos desta página, números complexos também não existem (ainda), de modo que você nada terá que supor quanto a isso no que se segue. Seja $\log (x)$ o logaritmo de $x$ na base $10$.

      (1) O que você responderia se lhe pedissem o valor de $\log (-1)$?

      (2) Um aluno fez o seguinte: $2\log (-1)=\log {(-1)^2}=\log 1=0$. Ele estaria cometendo algum erro?

      (3) Outro aluno escreveu: $\log (-1)+\log (-1)=\log[(-1)\cdot (-1)]$. Ele está certo ou errado?

      (4) Um aluno afirmou que $10^{\log( -1)}=-1$. Ele está certo ou errado?

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    3. Olá, Carlos! Bom dia!

      E a minha resposta não há nada a dizer? Esperava que me entendesse. Não estou falando de Matemática agora, e sim de pensamento abstrato de crianças e adolescentes. Não entendo o que quer me provar me fazendo perguntas que sei a resposta e você também.

      Vá direto para os seus argumentos, não tem problema em publicar aqui. O propósito da postagem é de alertar quanto ao uso exagerado de macetes matemáticos.

      Abraço!

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  8. Prezado Prof Edigley,

    O seu blog é um dos mais completos e interessantes pois aborda
    a Matemática de maneira bem criativa e inteligente! Parabéns! Li, e acho que foi aqui mesmo,
    um texto escrito pelo sr. dizendo algo sobre "o ato de "responder" um problema matemático,
    que mesmo que não esteja correto, o aluno não deve "apagá-lo" pois assim o professor poderá saber
    como foi construído o raciocínio do aluno e a partir daí saber poder corrigi-lo. O sr. poderia
    me dizer em qual parte do seu blog este assunto está comentado, pois tenho interesse em
    relê-lo novamente. Parabéns pelo seu belo trabalho!

    Atenciosamente,
    Roberto Marques, BH

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    1. Roberto,

      Obrigado pelo elogio ao blog. Ele é uma pequena contribuição que sinto como uma obrigação e ao mesmo sinto um prazer mantê-lo desde 2007.

      O trecho que se refere está no artigo Você é um aluno fraquinho! (tópico 2).

      Um abraço!

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